人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)A版-選修2-2“十市聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

《合情推理與演繹推理》同步練習(xí)一、典型例題[例1]在數(shù)列中，，試猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．分析：根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫出其通項(xiàng)．解：，，，，……∴的通項(xiàng)公式[例2]已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，計(jì)算，并猜想的表達(dá)式．解析：先化簡(jiǎn)遞推關(guān)系：時(shí)，∴∴當(dāng)n=1時(shí)，當(dāng)n=2時(shí)，∴當(dāng)n=3時(shí)，∴當(dāng)n=4時(shí)，∴猜想：[例3]在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液a升，攪勻后再倒出溶液升，這叫一次操作，設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為（每次注入的溶液濃度都是p%），計(jì)算，并歸納出的計(jì)算公式．解：∴歸納得[例4]在Rt△ABC中，若∠C=90°，則，則在立體幾何中，給出四面體性質(zhì)的猜想．分析：考慮到平面中的圖形是直角三角形，所以我們?cè)诳臻g選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體P—ABC，且三個(gè)面與面ABC所成的二面角分別是．解：如圖，在Rt△ABC中于是把結(jié)論類比到四面體P—ABC中，我們猜想，三棱錐P—ABC中，若三個(gè)側(cè)面PAB、PBC、PCA兩兩互相垂直且分別與底面所成的角為．由此可猜想出四面體性質(zhì)為：[例5]△DEF中有余弦定理：．拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明．分析：根據(jù)類比猜想得出其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角證明：作斜三棱柱的直截面DEF，則∠DFE為面與面所成角∠DEF中有余弦定理：同乘以，得即[例6]在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列中，若，則有等式成立．解析：解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由，可得，因而當(dāng)時(shí)，有而=0∴等式成立，同理可得時(shí)的情形由此可知：等差數(shù)列之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：類似地，在等比數(shù)列中，也有性質(zhì)：因而得到答案：[例7]設(shè)m為實(shí)數(shù)，求證：方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．證明：已知方程的判別式所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根點(diǎn)評(píng)：（1）“如果，若p真則q真”的推理形式為假言推理，它也是演繹推理的一種．此推理過(guò)程用三段論表述為：大前提：如果一元二次方程的判別式，那么這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；小前提：一元二次方程的判別式；結(jié)論：一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．[例8]設(shè)均為正數(shù)，求證：證明：∵，，∴[例9]已知實(shí)數(shù)p滿足不等式，試判斷方程有無(wú)實(shí)根，并給出證明．由解得，所以，方程的判別式，因?yàn)?，所以，所以，因此得方程無(wú)實(shí)根．[例10]證明函數(shù)的值恒為正數(shù)．證明：當(dāng)時(shí)，各項(xiàng)都為正數(shù)，因此，當(dāng)時(shí)，為正數(shù)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，函數(shù)的值恒為正數(shù)[例11]已知是不為1的正數(shù)，，且有和，求證：成等比數(shù)列．證：令且∴∵∴∴∴∴成等比數(shù)列[例12]已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，成等差數(shù)列，又，證明：為等比數(shù)列．證明：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以即設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則所以從而若d=0，則為常數(shù)列，相應(yīng)也是常數(shù)列，此時(shí)是以首項(xiàng)為正數(shù)，公比為1的等比數(shù)列若，則，這時(shí)是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以綜上知為等比數(shù)列．[例13]求證函數(shù)是奇數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．證明：（1）∵，定義域?yàn)椤嗉础嗍瞧婧瘮?shù)（2）任取，且則∵∴，從而∴，故為增函數(shù)二、模擬試題1.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ俑骼忾L(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等A.①B.①②C.①②③D.③2.類比三角形中的性質(zhì)：（1）兩邊之和大于第三邊（2）中位線長(zhǎng)等于底邊的一半（3）三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：（1）任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積（2）過(guò)四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個(gè)面面積的（3）四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有（）A.（1）B.（1）（2）C.（1）（2）（3）D.都不對(duì)3.求函數(shù)的定義域時(shí)，第一步推理中大前提是有意義時(shí)，，小前提是有意義，結(jié)論是．4.以下推理過(guò)程省略的大前提為：．∵∴把下列推理恢復(fù)成完全的三段論：因?yàn)椋裕?.在數(shù)列中，，，，則．6.已知無(wú)窮數(shù)列1，4，7，10，……，則4891是它的第項(xiàng)．7.設(shè)，，并且對(duì)于任意，成立，猜想．8.求9.已知：；．通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題：（*）并給出（*）式的證明．10.如圖所示為三個(gè)拼在一起的正方形，求證：．

答案1.C 2.C 3.4.