第八章磁場能量

第八章磁場能量第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三電流從0I的過程中，電源克服自感電動勢所做的總功：在回路系統(tǒng)中通以電流時，由于各回路自感和互感作用，電源必須提供能量用以克服自感電動勢和互感電動勢而作功。這功最后轉(zhuǎn)化為載流回路的能量和回路電流間的相互作用能，也就是磁場的能量。電源克服自感電動勢所做的元功：自感電動勢：§8.1自感磁能IRKL由能量守恒：自感儲能公式圖8.1R、L串聯(lián)第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三如圖，在建立電流過程中，電源除了供給線圈中產(chǎn)生焦耳熱的能量和抵抗自感電動勢作功外，還要抵抗互感電動勢作功為，即故互感磁能為12I1I2圖8.2互感線圈§8.2互感磁能第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三兩個相鄰的載流線圈所儲存的總磁能為應(yīng)該強調(diào)，自感磁能不可能是負(fù)值，但互感磁能卻可

是負(fù)值。（為什么?）由此可推廣到k個線圈的普遍情形，即將上述總磁能寫成對稱形式，即載流線圈在外磁場中磁能第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三IRKL［例題8-1］把自感為2H，電阻為10Ω的線圈，連接到電動勢ε=100V、內(nèi)阻可忽略不計的電池組上。求⑴電流達(dá)到最大值時,線圈中所儲的磁能Wm？⑵從接通電路算起，經(jīng)過多長時間線圈中所儲磁能Wm達(dá)到的一半？⑶在接通0.1s時，磁場中儲存能量的增加率、線圈中的熱功率、電池組的輸出功率？解：⑴電路中電流當(dāng)時圖8.3題8-1用圖第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三⑵設(shè)在時，⑶在接通0.1s時即第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三在接通0.1s時電流增加率線圈中能量增加率則為線圈中熱功率則為電池組輸出功率則為第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三證明M12=M21先建立I1，這時K為斷開狀態(tài);再建立I2，此過程中調(diào)節(jié)ε1,維持I1不變；在回路1中產(chǎn)生互感電動勢則若與上述順序相反，先建立I2，再建立I1，且維持I2不變則終態(tài)能量與建立順序無關(guān)，即則得K12ε1圖8.4證明M12=M21Nextε2第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三以通電螺繞環(huán)為例，得到磁能與磁場的關(guān)系對于通電螺繞環(huán)用上式代入得磁能：上式表明：磁能與磁感強度B有關(guān)，還與磁場所占體積成正比。即磁能定域于磁場的整個體積。IR圖8.5通電螺繞環(huán)§8.3磁能和磁能密度第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三磁能密度：磁場總能量注意：積分應(yīng)遍及整個磁場分布的空間；磁能公式對于鐵磁質(zhì)不適用（為什么？）;可證明，在普遍情況下，磁場中的磁能密度表達(dá)為:第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三4.對于兩個載流線圈同時存在時，不僅要考慮自感磁能，還要考慮互感磁能。3.對于一個載流線圈，利用磁能關(guān)系式，提供了計算自感L的另一種計算方法式中前兩項分別為兩個線圈的自感磁能，笫三項為互感磁能。從式中還可知，系統(tǒng)的總磁能只與最后所達(dá)到的狀態(tài)有關(guān)，而與磁場建立的過程無關(guān)。12I1I2圖8.6載流線圈第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三【討論】：①

只與終態(tài)有關(guān)，與建立電流的先后順序無關(guān)；②前兩項對應(yīng)自感磁能，第三項對應(yīng)互感磁能，互感磁能有正、有負(fù)，視與的夾角而定；迅變電流時，只有后者適用，其適用范圍廣；③電流變化慢時或④前者說明磁能存在于載流線圈中，后者說明磁能存在于場不為零的空間，更具普遍意義；⑤

可作為自感系數(shù)L的更具普遍意義的定義式，可作為互感系數(shù)M

的更具普遍意義的定義式。第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三［例題8-2］用磁場能量的方法，證明兩個線圈的互感系數(shù)（設(shè)沒有鐵磁物質(zhì)存在）。M12=M21然后接通線圈2，電流i2從零增加到I2，同時維持線圈1內(nèi)的電流I1不變，故線圈2內(nèi)電源做功［證］設(shè)兩個線圈在開始時都斷路。先接通線圈1，電流i1從零增加到I1，電源做功線圈1內(nèi)要維持電流I1不變，需要克服互感電動勢作功12I1I2圖8.7題8-2用圖第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三因此兩載流線圈系統(tǒng)的磁能應(yīng)等于同樣，如果先建立線圈2內(nèi)的電流I2，然后維持I2不變，建立線圈1中的電流I1

，則得因為系統(tǒng)的能量與電流形成的過程無關(guān)，故結(jié)論是M12=M21=M問題：運用磁能的方法求解線圈串連的自感?第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三【例8-3】：計算長直同軸電纜單位長度內(nèi)的電感L0，設(shè)電流均勻分布于內(nèi)導(dǎo)線橫截面上?！窘狻浚簝?nèi)外導(dǎo)體間的磁場內(nèi)導(dǎo)線中的磁場R1R2圖8.8同軸電纜截面第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三磁能密度所以由得第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[例8.4]一同軸電纜，中心是半徑為a的圓柱形的導(dǎo)線，外部是內(nèi)半徑為b、外半徑為c的導(dǎo)體圓筒，在內(nèi)、外導(dǎo)體之間充滿磁導(dǎo)率為的介質(zhì)，電流I在內(nèi)、外導(dǎo)體中的方向如右下圖所示。設(shè)電流沿截面均勻分布，求這電纜單位長度的自感系數(shù)L0。[解]

原來我們從計算磁場和磁通量出發(fā)求自感，這種方法在此處不便使用。■下面換一種方法，即先求，再根據(jù)計算自感L。為計算，考慮長度為l的一段電纜，將其按圖劃分為為四個區(qū)域，分別計算各區(qū)的磁場、磁能密度和磁能。第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1區(qū)：，（對一般導(dǎo)體成立）。由環(huán)路定理可得：2區(qū)：，磁導(dǎo)率為，可求得：第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三3區(qū)：，。穿過半徑為r環(huán)路的總電流為故有:第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三4區(qū)：，穿過半徑為r的環(huán)路的總電流為于是有和■由上述結(jié)果計算長度為l的電纜的總磁能：然后由和求得電纜單位長度的自感第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三*§8.4非線性介質(zhì)及磁滯損耗前面限于線性無損耗介質(zhì)，本節(jié)討論非線性介質(zhì)的磁能及磁滯損耗問題。

■簡化為螺繞環(huán)情況：設(shè)螺繞環(huán)的截面積為S，線圈匝數(shù)為N，電流為I，內(nèi)部填滿磁化強度為M的磁介質(zhì)。設(shè)在dt時間內(nèi)螺繞環(huán)內(nèi)的磁感應(yīng)強度由B增至B+dB，則穿過線圈的總磁通變化為：(8.4.1)

■電源克服感應(yīng)電動勢所作的元功為：

(8.4.2)

第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■由安培環(huán)路定理，可推得：

(8.4.3)

將上式代入可得：(8.4.4)■對單位體積螺繞環(huán)介質(zhì)，電源所作的元功為：(8.4.5)

進(jìn)一步可將上式改寫為：(8.4.6)

第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■在磁荷觀點下，一般將上式右邊第一項稱為宏觀磁能密度的變化。該式的物理意義：電源所作的功一部分用來增加宏觀磁能，另一部分為對介質(zhì)作的磁化功?！鲆治龃呕Φ木唧w形式及其后果，必須考慮介質(zhì)的磁化規(guī)律，即M和H的函數(shù)關(guān)系。對線性無損耗介質(zhì)，可將磁化規(guī)律寫成：對各向同性介質(zhì)有，。第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三可證，于是得：

(8.4.7)

式中稱磁化能密度。上式表明：磁化功全部轉(zhuǎn)換為介質(zhì)的磁化能。將上式代入式（8.4.6）得：(8.4.8)

即電源作功全部轉(zhuǎn)化為螺繞環(huán)的磁能。注意：這里的磁能密度等于宏觀磁能密度之和。和磁化能密度第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■對非線性磁介質(zhì)不再有上述簡單結(jié)論。下面以鐵磁體為例進(jìn)行討論。當(dāng)從某點A出發(fā)沿著磁滯回線循環(huán)一周回到A時，電流對單位體積鐵磁體所作的功可由式（8.4.6）求得：(8.4.9)

式中右邊沿磁滯回線的閉路積分正好等于磁滯回線所圍的“面積”。這部分功不改變磁場強度和介質(zhì)的磁化狀態(tài)，它所傳遞的能量將轉(zhuǎn)化為熱量。這部分因磁滯現(xiàn)象而消耗的能量稱為磁滯損耗?！鲈诮涣麟娐分?，電感元件鐵芯的磁滯損耗是有害的，應(yīng)當(dāng)盡量使之減少，并采取措施防止鐵芯過熱。第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三※§8.5利用磁能求磁力（自學(xué)）在已知外磁場和電流的分布之后，可通過安培公式來計算磁力，該內(nèi)容已在第六章6.1節(jié)作過討論。在有些情況下，系統(tǒng)的磁能易于求得，通過它求磁力更方便，本節(jié)將介紹這一方法。先來分析由N個載流線圈構(gòu)成的電流系統(tǒng)，考慮其中一個載流線圈所受的磁力F。設(shè)想該載流線圈有一虛位移，在該虛位移下各線圈的電流維持不變。此時，磁力作功為：(8.5.1)

■與此同時，維持各線圈電流不變需要外部電源反抗感應(yīng)電動勢作功，設(shè)這部分功為。第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■電源作功使系統(tǒng)磁能增加，而磁力作功則使系統(tǒng)磁能減少，故系統(tǒng)磁能的變化應(yīng)為：(8.5.2)

■為弄清和的具體關(guān)系，需要求出和的關(guān)系。為此，設(shè)因受力載流線圈作虛位移導(dǎo)致第i個線圈的磁通量變化，則該線圈中的電源反抗感應(yīng)電動勢作功應(yīng)為：于是電源作的總功為：(8.5.3)

第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三相應(yīng)系統(tǒng)磁能的變化可導(dǎo)出：(8.5.4)

比較式（8.5.3）和式（8.5.4），可以看出：

(8.5.5)

將式（8.5.5）代入式（8.5.2）右邊得：(8.5.6)

■由式（8.5.1）和式（8.5.6）可得：(8.5.7)下標(biāo)I表示求的偏導(dǎo)數(shù)或梯度時，中I應(yīng)視為常數(shù)。第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■再介紹另一個與式（8.5.7）等效的由磁能求力的公式。為此，我們假定在受力線圈虛位移過程中，維持各線圈的磁通不變，從而線圈中不會出現(xiàn)感應(yīng)電動勢。在這種方案下，電源將不參與作功，故磁力作功正好等于系統(tǒng)磁能的減少，即：

(8.5.8)由式（8.5.1）和式（8.5.8）可得：(8.5.9)

下標(biāo)Φ表示在求的偏導(dǎo)數(shù)或梯度時，中的Φ應(yīng)視為常數(shù)。

第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■當(dāng)有線性無損耗磁介質(zhì)存在時，式（8.5.7）或式（8.5.9）也成立，只是系統(tǒng)的磁能中包括了介質(zhì)的磁化能?！霎?dāng)研究載流線圈在外磁場中受的磁力時，可用載流線圈在外磁場中的磁能代替，而不必計入載流線圈和外磁場本身的自能?！霎?dāng)位移用角位移代替時，可求得力矩公式：

(8.5.10)

(8.5.11)第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■現(xiàn)在我們從磁能出發(fā)來重新分析外磁場作用在載流線圈上的力和力矩。設(shè)線圈尺寸很小，其磁矩為m，外磁場為B，則由式（8.2.4）可知，其磁能為：■從式（8.5.7）出發(fā)，固定I不變相當(dāng)于固定m的大小不變，且為平動位移，故m的方向也不變。于是有：(8.5.12)

根據(jù)矢量微分公式：考慮到B為外場，在線圈所在處有成立，故：有用的實例第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■根據(jù)式（8.5.10），可算得磁場作用在磁矩上的力矩

(8.5.13)

注意是從B開始計算，故與反向?！鲈诘诹?.4節(jié)討論順磁效應(yīng)的微觀機制時，曾把磁矩為的分子在磁場B中的能量定為；在量子力學(xué)中，具有固有磁矩m的基本粒子在外磁場中的能量也定義為。二者均與磁能的定義式（8.2.4）差一負(fù)號。這一差別在于：由定義的是磁矩為m的粒子在外磁場B中的“勢能”，即固定m不變（不考慮這樣做是否需要付出代價或額外作功），由粒子在外磁場中的位置和取向所決定的勢能，它的變化等于磁力作功的值反號。第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三■于是，磁力的公式為：

(8.5.14)式（8.5.14）在形式上與式（8.5.7）差一負(fù)號，而實際上，如將代入式（8.5.14），則兩式完全一致?！鱿鄳?yīng)，磁場作用在磁矩上的力矩表達(dá)式應(yīng)變成：

(8.5.15)它與式（8.5.10）實際上是一致的。在討論某種固有磁矩的基本粒子問題時常取其勢能，則相應(yīng)地求磁力和磁力矩的公式用式（8.5.14）和式（8.5.15）。第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三[例8.5]求相距r、磁矩為和的兩磁偶