人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)B版-必修4-基本初等函-任意角的三角函數(shù)-同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

任意角的三角函數(shù)·同角三角函數(shù)的基本關(guān)系·例題

例2-1-10

對于α∈R，下列式子恒成立的是

[

]．A．cos2α+sin2α=1C．1+tan2α=sec2αD．cot2α+csc2α=1解

A只有當(dāng)α是第一，四象限角時(shí)，B才成立，淘汰B．當(dāng)注

同角三角函數(shù)的八個(gè)基本公式，是在α取能使等式兩邊都有意義的值時(shí)，等式才成立．除正、余弦的定義域是全體實(shí)數(shù)外，要特別注意正切、余切、正割、余割的定義域，當(dāng)α取這些函數(shù)定義域以外的值時(shí)，函數(shù)無意義，公式當(dāng)然也就不成立．例2-1-11

如果α是第二象限的角，下列各等式中，成立的是

[

]．A.解

B注

用同角三角函數(shù)的八個(gè)公式求某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，僅當(dāng)開平方運(yùn)算才需要由α角所在的象限確定根號(hào)前的符號(hào)．而用商數(shù)關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系時(shí)不需要討論符號(hào)．例2-1-12

求證下列恒等式：(1)tanx+cotx=secx·cscx=2\*GB2⑵=3\*GB2⑶所以，原等式成立．左邊=右邊，所以原等式成立．(3)因?yàn)?-sin2x=cos2x，即(1-sinx)(1+sinx)=cos2x，兩邊同除以cosx(1-sinx)，得所以，原等式成立．注

三角恒等式的證明，可以從恒等式的一邊開始，證得它等于另一邊(如本例(1))；也可以分別證明左、右兩邊都等于同一個(gè)式子(如本例(2))；或者由已知的恒等式出發(fā)，推得需要證明的恒等式(如本例(3))．例2-1-13

證明下列恒等式：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵所以，原式成立．所以，原式成立．注

“切、割化弦”是證明三角恒等式或化簡三角表達(dá)式的重要技巧．通過它常把式子中的正切、余切、正割、余割用基本公式中的商數(shù)關(guān)系或倒數(shù)關(guān)系化為正弦、余弦，歸一到正、余弦后再用平方關(guān)系或代數(shù)運(yùn)算將式子化簡．(3)已知cosα=m(m≠0，m≠±1)，求secα+cscα；(3)因?yàn)閙≠0，m≠±1，即cosα≠0，cosα≠±1，所以角α的終邊不可能在坐標(biāo)軸上．于是，有以下兩種情況：當(dāng)α是第一、二象限角時(shí)，則得當(dāng)α是三、四象限角時(shí)，同法可得到注

已知α角的一個(gè)三角函數(shù)值，用平方關(guān)系求α角的另一個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要由α角所在的象限來確定根號(hào)前的符號(hào)(如本例(2))．如果α角的象限不確定，要對α角所在的象限進(jìn)行分類討論(如本例(3))．分類的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)然可以按α角在一、二、三四象限及各坐標(biāo)軸上逐一列舉；但由于α角在某兩個(gè)象限的某個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)是相同的，所以可以把這兩個(gè)符號(hào)相同的象限歸在一起．同時(shí)注意別遺漏了α角終邊在坐標(biāo)軸上的情形．左邊=右邊，原等式成立．注

在三角恒等式的證明過程中，根據(jù)恒等變形的需要，“1”可扮演不少角色．如本例中的1=sin2α+cos2α．還有sec2α-tan2α=1，csc2α-cotg2α=1，cscα·sinα=1，secα·cosα=1sin90°=1，cos0°=1，tan45°=1，cot45°=1，…均可恰當(dāng)應(yīng)用．例2-1-16

(1)已知sinα+cosα=m，求sinα·cosα；解

(1)由已知等