蘇教版-必修三-第三章 概率-3.3 幾何概型 省賽一等獎

《幾何概型》教學設計一、學習要求1．了解幾何概型的概念及基本特點；2．熟練掌握幾何概型的概率公式；3．正確判別古典概型與幾何概型,會進行簡單的幾何概率計算．二、課堂互動（一）自學評價試驗1．取一根長度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷．剪得兩段的長都不小于的概率有多大？試驗2．射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)．從外向內為白色，黑色，藍色，紅色，靶心是金色．金色靶心叫＂黃心＂．奧運會的比賽靶面直徑為，靶心直徑為．運動員在外射箭．假設射箭都能射中靶面內任何一點都是等可能的．射中黃心的概率為多少？分析：第一個試驗，從每一個位置剪斷都是一個基本事件，剪斷位置可以是長度為的繩子上的任意一點．第二個試驗中，射中靶面上每一點都是一個基本事件，這一點可以是靶面直徑為的大圓內的任意一點．在這兩個問題中，基本事件有無限多個，雖然類似于古典概型的＂等可能性＂，但是顯然不能用古典概型的方法求解．解：實驗1中，如下圖，記＂剪得兩段的長都不小于＂為事件．把繩子三等分，于是當剪斷位置處在中間一段上時，事件發(fā)生．由于中間一段的長度等于繩長的，于是事件發(fā)生的概率．實驗2中，如下圖，記＂射中黃心＂為事件，由于中靶心隨機地落在面積為的大圓內，而當中靶點落在面積為的黃心內時，事件發(fā)生，于是事件發(fā)生的概率為．小結：幾何概型的概念：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域中的點．這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等．用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型．幾何概型的基本特點：（1）試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個；（2）每個基本事件出現的可能性相等．幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件＂該點落在其內部一個區(qū)域內＂為事件，則事件發(fā)生的概率．說明：（1）的測度不為；（2）其中＂測度＂的意義依確定，當分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應的＂測度＂分別是長度，面積和體積．（3）區(qū)域為＂開區(qū)域＂；（4）區(qū)域內隨機取點是指：該點落在區(qū)域內任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關．（二）精典范例例1．判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型．（1）拋擲兩顆骰子，求出現兩個“4點”的概率；（2）如圖所示，圖中有一個12等分的圓盤，甲乙兩人玩游戲，向圓盤投擲可視為質點的骰子，規(guī)定當骰子落在陰影區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率．分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性．而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區(qū)域長度有關．解：（1）拋擲兩顆骰子，出現的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中骰子落在陰影區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現“骰子落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型．例2．取一個邊長為的正方形及其內切圓（如右圖），隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率．（＂測度＂為面積）分析：由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內任一點的機會都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比．解：記＂豆子落入圓內＂為事件，則．答：豆子落入圓內的概率為．三、思維點拔1．幾何概型的意義也可以這樣理解：向區(qū)域G中任意投擲一個點M，點M落在G內的部分區(qū)域g”的概率P定義為：g的度量與G的度量之比，即：．2．我們可以通過實驗計算圓周率的近似值．實驗如下：向如圖所示的圓內投擲個質點，計算圓的內接正方形中的質點數為，由幾何概型公式可知：，即．四、追蹤訓練1．求例1中（2）的概率．解：由例1（2）分析可知：．2．若,則點在圓面內的概率