競(jìng)賽電路等效電阻計(jì)算方法技巧

競(jìng)賽課件電路等效電阻計(jì)算方法技巧第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)稱法電流疊加法

Y-△變換法

對(duì)具有一定對(duì)稱性的電路,通過(guò)對(duì)等勢(shì)點(diǎn)的拆、合，對(duì)稱電路的“折疊”，將電路簡(jiǎn)化為基本的串并聯(lián)電路。

直流電路中各電源單獨(dú)存在時(shí)的電路電流代數(shù)疊加后與所有電源同時(shí)存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流分布，總可歸結(jié)為只含某一個(gè)直流電源的電路電流分布．這就是電流的可疊加性．對(duì)于一些并不具備直觀的對(duì)稱性的電路，可根據(jù)電流的可疊加性，重新設(shè)置電流的分布方式，將原本不對(duì)稱問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具有對(duì)稱性的問(wèn)題加以解決。利用Y型聯(lián)接電阻與△型聯(lián)接電阻間等價(jià)關(guān)系的結(jié)論，通過(guò)電阻Y型聯(lián)接與△型聯(lián)接方式的互換，達(dá)到簡(jiǎn)化電路成單純串聯(lián)或并聯(lián)的目的．第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二ABCDEFHGACBDEGFHAC間等效電阻:

如圖所示，12個(gè)阻值都是R的電阻，組成一立方體框架，試求AC間的電阻RAC、AB間的電阻RAB與AG間的電阻RAG．專題19-例1續(xù)解第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二ABCDEFHGAB間等效電阻:EGFHABCD續(xù)解第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二ABCDEFHGAG間等效電阻:FHCABEDG第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二AB電源外電路等效電阻:通過(guò)電源的電流由

如圖所示的正方形網(wǎng)格由24個(gè)電阻r0=8Ω的電阻絲構(gòu)成，電池電動(dòng)勢(shì)ε=6.0V，內(nèi)電阻不計(jì)，求通過(guò)電池的電流．專題19-例2第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1916年研究了一個(gè)有趣的幾何圖形．他將如圖1所示的一塊黑色的等邊三角形ABC的每一個(gè)邊長(zhǎng)平分為二，再把平分點(diǎn)連起來(lái)，此三角形被分成四個(gè)相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，得到如圖2的圖形；接著再將剩下的黑色的三個(gè)等邊三角形按相同的方法處理，經(jīng)過(guò)第二次分割就得到圖3的圖形．經(jīng)三次分割后，又得到圖4的圖形．這是帶有自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊．它的自相似性就是將其中一個(gè)小單元（例如圖4中的△BJK）適當(dāng)放大后，就得到圖2的圖形．如果這個(gè)分割過(guò)程繼續(xù)下去，直至無(wú)窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空．

圖1圖2圖3圖4數(shù)學(xué)家對(duì)這類幾何圖形的自相似性進(jìn)行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門稱為“分形幾何學(xué)”的新學(xué)科．近三十多年來(lái)，物理學(xué)家將分形幾何學(xué)的研究成果和方法用于有關(guān)的物理領(lǐng)域，取得了有意義的進(jìn)展．我們現(xiàn)在就在這個(gè)背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構(gòu)成的電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問(wèn)題：設(shè)如圖1所示的三角形ABC邊長(zhǎng)L0的電阻均為r；經(jīng)一次分割得到如圖2所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形ABC的邊長(zhǎng)的電阻r的二分之一；經(jīng)二次分割得到如圖3所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形ABC的邊長(zhǎng)的電阻r的四分之一；三次分割得到如圖4所示的圖形，其中每個(gè)小三角形邊長(zhǎng)的電阻是原三角形ABC的邊長(zhǎng)的電阻r的八分之一．⑴試求經(jīng)三次分割后，三角形ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻．⑵試求按此規(guī)律作了n次分割后，三角形ABC任意兩個(gè)頂點(diǎn)間的等效電阻專題19-例3ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGIJ解答第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二讀題對(duì)三角形ABC,任意兩點(diǎn)間的電阻rA

BC對(duì)分割一次后的圖形對(duì)分割二次后的圖形可見(jiàn),分割三次后的圖形遞推到分割n次后的圖形

第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

如圖所示的平面電阻絲網(wǎng)絡(luò)中，每一直線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r．試求A、B兩點(diǎn)間的等效電阻．

小試身手題9ABABBABArAB第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二AB

三個(gè)相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)．已知每一個(gè)金屬圓圈的電阻都是R，試求圖中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻RAB．小試身手題12三個(gè)金屬圈共有六個(gè)結(jié)點(diǎn)，每四分之一弧長(zhǎng)的電阻R/4.將三維金屬圈“壓扁”到AB所在平面并“抻直”弧線成下圖BA第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

正四面體框架形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖所示，其中每一小段電阻均為R．試求RAB和RCD．

小試身手題15BAEFABHIE乙DCIGHL甲甲BAFDCIGHLEDC丙第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解題方向:由于對(duì)稱，可將AB中垂線上各電勢(shì)點(diǎn)拆分，原電路變換為圖乙，我們看到這是一個(gè)具有自相似性的無(wú)限網(wǎng)絡(luò)，其基本單元如圖丙BBnAnRxRRRR2R丙BA甲A乙當(dāng)n→∞時(shí)，多一個(gè)單元，只是使Rx按邊長(zhǎng)同比增大，即

試求框架上A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB．此框架是用同種細(xì)金屬制作的，單位長(zhǎng)度的電阻為ρ．一連串內(nèi)接等邊三角形的數(shù)目可認(rèn)為趨向無(wú)窮，如圖所示．取AB邊長(zhǎng)為a，以下每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)依次減少一半．小試身手題5第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解題方向:將原無(wú)限長(zhǎng)立體正三棱柱框架沿左、右遞縮為三棱臺(tái)再“壓”在AB所在平面，各電阻連接如圖ABCAB

如圖所示是由電阻絲連接成的無(wú)限電阻網(wǎng)絡(luò)，已知每一段電阻絲的電阻均為r，試求A、B兩點(diǎn)之間的總電阻．小試身手題11ABC返回第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二專題19-例4ABABOOABO

田字形電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖所示，每小段電阻絲的電阻均為R，試求網(wǎng)絡(luò)中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻RAB．第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

如圖所示的一個(gè)無(wú)限的平面方格導(dǎo)線網(wǎng)，連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的導(dǎo)線的電阻為r0，如果將A和B接入電路，求此導(dǎo)線網(wǎng)的等效電阻RAB．專題19-例5BA第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二專題19-例6ba

有一無(wú)限大平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為R0，求間位結(jié)點(diǎn)a、b間的等效電阻．第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

如圖是一個(gè)無(wú)限大導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由無(wú)數(shù)個(gè)大小相同的正三角形網(wǎng)眼構(gòu)成，小三角形每邊的電阻均為r，求把該網(wǎng)絡(luò)中相鄰的A、B兩點(diǎn)接入電路中時(shí)，AB間的電阻RAB．小試身手題4AB第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

半徑為R的薄壁導(dǎo)電球由連在A、B兩點(diǎn)上的（AO⊥BO，O點(diǎn)是球心）兩根細(xì)導(dǎo)線接到直流電源上，如圖．通過(guò)電源的電流為I0．問(wèn)在球面上C點(diǎn)處（OC⊥OA，OC⊥OB）電荷朝什么方向運(yùn)動(dòng)？若在C點(diǎn)附近球面上作兩個(gè)小標(biāo)志，使它們相距R／1000，其連線垂直電荷運(yùn)動(dòng)方向．問(wèn)總電流中有多大部分通過(guò)這兩標(biāo)志之連線？小試身手題6BAＯCi1i2C處單位長(zhǎng)度上電流C處垂直于電荷運(yùn)動(dòng)方向上一段弧是的電流為第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

如圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)包括兩個(gè)立方形，每邊電阻均為2r，求A、B間的電阻．小試身手題10ABBACCBAC返回第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二ACIAIc甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙RaRbRcbIbY→△變換

△→Y變換

第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二專題19-例8abBAdcDCABAB間等效電阻:cabO2rr1.5r1.25rOBAC

如圖所示,一個(gè)原來(lái)用12根相同的電阻絲構(gòu)成的立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現(xiàn)將其中一根拆去，求A、B兩點(diǎn)間的電阻．第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

如圖所示,甲中三端電容網(wǎng)絡(luò)為△型網(wǎng)絡(luò)元，乙中三端電容網(wǎng)絡(luò)為Ｙ型網(wǎng)絡(luò)元，試導(dǎo)出其間的等效變換公式．小試身手題1ACqAqC甲BqBCABCACCBC乙acqaqcbqbCbCaCcOY→△變換

△→Y變換

第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二小試身手題2RABR/3R/8R/2R/6

電阻均為R的九個(gè)相同的金屬絲組成構(gòu)架如圖所示，求構(gòu)架上A、B兩點(diǎn)間電路的電阻．第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二如圖所示，由九根相同的導(dǎo)線組成的一個(gè)三棱柱框架，每根導(dǎo)線的電阻為R，導(dǎo)線之間接觸良好，求BD之間的電阻值．小試身手題3BDRBR/3DR/62R/32R/15第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二小試身手題14ABRR/8R/4

如圖所示，由電阻絲構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)中，每一段電阻絲的電阻均為R，試求RAB．

第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二由7個(gè)阻值相同的均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無(wú)限網(wǎng)絡(luò)如圖⑵所示，試求P、Q兩點(diǎn)之間的等效電阻．小試身手題13Rxr/4r/2rrrrrrr⑴⑵PQ第26頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期二如圖所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓臺(tái)形均勻?qū)w，兩底面半徑分別為