2023年江蘇省天星湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法的種數(shù)為（）A． B． C． D．2．由2，3，5，0組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)是（）A．12 B．10 C．8 D．143．設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且分別是的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．4．在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)無零點的概率為（）A． B． C． D．5．函數(shù)在上的最大值為（）A． B． C． D．6．若函數(shù)存在增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．7．已知實數(shù)成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為A． B．2 C．或2 D．或8．下列命題是真命題的是（）A．，B．設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．的充要條件是9．隨機變量，若，則為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.610．已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．211．在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．3 B．0 C． D．112．已知變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．7 B．8 C．9 D．10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若x，y滿足約束條件則z=x?2y的最小值為__________.14．一場晚會共有7個節(jié)目，要求第一個節(jié)目不能排，節(jié)目必須排在前4個，節(jié)目必須排在后3個，則有_______種不同的排法（用數(shù)字作答）.15．若z是關(guān)于x的方程的一個虛數(shù)根，則的取值范圍是________.16．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為.（1）設(shè)是曲線上的一個動點，當(dāng)時，求點到直線的距離的最小值；（2）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍.18．（12分）命題：函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和上；命題：函數(shù)有極值.若命題，為真命題的實數(shù)的取值集合分別記為，.（1）求集合，；（2）若命題“且”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，（1）求．（2）在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，若是直角，求實數(shù)的值．20．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值．21．（12分）2017年3月智能共享單車項目正式登陸某市，兩種車型“小綠車”、“小黃車”采用分時段計費的方式，“小綠車”每30分鐘收費元不足30分鐘的部分按30分鐘計算；“小黃車”每30分鐘收費1元不足30分鐘的部分按30分鐘計算有甲、乙、丙三人相互獨立的到租車點租車騎行各租一車一次設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，，，三人租車時間都不會超過60分鐘甲、乙均租用“小綠車”，丙租用“小黃車”．求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；2設(shè)甲、乙、丙三人所付的費用之和為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先排剩下5人，再從產(chǎn)生的6個空格中選3個位置排甲、乙、丙三人，即，選C.2、B【解析】

根據(jù)個位是和分成兩種情況進行分類討論，由此計算出所有可能的沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù).【詳解】當(dāng)0在個位數(shù)上時，有個；當(dāng)2在個位數(shù)上時，首位從5，3中選1，有兩種選擇，剩余兩個數(shù)在中間排列有2種方式，所以有個所以共有10個．故選：B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合的計算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，脫離即可求得相關(guān)解集.【詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，則為奇函數(shù)，又當(dāng)時，所以在R上為增函數(shù)，且，轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時，則，當(dāng)，則，則，故解集是，故選C.【點睛】本題主要考查利用抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解不等式，意在考查學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，難度中等.4、D【解析】

在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b，其對應(yīng)的數(shù)對構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所求事件構(gòu)成的區(qū)域為梯形區(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因為函數(shù)無零點，所以，因為，所以，則事件函數(shù)無零點構(gòu)成的區(qū)域為梯形，在區(qū)間上任取兩個實數(shù)a，b所對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域為正方形，所以函數(shù)無零點的概率.【點睛】本題考查幾何概型計算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.5、A【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合端點函數(shù)值得出函數(shù)的最大值．【詳解】，，令，由于，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，．因此，函數(shù)在處取得最小值，在或處取得最大值，，，因此，，故選A．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，一般而言，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的基本步驟如下：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的極值；（3）將函數(shù)的極值與端點函數(shù)值比較大小，可得出函數(shù)的最大值和最小值．6、C【解析】

先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個取值范圍的補集，求得題目所求實數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時實數(shù)的取值范圍為．故選C.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的求解策略，屬于中檔題.7、A【解析】

由1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，得到m=±1．當(dāng)m=1時，圓錐曲線是橢圓；當(dāng)m=﹣1時，圓錐曲線是雙曲線，(舍）由此即可求出離心率．【詳解】∵1，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，∴m2=1×9，則m=±1．當(dāng)m=1時，圓錐曲線+y2=1是橢圓，它的離心率是=；當(dāng)m=﹣1時，圓錐曲線+y2=1是雙曲線，故舍去，則離心率為．故選A．【點睛】本題考查圓錐曲線的離心率的求法，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用，注意分類討論思想的靈活運用．8、B【解析】

取特殊值來判斷A選項中命題的正誤，取特殊數(shù)列來判斷B選項中命題的正誤，求出不等式，利用集合包含關(guān)系來判斷C選項命題的正誤，取特殊向量來說明D選項中命題的正誤．【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，所以，A選項中的命題錯誤；對于B選項，若，則等比數(shù)列的公比為，但數(shù)列是遞減數(shù)列，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比為，所以，“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，B選項中的命題正確；對于C選項，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，C選項中的命題錯誤；對于D選項，當(dāng)時，，但與不一定垂直，所以，D選項中的命題錯誤．故選B.9、B【解析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的整體對稱性計算即可得結(jié)果.詳解：故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)正態(tài)分布的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有正態(tài)分布曲線的對稱性，從而求得結(jié)果.10、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．11、D【解析】

根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù)．【詳解】根據(jù)回歸直線方程是可得這兩個變量是正相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為正值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關(guān)系數(shù)r＝1．故選：D．【點睛】本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù)，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵．12、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可得答案．【詳解】作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時，有最大值為9，故選．【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題的解法。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

試題分析：由得，記為點；由得，記為點；由得，記為點.分別將A，B，C的坐標(biāo)代入，得，，，所以的最小值為．【考點】簡單的線性規(guī)劃【名師點睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；（2）考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形；（3）確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；（4）求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．14、1224【解析】

從G排在前4個和后3個兩種情況來討論，當(dāng)排在前4個時，根據(jù)題的條件，求出有種排法，當(dāng)排在后三個時，根據(jù)條件，求得有種排法，再根據(jù)分類計數(shù)原理求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)排在前4個時，A也排在前四個，有種選擇，此時D排在后三個有種選擇，其余4人，共有種排法，此時共有種排法；當(dāng)排在后三個時，D也排在后三個，A也排在前四個，此時共有種排法，所以共有種排法，故答案是：1224.【點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用排列解決實際問題，涉及到的知識點有排列數(shù)，分類計數(shù)原理，分步計數(shù)原理，屬于簡單題目.15、【解析】

由判別式小于0求得m的范圍，設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），利用根與系數(shù)的關(guān)系求得a值及b與m的關(guān)系，進一步求|z+1|，則答案可求．【詳解】解：由△＝4﹣4（m2﹣8）＜0，解得m2＞1．設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則2a＝2，a＝1，a2+b2＝m2﹣8，即b2＝m2﹣1．∴|z+1|＝|（a+1）+bi|＝|2+bi|∈（2，+∞）．故答案為：（2，+∞）．【點睛】本題考查實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．16、.【解析】

注意到，.則.易知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在處取得最小值.故，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.,,.當(dāng)、在區(qū)間上只有一個交點，即的圖像與的圖像相切時，取最大值.不妨設(shè)切點坐標(biāo)為，斜率為①又點在上，于是，②聯(lián)立式①、②解得，.從而，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）求出直線的普通方程，設(shè)，則點到直線的距離的距離，即可求點到直線的距離的最小值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點均在直線的右下方則，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范圍．試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)，則點到直線的距離，當(dāng)，即，時，，故點到直線的距離的最小值為.（Ⅱ）因為曲線上的所有點均在直線的右下方，所以對，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范圍為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．18、（1），或；（2）或【解析】

（1）通過函數(shù)的零點，求解的范圍；利用函數(shù)的極值求出的范圍，即可．（2）利用復(fù)合函數(shù)的真假推出兩個命題的真假關(guān)系，然后求解即可．【詳解】（1）命題：函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和上；可得：，解得命題：函數(shù)有極值，由2個不相等的實數(shù)根，所以，可得或．命題，為真命題的實數(shù)的取值集合分別記為，．所以集合，或；（2）命題“且”為假命題，可知兩個命題至少1個是假命題，當(dāng)“且”為真命題時，實數(shù)的取值范圍為集合，“且”為假命題時，實數(shù)的取值范圍為或．【點睛】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，函數(shù)的零點以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．19、（1）z＝3+4i；（2）c＝8【解析】

（1）設(shè)，由，進行計算化簡，得到關(guān)于的方程組，解得答案；（2）代入（1）中求出的，然后由∠AOB是直角，得到，得到關(guān)于的方程，求出的值.【詳解】（1）設(shè)，由，得，∴，解得．∴；（2）由題意，的坐標(biāo)分別為∴，，∵是直角，∴，即．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)模長的表示，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于簡單題.20、(Ⅰ)增區(qū)間為（1，），(-)，減區(qū)間為（-1,1）；(Ⅱ)最小值為，最大值為【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解和的解集；（Ⅱ）根據(jù)上一問的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的端點值域極值，其中最大值就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由于因為>0,得到x>1,x<-1,故可知在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，而則，故在上是減函數(shù)（Ⅱ）當(dāng)時，在區(qū)間取到最小值為．當(dāng)時，在區(qū)間取到最大值為.考點：導(dǎo)數(shù)的基本運用21、(1);(2)見解析.【解析】

（1）利用相互獨立事件的概率公式，分兩種情況計算概率即可；（2）根據(jù)相互獨立事件的概率公式求出各種情況下的概率，得出分布列，利用公式求解數(shù)學(xué)期望．【詳解】（I）由題意得，甲乙丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用為事件A．則，答：甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率為，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租車費用