《普通物理》第九章 波動

1第九章波動29.1波的描述

波動現(xiàn)象波的產(chǎn)生需要兩個條件：波源和介質(zhì)波源在介質(zhì)中振動，與介質(zhì)發(fā)生相互作用，這種影響由近及遠，以波的形式向周圍傳播——波是振動狀態(tài)的傳播。波的產(chǎn)生、波在彈性介質(zhì)中的傳播3輻射的方向性單極輻射輻射的相位4偶極輻射輻射的方向性輻射的相位簡諧振動5平面四極輻射輻射的方向性輻射的相位6線性四極輻射輻射的方向性輻射的相位音叉近場遠場7橫波：波的傳播方向與振動方向垂直縱波：波的傳播方向與振動方向平行一維空間傳播的波：弦波二維空間傳播的波：水面的波三維空間傳播的波：聲波、電磁波8平面波：波陣面為平面球面波：波陣面為球面柱面波：波陣面為柱面波陣面（波前）：振動狀態(tài)相同的點組成的面波線：波的傳播方向線波線波陣面9

平面簡諧波空間每一點都作簡諧振動，不同點之間有確定的相位差相位以一定的速度傳播，此即波的相速，簡稱波速

v。對于波包來說，波包中心前進的速度稱為群速

ug10先假設波向右傳播，波速v，考慮x=0點的振動

x點、t時刻的振動，是

x=0在

t–

x/v

時刻的振動傳播而得到的11相的傳播速度相位φ

保持不變，上式兩邊對時間求導向左傳播的簡諧波的表達式

12

平面簡諧波波數(shù)

13三維空間的平面簡諧波

球面簡諧波

14第九章作業(yè)題

1、2、3、4、5、8、10、17159.2彈性體的性質(zhì)

彈性介質(zhì)的基本性質(zhì)波在介質(zhì)中如何傳播，是由介質(zhì)的性質(zhì)決定的。當介質(zhì)的形變較小時，介質(zhì)可當作彈性介質(zhì)：介質(zhì)中各點的相對位移與力成正比介質(zhì)的彈性行為由彈性模量描述，根據(jù)形變類型的不同，彈性模量分為：楊氏模量、剪切模量和體積彈性模量。16楊氏模量E剪切模量G體積模量K

17

泊松比縱向被拉伸的桿必然伴有橫向的收縮泊松比σ：材料的收縮率與伸長率之比對于普通材料，楊氏模量、剪切模量與泊松比三者之間滿足關系楊氏模量一般是剪切模量的2到3倍189.3波動方程

波動方程的形式波動方程可能的形式？平面簡諧波第一項：質(zhì)元的加速度第二項：質(zhì)元的受力

波動方程的推導：選取質(zhì)元，分析受力，計算合力，代入運動方程19質(zhì)元dm兩側(cè)的受力分別正比于一階導數(shù)，合力正比于二階導數(shù)橫波和縱波偏離平衡位置的位移為y體元兩端位移量相同代表沒有拉伸，對應y

的一階導數(shù)為零y的一階導數(shù)為正，介質(zhì)處于拉伸狀態(tài)，為負則為壓縮狀態(tài)。一階導數(shù)代表相對拉伸的程度，正比于應力波的傳播方向橫波位移縱波位移質(zhì)元dm平衡位置縱波體元左側(cè)平衡位置1212

20

弦的波動方程弦的張力T，密度ρ分析一小段弦的受力弦在

x位置，偏離平衡位置的位移弦沿

x方向無位移

21弦所受合力牛頓第二定律弦的波動方程波速22

均勻彈性棒中橫波和縱波的波動方程均勻彈性棒的橫截面積為S，密度ρ，沿棒取為x

方向。設沿縱向（橫向）偏離平衡位置的位移為分析其中一小段23在x處的縱向（橫向）彈力為同樣在

x+Δx

處的縱向（橫向）彈力為24式中偏導數(shù)為正值時，對應的是拉伸狀態(tài)，所以左端為負，右端為正。這一小段所受合力為這一小段的縱向（橫向）加速度為25牛頓第二定律縱波和橫波的波動方程三維波動方程與一維的形式相同，只是縱波的波速略有不同縱波波速橫波波速26

聲波的波動方程聲波的物理內(nèi)容包含了三個特征：

I氣體的位移使密度發(fā)生變化

II密度的變化對應著壓強的變化

III壓強的不相等導致氣體的運動聲波是縱波，表現(xiàn)為疏密狀態(tài)的移動，空氣的壓強在平衡壓強（大氣壓）附近有起伏，聲波也表現(xiàn)為這種壓強起伏的傳播。27空氣中熱量傳播非常慢，并且聲波傳播很快，空氣來不及與外界交換熱量，過程實際上是絕熱的。氣體的壓強p

和體積V

滿足絕熱方程。首先考慮第二個特征Cp,m是定壓摩爾熱容，CV,m是定體摩爾熱容。28設沿縱向偏離平衡位置的位移為考慮第一個特征分析橫截面積為S

的其中一小段在

x

點附近，體積的相對變化為上式中偏導數(shù)為正，對應氣體的膨脹，故壓強減小。29左端的壓強右端的壓強這一小段所受的壓強差30最后考慮第三個特征牛頓第二定律聲波的波動方程對理想氣體，聲速R是氣體普適常量，T是絕對溫度，M是氣體的摩爾質(zhì)量31

一維波動方程的通解一維波動方程的一般形式偏微分方程的通解不同于二階常微分方程，通解中出現(xiàn)的是兩個待定的函數(shù)，而不是兩個待定的常數(shù)32首先驗證兩個獨立的解滿足波動方程同理，另一個獨立的解也滿足方程。33初始條件給定后，波動方程的解唯一確定初始條件將通解代入，由初始條件確定方程的解傳播因子34

三維空間波的傳播因子

35附近甲殼蟲的運動會產(chǎn)生波，橫波的波速50m/s，縱波的波速150m/s，波到達蝎子最近足部的時間間隔4.0ms，甲殼蟲的距離？縱波橫波369.4波的能量我們以彈性介質(zhì)中的平面簡諧縱波為例分析波的能量介質(zhì)的密度ρ，楊氏模量E，向右傳播的平面簡諧波當介質(zhì)內(nèi)有波傳播時，介質(zhì)處于拉伸和運動狀態(tài)，因此波的能量既包含動能，又包含勢能。分析對象：介質(zhì)內(nèi)一個截面為ΔS、長為Δx的體元37體積元的動能在平衡位置動能最大，在波峰和波谷處動能為零。38體積元的勢能先求一段長L、截面積為S的彈性介質(zhì)發(fā)生形變時具有的彈性勢能在伸長ΔL的過程中，外力F所做的功其中E為楊氏模量，相對形變?yōu)閷τ隗w積元ΔSΔx，相對形變?yōu)?y/?x，該體積元的勢能為39勢能與動能的變化同相都是在平衡位置勢能最大，在波峰和波谷處勢能為零能量密度能流密度：沿波的傳播方向，單位時間通過單位面積的能量40對于三維平面簡諧波，能量密度和能流密度的形式相同ρ

為介質(zhì)的體密度能量密度能流密度在任一位置，能流密度在一個周期內(nèi)的平均值稱為該處波的強度聲強的單位：分貝（dB）聲強級

基準聲強

419.5波的疊加——駐波

波的疊加原理疊加原理的成立是建立在波動方程是線性的這個性質(zhì)上42

駐波的形成如果弦的兩端都固定，形成穩(wěn)定波形的條件是什么？設有兩列波，振幅相同，在左端點（原點）反相：合成的波固定端的反射因為弦的端點不動，它所受的合力為零。波傳播到固定端時，對端點施加一個作用力，墻要施加一個等值、反向的作用力，從而產(chǎn)生一個從右向左傳播的反射波：振幅相同、反相43在右端點

x=

l處要求y=0，即設波速為u，相應的頻率為最低的頻率稱為基頻，其它依次稱為二次、三次…諧頻44駐波的形成45基頻二次諧頻三次諧頻46有關駐波的幾個概念駐波的頻率波節(jié)波腹波腹波腹波節(jié)相鄰波節(jié)或波腹的間距為半波長47二維駐波矩形薄膜（a，b）駐波的頻率48正方形薄膜49圓形薄膜2.40483isthefirstrootofthezero-thorderBesselfunctionJ0(x)5.52008isthesecondrootofJ0(x)3.83171isthefirstrootofJ1(x)Ts:膜的表面張力ρs:膜的面密度a:膜的半徑509.6多普勒相應與沖擊波

多普勒相應多普勒效應探測器所接受到的波的頻率依賴于波源和探測器相對介質(zhì)的運動在無色散的介質(zhì)中,波速與波源和探測器的運動與否無關波源頻率

探測器51（1）波源靜止觀察者運動波源波速

u探測器先討論波源或探測器的運動都在二者的連線上波相對觀察者的傳播速度波長未變，觀察者感受到的頻率52（2）波源運動觀察者靜止波源波速

u探測器波相對觀察者的有效波長波速未變，觀察者感受到的頻率53（3）波源和觀察者都運動波源波速

u探測器波相對觀察者的有效波長觀察者感受到的頻率波相對觀察者的傳播速度54波源和觀察者作任意運動波源觀察者相位增量觀測到同樣的相位增量波源觀察者55例警車警笛的頻率聲速車速聲音經(jīng)前面墻的反射向后傳播，求人聽到的拍頻。56

沖擊波當波源運動的速度接近波速時，在波源前產(chǎn)生聲壘（soundbarrier）和轟聲（sonicboom）。超音速飛行57當波源運動的速度大于波速時，波前