電磁場和電磁波第講

電磁場和電磁波第講第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二2、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二3、矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二4、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二例1.6己知矢量場中，有一個邊長為單位長度的正六面體，它位于第一象限內(nèi)，其中一個頂點在坐標(biāo)原點。試求從該正六面體穿出的凈通量，并驗證散度定理。例1.6己知矢量場中，有一個邊長為單位長度的正六面體，它位于第一象限內(nèi)，其中一個頂點在坐標(biāo)原點。試求從該正六面體穿出的凈通量，并驗證散度定理。第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二解：先計算六面體的凈通量，前表面：左側(cè)面：解：先計算六面體的凈通量，前表面：后表面：第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二右側(cè)面：頂面：底面：閉合面總通量：右側(cè)面：頂面：底面：閉合面總通量：第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二面積分和體積分結(jié)果相同，從而驗證了散度定理。驗證通量定理，由于面積分和體積分結(jié)果相同，從而驗證了散度定理。第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二1.5矢量場的環(huán)流和旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中沿閉合路徑的積分不為零。第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。

第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二過點M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限稱為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。

特點：其值與點M處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式如圖，作一包圍點的邊長為和且平行于yz平面的矩形回路。由定義取環(huán)流在x方向的分量旋度一般應(yīng)為空間矢量，為討論簡單，我們先計算其沿x方向的分量。第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二式中代入第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二得到第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二同理可得故得于是有第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二旋度的計算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二3、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二4、散度和旋度的區(qū)別

第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二

旋度有一個重要性質(zhì)：旋度的散度恒為0。即

這在直角坐標(biāo)下很容易證明第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二例1.9在矢量場中，有一個三角形圍線C位于xy平面上，試計算環(huán)流，并驗證斯托克斯定理。解：先計算閉合曲線上的積分在上，第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二而結(jié)果與前面相同，從而驗證了斯托克斯公式。第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二例1.4.2若某矢量場場中有一半球面S，通過計算驗證斯托克斯公式。解：在球坐標(biāo)內(nèi)，面元矢量為

在直角坐標(biāo)下的旋度為第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二因此有第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期二

另外，在xy平面內(nèi)，閉合路徑為，，因此有環(huán)流第32頁，共3