第一章概率論與數(shù)理統(tǒng)計

第一章概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第一章隨機事件與概率龔小慶gongxiaoqing@第2頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)實世界中存在的兩類現(xiàn)象一.確定性現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽每天從東邊升起”,“同性電荷必然互斥”?！八畯母咛幜飨虻吞帯?引言第3頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三二.不確定性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象

在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機現(xiàn)象.

實例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.結果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.

這類現(xiàn)象的特點是,即使在相同的條件下,每次試驗所得的結果也會不相同,或者已知它過去的狀態(tài),它將來的發(fā)展狀態(tài)仍然無法確定.第4頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三結果有可能為:1,2,3,4,5,6.

實例3

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).

實例2

用同一門炮向同一目標發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點的情況.結果:彈落點會各不相同.試驗結果的不確定性第5頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三實例4

從一批含有正品和次品的產品中任意抽取一個產品.其結果可能為:

正品

、次品.實例5

過馬路交叉口時,可能遇上各種顏色的交通指揮燈.第6頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三未來的不確定性實例7

劉翔還能破世界紀錄嗎？

實例6

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.第7頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三主觀的不確定性

有些事情即使已經發(fā)生了，但是在你知道結果之前，它們仍然具有不確定性。這種不確定性我們稱之為主觀不確定性。

實例8

硬幣落地后雖然結果已經確定,但是在觀察之前你還是無法確定硬幣是正面還是反面朝上。

實例9

病人得的病雖然已經是客觀存在的事實,但是在確診之前,在醫(yī)生看來病人得的是什么病仍然有多種可能。主觀不確定性融入了觀察者個人的信念.第8頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三實驗者

n

nHfn(H)德.摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069K.皮爾遜1200060190.5016K.皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998n:拋擲硬幣的次數(shù);nH:正面朝上的次數(shù)；著名的拋硬幣試驗第9頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三2.隨機現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結果具有偶然性,但在大量試驗或觀察中,這種結果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性,概率論就是研究隨機現(xiàn)象這種本質規(guī)律的一門數(shù)學學科.1.隨機現(xiàn)象揭示了條件和結果之間的非確定性聯(lián)系,其數(shù)量關系無法用函數(shù)加以描述.兩點說明第10頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三§1.1基本概念1.1.1隨機試驗與事件

如果一個試驗具有如下的共同特點:(1)可在相同的條件下重復進行;(2)每次試驗的可能結果不止一個,但是能事先明確試驗的所有可能的結果;(3)試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn).則稱滿足該試驗為隨機試驗.簡稱為試驗.第11頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

定義1.1.1

隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間,記為S={ω},S的元素ω,即E的一個可能的結果,稱為樣本點或基本事件.第12頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

E1:拋一枚硬幣,觀察正面H反面T的出現(xiàn)情況;

E2:拋一枚硬幣兩次,觀察正面H反面T的出現(xiàn)情況;

E3:拋一枚硬幣三次,觀察正面H反面T的出現(xiàn)情況;

E4:擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù);

E5:在家電倉庫里隨機地抽取一臺電視機,測試它的壽命;

E6:記錄某一天城市發(fā)生車禍的次數(shù).隨機試驗的例子第13頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三相應的樣本空間第14頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

2.同一試驗,若試驗目的不同,則對應的樣本空間也不同.例如

對于同一試驗:“將一枚硬幣拋擲三次”.若觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,則樣本空間為若觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),則樣本空間為1.試驗不同,對應的樣本空間也不同.幾點說明第15頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三3.建立樣本空間,事實上就是建立隨機現(xiàn)象的數(shù)學模型.因此,一個樣本空間可以概括許多內容大不相同的實際問題.例如只包含兩個樣本點的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產品檢驗中合格與不合格的模型,又能用于排隊現(xiàn)象中有人排隊與無人排隊的模型等.第16頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

在具體問題的研究中,

描述隨機現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.

集合這一概念為我們搭建了從隨機現(xiàn)象到數(shù)學的一座橋梁。第17頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三隨機事件把樣本空間的某個子集(具有某種特征的樣本點組成的子集)稱為“隨機事件”,簡稱為“事件”.以E5為例,如果電視機的壽命超過10000個小時被認為是合格品,則“所抽取的電視機是合格品”這一事件可以用S5的子集A={t:t>10000}來表示.例2中,“至少出現(xiàn)一次正面”這一事件可以表示成:

一般地,我們用英文字母表中前面的大寫字母(可以帶下標)表示事件,如用A,B,C,A1,B3,D17等.第18頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

設A為隨機事件,如果試驗的結果ω屬于A,則稱事件A發(fā)生.即試驗的結果事件A發(fā)生

樣本空間有兩個特殊的子集,一個是S本身,由于它包含了所有可能的結果,所以在每次試驗中它總是發(fā)生的,我們將其稱為必然事件;另一個子集是空集φ,它不包含任何元素,因此在每次試驗中都不發(fā)生,我們將其稱為不可能事件.第19頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1.1.2事件間的關系與運算

由于事件是樣本空間的一個子集,因此本節(jié)所涉及到的事件之間的關系與運算就是集合間的關系與運算,但是事件之間的關系與運算需要一套特別的語言來描述,并且熟悉這種特別的語言對本章及以后的學習起著非常重要的作用.

這一部分的重點就是能正確地將集合論中的符號翻譯成概率論的語言.第20頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1)符號:集合論中的含義:若ω∈A,則ω∈B概率論中的含義:若A發(fā)生,則B發(fā)生.這時我們稱事件B包含了事件A.若同時,則稱A與B相等,記為A=B.SBA第21頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三2)符號:集合論中的含義:ω∈A或ω∈B概率論中的含義:事件發(fā)生事件A發(fā)生或事件B發(fā)生事件A與事件B至少有一個發(fā)生SBA第22頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三進一步推廣第23頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三3)符號:或

AB集合論中的含義:概率論中的含義:事件發(fā)生SABAB第24頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三進一步推廣第25頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.1.1

設有n座橋梁如下圖所示串聯(lián)而成12

nLR用A表示事件“L至R是通路”，Ai表示“第i座橋梁是暢通的”(i=1,2,…,n),則有第26頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三如果這n座橋梁如下圖所示是并聯(lián)而成的，

1

2

nLR則有第27頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三4)符號:集合論中的含義:概率論中的含義:

SABSAB第28頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三5)符號:或集合論中的含義:概率論中的含義:SAB第29頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三6)符號:集合論中的含義:B是A的補集,即有且

概率論中的含義:事件A與B有且只有一個發(fā)生.稱為事件A的逆事件或對立事件SBA有以下公式成立第30頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三7）事件的運算規(guī)律交換律：

結合律：

分配律：

德.摩根律：第31頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.1.2

設A,B,C為三個事件,則

1)事件{A與B發(fā)生而C不發(fā)生}可以表示為2){A,B,C至少有兩個發(fā)生}可以表示為3){A,B,C恰好發(fā)生兩個}可以表示為4){A,B,C中有不多于一個發(fā)生}可以表示為第32頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.1.3

如圖所示的系統(tǒng)中,設A,B,C分別表示元件a,b,

c能正常工作的,D為整個系統(tǒng)能正常工作,則有a

b

c

該例表明,在實際問題中,事件之間相互關系的確定有時不必直接借助于集合,而只須從概率論本身的含義出發(fā)即可.第33頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三§1.2頻率與概率

研究隨機現(xiàn)象不僅要知道可能出現(xiàn)哪些事件,還要知道各種事件出現(xiàn)的可能性的大小.我們把衡量事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標稱作事件的概率.事件A的概率用P(A)來表示.問題:對于一個給定的隨機事件,衡量它發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標——概率,是如何確定的？

第34頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性第36頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三頻率具有如下的特點:

1.頻率的大小在一定程度上能客觀反映事件發(fā)生可能性的大小,頻率大則發(fā)生的可能性也應該大;反之,頻率小則發(fā)生的可能性也小.

2.頻率有一定的隨機波動性.比如當拋投硬幣的次數(shù)不同時得到的頻率常常會不一樣,事實上,有時甚至投同樣多次硬幣可能也會得到不同的頻率,這樣就使頻率缺乏科學度量單位所具有的客觀性.

3.當試驗的次數(shù)逐漸增多時,頻率又具有穩(wěn)定性，它反映了概率的客觀性.第37頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三頻率具有如下性質:1）非負性任意事件A的頻率非負:2）規(guī)范性必然事件S

的頻率為1:3）有限可加性若是一組兩兩不相容的事件,則有第38頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三因為頻率的本質是概率,因此頻率所滿足的這三條性質同時也必須是概率具有的性質.做適當?shù)耐茝V后可以得到概率的公理化定義.第39頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1.2.2概率的公理化定義

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結構，給出了概率的嚴格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.第40頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第41頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

注:在歷史上,對概率的理解一直存在著各種不同看法,比如有從頻率的角度來理解,也有從主觀信念的角度來理解的(如貝葉斯學派的主觀概率),等等,但是不論從哪個角度來理解概率這個概念,大家都承認上面三條是概率必須滿足的最基本的性質.這三條性質就像公理一樣已被數(shù)學家們所普遍接受.因此,上面的定義又被稱為概率的公理化定義.

第42頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三概率的性質性質1.不可能事件的概率為零,即

證

令則且于是由可列可加性，有由于故由上式知第43頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三性質2.

（有限可加性）若是一組兩兩不相容的事件,則有證

利用可列可加性及性質1,令則有第44頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

性質3

證由于再由概率的規(guī)范性和有限可加性,得移項后即證.第45頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

性質4

設,則有證

由及知移項后即得由概率的非負性，即得下面的推論注：一般的，有推論（單調性）若,則有BAAB由,可得第46頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三解設Ak={取出的m個球的最大號碼為k}則有第47頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

性質6（加法公式）對于任意兩個事件A,B有

證

因為再由性質2,3,有第48頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三該性質可推廣到多個事件的和：上述公式有時又被稱為多除少補原理。第49頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第50頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三所以第51頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

概率論所討論的問題中,有一類問題最簡單直觀,這類問題所涉及到的試驗具有下面兩個特征：1)試驗的樣本空間的元素只有有限個;2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.

把具有上述兩個特征的試驗稱為等可能概型或古典概型.例如,拋一枚質地均勻的硬幣,或者出現(xiàn)正面或者出現(xiàn)反面,只有兩種結果,且每種結果出現(xiàn)的可能性相同.又如拋一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù),則共有6種結果,且每一種結果出現(xiàn)的可能性相同。

§1.3等可能概型第52頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三因此,要計算任何一個事件的概率,關鍵是要計算樣本空間所含的基本事件數(shù)n和該事件所含的基本事件數(shù)k.計算公式第53頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.3.4

將一枚硬幣拋擲三次.(1)設事件A1為“恰有一次出現(xiàn)正面”,求P(A1);(2)設事件A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”,求P(A2).

解

（1）樣本空間為而故n=8,k=3,于是（2）由于,于是有第54頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.3.5

將n只球隨機地放入個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率（設盒子的容量不限）解將n只球放入N個盒子中去,每一種放法是一基本事件.易知,這是古典概率問題,因每一只球都可以放入N個盒子中的任一個盒子,故共有種不同的方法,而每個盒子中至多放一只球的放法共有種不同的方法,故所求的概率為第55頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

關于本例題的說明：有許多問題都可歸結為本例的數(shù)學模型,比如生日問題.假設每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,那么隨機選取n(n≤365)個人,他們的生日各不相同的概率為

至少有兩個人的生日相同的概率為第56頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三經計算可得下述結果：n

202330405064100q0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997第57頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.3.6（抽簽問題）箱中裝有a個白球和b個黑球,現(xiàn)從中任意地取球,每次取一球,取后不放回,求第s

(1≤s≤a+b)次取出的球是白球的概率.

解

設想把取出的球依次放在排列成一直線的a+b個位置上,則箱內a+b個球中的任一個放在第s個位置都是等可能的，因此第s個位置上共有a+b中可能，而在該位置放白球則有a種可能性。設A={第s次取出的是白球},則所求的概率為該例的結果表明,抽簽結果是與抽簽順序無關的。第58頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三上式即所謂超幾何分布的概率公式。

第59頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三續(xù)例四因為所以即或令則第60頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.3.8某接待站在某一周曾接待過12次來訪，已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的？

解假設接待時間是沒有規(guī)定的，那么各來訪者在一周7日中去接待站是等可能的，均為1/7。那么這12次接待恰好都在周二和周四的概率為由實際推斷原理，小概率事件在一次試驗中是不會發(fā)生的，而現(xiàn)在居然發(fā)生了，因此有理由懷疑原來假設的正確性，即認為接待時間是有規(guī)定的。非常?。。〉?1頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三解令X正=甲擲出的正面次數(shù)X反=甲擲出的反面次數(shù)

Y正=乙擲出的正面次數(shù)

Y反=乙擲出的反面次數(shù)

因為硬幣是均勻的，由對稱性知由此即得第62頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三因為，第63頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三……所以由加法公式，所求的概率為第64頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三§1.4條件概率第65頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1.4.1條件概率的定義

問題：一個家庭有兩個孩子，已知其中有一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？分析：一個家庭有兩個孩子的所有可能結果為：所以，有第66頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三在該例中，如果不知道事件A已經發(fā)生的信息，那么事件B發(fā)生的概率為上述條件概率還可以寫成第67頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三古典概型的情形這個關系具有一般性，即條件概率是兩個無條件概率之商。這就是下面的定義。第68頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三條件概率的定義第69頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第70頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三由于是不放回抽樣,所以有由定義,

第71頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第72頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三性質1.4.1條件概率也是概率第73頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

概率所具有的性質和滿足的關系式，條件概率仍然具有和滿足．

第74頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1.4.2乘法定理利用條件概率的定義，可直接得到下面的乘法定理第75頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三乘法公式的直觀解釋第76頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三則所求的概率為第77頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.4.4

已知某廠家的一批產品共100件,其中有5件廢品,但是采購員并不知道有幾個廢品.為慎重起見,他對產品進行不放回的抽樣檢查,如果在被他抽查的5件產品中至少有一件是廢品,則他拒絕購買這一批產品.求采購員拒絕購買這批產品的概率.解

設則有從而從而，由概率的乘法公式，有第78頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三于是第79頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.4.5

袋中有一個白球及一個黑球,一次次地從袋中取球.如果取出白球,則除把白球放回外再加進一個白球,直至取出黑球為止.求取了n次都沒有取到黑球的概率.解

設則有從而由乘法公式,有第80頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1.4.3全概率公式與貝葉斯公式第81頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第82頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三由全概率公式，有第83頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三并且第84頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三由全概率公式，有并且第85頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三證明

由條件概率的定義和全概率公式得

貝葉斯公式第86頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第87頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三解

設A={取到的是一只次品}Bi={所取產品是由第i家工廠提供｝顯然，B1,B2,B3是樣本空間的一個劃分(1)由全概率公式(2)由貝葉斯公式同理第88頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.4.9對以往數(shù)據(jù)分析的結果表明,當機器調整得良好時,產品的合格率為90%,而當機器發(fā)生某一故障時,其合格率為30%.每天早上機器開動時,機器調整得良好的概率為75%.試求已知某日早上第一件產品是合格品時,機器調整得良好的概率是多少？解設A={產品是合格品},

B={機器調整得良好}由題意第89頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三機器本身是否處于調整得良好的狀態(tài)是一個客觀給定的事實，但是由于我們所獲得的經驗信息的不同，而對其處于什么樣狀態(tài)的概率得到了不同的數(shù)值，即先驗概率和后驗概率，可以認為它們反映了試驗前后人們對機器狀態(tài)的一種主觀信念．

先驗概率與后驗概率第90頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第91頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

解由貝葉斯公式,有第92頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三一個不懂概率的人可能會這樣推理，由于沒患精神分裂癥的人被CAT掃描診斷為腦萎縮的機會才2%，因此如果某人已經被CAT掃描診斷為腦萎縮，那么他患有精神分裂癥的概率應該很大。然而，由于在美國人口中患有精神分裂癥的比例極小，再加上檢驗方法也不是很完善，因此很多人可能是因為別的原因或疾病而被診斷為腦萎縮。但是如果在做CAT掃描之前，醫(yī)生通過聽其言觀其行就已經有50%的把握將其診斷為精神分裂癥患者（即先驗概率為0.5），那么此時如果通過CAT掃描顯示為腦萎縮，則由貝葉斯公式，其患有精神分裂癥的后驗概率就達到了93.75%．案例：里根遇刺案第93頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三例1.4.11

伊索寓言“狼來了”的貝葉斯分析設A={小孩說謊}，B={小孩可信}，不妨設村民過去對這個孩子的印象（先驗概率）為村民在第一次被騙（A發(fā)生）以后，認為小孩可信程度（后驗概率）調整為第94頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三于是村民認為小孩的可信程度從原來的0.8調整為0.444，即信念的進一步調整在此基礎上，如果孩子再一次撒謊，則村民對他的可信程度會進一步調整為

問題：如果這個孩子再喊“狼來了”，村民們還會相信嗎？第95頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三§1.6獨立性

事件的獨立性是概率論中最重要的概念之一.那么什么是事件的獨立性呢？

所謂兩個事件A與B相互獨立,直觀上說就是它們互不影響,說得更明確一點，就是事件A發(fā)生與否不會影響事件B發(fā)生的可能性,事件B發(fā)生與否不會影響事件A發(fā)生的可能性,用數(shù)學式子來表示,就是且

但是上面兩式分別要求A與B的概率大于零，考慮到更一般的情形，給出如下的定義.第96頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

定義1.6.1

設A、B是兩個事件，如果成立等式則稱事件A與事件B相互獨立.

由定義知，概率為零的事件與任何事件獨立.1.6.1事件的獨立性第97頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

事件之間相互獨立與事件之間互不相容是兩個完全不同的概念.事實上,由定義可以推知，

如果兩個具有正概率的事件是互不相容的,那么它們一定是不獨立的,反之,如果兩個具有正概率的事件是相互獨立的,那么這兩個事件不可能互不相容.

兩個概念之間的區(qū)別第98頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三證明

由概率的性質知由A與B的獨立性知所以類似地可證其余結論.因此，概率為1的事件與任何事件相互獨立。第99頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

定義1.5.2

設A,B,C為三個事件，如果如下四個等式則稱事件A,B,C相互獨立.多個事件的相互獨立性注:定義中前面三個等式只說明這三個事件是兩兩相互獨立的,但是由此并不能將第四個等式推導出來.第100頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三則故有

但是

第101頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

當我們考慮多個事件之間是否相互獨立時,除了必須考慮任意兩事件之間的相互關系外,還要考慮到多個事件的乘積對其它事件的影響.第102頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三注:由定義要判定n個事件是否相互獨立，需要驗證個等式．在實際問題中,獨立性是根據(jù)實際意義來判斷的,然后利用獨立性來計算事件乘積的概率的.第103頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三證明

因為第104頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三兩個結論第105頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三(1)由獨立性和加法公式,所求的概率為

(2)所求的概率為第106頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三例1.5.4設有電路如圖所示,其中1,2,3,4為電子元件.設各電子元件的工作是相互獨立的,且每一電子元件正常工作概率均為p.求L至R的系統(tǒng)正常工作的概率.

第107頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

例1.5.5

設每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,若10名機槍射擊手同時向一架飛機射擊,問擊落飛機的概率是多少?由事件的獨立性可得第108頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三證

記則第109頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三

此例說明,雖然小概率事件在一次試驗中不太可能發(fā)生,但在不斷重復該試驗時,它遲早會發(fā)生.人們常說的“智者千慮,必有一失”,“多行不義必自斃”等講的就是這個道理.

因此,在大數(shù)次的試驗中不能忽略小概率事件,這或許就是“不怕一萬，就怕萬一”的含義所在.小概率事件遲早會出現(xiàn)第110頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三1.5.2伯努利概型

下面我們用事件的獨立性來討論伯努利概型這一在經典概率論中占據(jù)重要地位的模型.

第111頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三伯努利試驗是一種很基本的概率模型．

第112頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三一個n重伯努利試驗的結果或基本事件可以記作設則有如下的重要公式第113頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三故由題意，至少出現(xiàn)一次的概率為第114頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第115頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三第116頁，共127頁，2023年，2月20日，星期三