老師講座微積分復(fù)習(xí)

一 微分方程部?jī)?nèi)容復(fù)習(xí)以解法為中

一、一階方程的解法：中心想法是化為分離變量型方1。分離變量型方程dy

fxgydy

fxgy1gy

dy

fxgy dyfxgy它已包含最簡(jiǎn)單類型dyfdydy

ffxyfxdx2。齊次方程dy

fyxx解法：令uyxydyuxdu uxdu

fu,xdu

fudxfu fu lnfu3?？苫癁辇R次的方程dyf

axbyc axbyc 1情形1：平面直線axbyc0與axby

0重合

b

k

則方程為dyfk，解為y

fkx情形2面直線axbyc0與axby

0abkc

則令uaxbydua

dy

bfkuc，已是分離變量型方

1

1uc 1情形3：平面直線axbyc0與axby

0ab，解方 組

axbyc

得唯一交點(diǎn)xhyk。做變換xXh，方程axbyc yY dYf

aX

ab

，這是齊次方程 aXbY Y 1 14。一階線性方程dyPxyQ解法一：常數(shù)變先解齊次方程dyPxy這是分離變量型dyPxdxyCePxdxy常數(shù)變異：設(shè)原方程解為yCxePxdx可C'xQxePxdxCxQxePxdxdx所以yePxdx

QxePxdxdxC 解法二 yePxdx

QxePxdxdxC 5。伯努力方dyPxyQx若n0,1為線性方程若n0,1yndyPxy1nQx，令zy1n，dz1nPxz1nQx，此已為線性方6。方程中x,y可作相同地位看待，即也要一階線性方程dxPyxQy伯努力方程dxPyxQy二、二階非線性方程的解法：中心想法是降1ynfx只需連續(xù)做n次不定積分2y"fx,y（不顯含y型ypxy"dpfxp，此為一階方程3y"

fyy（不顯含x型ypyy"pdpfyp，此為一階方程二 二階線性方程的解法：y"Pxy'Qxyfx對(duì)應(yīng)齊次方程為yPxy'Qxy解的結(jié)構(gòu)：非齊通=非齊特+齊通此次的通解是一個(gè)二維線性空間，若找到其兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解Y1x,Y2x，則齊次的通解為yC1Y1xC2Y2x。進(jìn)一步，可用常數(shù)變異法設(shè)yC1xY1xC2xY2x得到非齊次的通解甚至只要知道一個(gè)齊次的非零解Y1x，就可用常數(shù)變異法yCxY1x得到非齊次的通但是找一個(gè)齊次的非零解Y1x沒(méi)有一般辦法三、常系數(shù)二階線性方程ypy'qyfx的代數(shù)解法。齊次常系數(shù)二階線性方程y"py'qy0的特征方程解法特征方程為r2prq情形一：兩個(gè)相異實(shí)根r1,r2 通解為yCer1xCer2x 情形二：實(shí)二重根r 通解為yCerxC 情形三：一對(duì)共軛復(fù)根i 通解為yCexcosxCexsin 常系數(shù)非齊次二階線性方程ypy'qyfx的特解的待定函數(shù)11注yy"py'qy11

fx的解yy"py'qy

f2x的解2yyy"py'qyfx2

x的解 1

fxex

x其中

xm次多項(xiàng)式設(shè)特解y

xexmm其中mm

x為一個(gè)待定m次多項(xiàng)式k為作為特征方程r2prq0.根的數(shù)2。

fxexPxcosxPxsinx

，則可設(shè)特 yxkexR1xcosxR2xsinxR1xR2x為兩個(gè)待定m 多項(xiàng)式mmaxlnk為i作為特征方程r2prq0.根的重?cái)?shù)四 方程：x2y"pxy'qyfx是罕見(jiàn)的可解的變系數(shù)線性方程之一解法：做變換xet，則tlnx

,x2

d2y

2,原方程2 d2y

2

d2 p

qy

fe,xy

,xy

,這已是常系數(shù)二階線

求微分方程yy2ye2y滿足條件y(0)0y(0)1的解e2y1微分方程y4y4y6x28e2x的一個(gè)特解應(yīng)具有形（A）Ax2Bx （B）Ax2BxC（C）Ax2 （D）Ax2(Bx2求微分方程y4y3yex的通解特征方程r24r30的根為：r1,r 對(duì)應(yīng)齊次方程通 C CexC Cp設(shè)特解為yAxex，代入方程pyxex 所求通解yyyCexCe3x1xe 曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倒數(shù)，且曲線過(guò)ylnx2解方程dycotxycscdyC

cscxecotxdxdxecotxd{C

求微分方程dy

(n2的通解d xyxny3原方程變dxxyxnyddd

(1n)

(1n)y2x1nCe

y2y2

n設(shè)函數(shù)fx是二階連續(xù)可微的偶函數(shù)足方程fx)0f(tdtx，求函數(shù)fx原方程關(guān)于x求導(dǎo)f(x)f(x)由于f是偶函數(shù)，f(xf(x)1，且f(0)方程的通解 f(x)CexCex 代入條件f(0)0f是偶函數(shù)，得C1故所求函數(shù)1f(x)C(exex)1質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零時(shí)起，有與時(shí)間成正比（比例數(shù)為k1）的力作用其上，并還受到與速度成正比的介質(zhì)（比例系數(shù)為k2）的質(zhì)的阻力，求速度的變化規(guī)mdvktk v(0)d k

k2t解 v1t Cemk2 由v(0)0，得Ck

k2t得v1t emk2 二、廣義積分部斂散性靠計(jì)算，計(jì)算為定積分加極限1dxp1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā)散 x 11dxp1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)發(fā) 0arctanx x2(1x2令xtan

2tcot2 2t(csc2t4)22(tcottlnsint )2241ln23 三 中值定理與羅法則部定理fx滿足（1）閉區(qū)間ab上連續(xù)（2）開(kāi)區(qū)間ab上可導(dǎo)（3）兩端點(diǎn)函數(shù)值相等，faf0可連續(xù)運(yùn) 定理

fbab中至少存在一點(diǎn)滿足設(shè)Fxx

()

使F

證明:因f(x)在1,2具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)則F(x)在1,2具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在(1,2)內(nèi)二階可導(dǎo)因F(1)F(2) (因f(2) 則至少存在1(1,2)使F(1又F(xf(xx1f而f(10,則F(1F(x)在1,1上滿 則至少存在(1,1)(1,2)使F() 1設(shè)f(x)arctan

e

x0,試確定常數(shù)a與b使f(x)處處可導(dǎo),并求f,x解要f(x)在x0處可導(dǎo)首先必須在x0連續(xù)limf(x)limf(x)f(0)

1 1 即lim

xe

2又f(x)在x0處可導(dǎo)則f(0

f1 1 即

f(x)fx 1

(x

arctan)1ex

exx x

f(xf(0)limaxbba則a1,b

x

故a1,b時(shí)f(x)處處可2 2 2e x1 且f(x)

x

1x

exc0x x

x0解法2為使f(x)處可導(dǎo),首先必須在x0處連續(xù)由f(0)lim(arctan

ex)

，f(0)

f(0)b得b2f(0)

f(x)f

axbb

x

f(0)

f(