第三章靜定結構受力分析

第三章靜定結構受力分析第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學§3-1概述一、桿件任一截面上的內力1、內力分量及正負號規(guī)定：

軸力FN：拉正壓負。剪力FQ：繞隔離體順轉為正，反之為負。彎矩M：使桿件下(右)側受拉為正，反之為負。

2、計算方法：截面法，利用靜力平衡條件計算。

例：FNFNFQFQMM

求支座反力

“整體”VAVBHA

求跨中截面C內力

“AC”第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

3、表示方法：用內力圖表示。

內力圖：表示結構上各截面內力值的圖形，通常用橫坐標表示截面位置，縱坐標表示內力的值。內力圖軸力FN圖剪力FQ圖彎矩M圖必須標注正負，通常正值畫在上方(左側)，負值畫在下方。不標正負，畫在受拉纖維一側。例：上例簡支梁－FQ圖＋M圖注意：內力圖如打陰影線，則陰影線必須與桿軸垂直，因為陰影線有明確的幾何含義，即陰影線的長度表示陰影線所在截面的內力大小。第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學二、荷載與內力的關系1、微分關系：

上述四個關系式就是荷載與內力的微分關系。第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學2、微分關系的幾何含義：

表示：軸力圖在某點的切線斜率大小等于該點的軸向荷載集度，符號相反。表示：剪力圖在某點的切線斜率大小等于該點的橫向荷載集度，符號相反。表示：彎矩圖在某點的切線斜率大小等于該截面的剪力。

3、特殊荷載作用段內力圖的幾何特征：

⑴均布荷載段：

M圖為二次拋物線，拋物線的凸向就是荷載的作用方向。

FQ圖為斜直線，自左向右，斜線的傾斜方向就是荷載的作用方向。

⑵無荷載段：

M圖為直線。

FQ圖為一常量。⑶集中荷載作用點：

M圖有一尖點，尖點指向就是荷載的作用方向。

FQ圖有突變，自左向右，突變方向就是荷載作用方向，突變大小等于橫向荷載值。第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

⑷集中力矩作用點：

M圖有一突變，突變值等于集中力矩的大小。

FQ圖無變化。

⑸M圖與FQ圖之間的關系：自左向右，FQ圖為正號的區(qū)段，M圖切線為下降的斜直線；FQ圖為負號的區(qū)段，M圖切線為上升的斜直線。注意：上述微分關系和幾何特征僅適用于直桿。由左圖所示曲桿微段的平衡條件，可以導出曲桿的微分關系為第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學三、疊加法作彎矩圖回顧材料力學M圖的作法：

先作剪力FQ圖，通過FQ圖面積的計算，求作M圖。結構設計中，許多情況是彎矩起控制作用，因此，在結構分析中，經常不需要作剪力FQ圖，只要求作彎矩M圖。

故，結構力學中彎矩圖的作法通常不再沿用材料力學的方法，而是采用疊加法——不通過剪力圖，直接作彎矩圖。疊加法理論基礎——疊加原理：結構在多個荷載共同作用下的效果等于各個荷載單獨作用效果的和。

適用條件：1、線彈性材料；

2、小變形假定。第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學直桿段受力簡支梁受力兩者任一截面內力相同嗎？=+=+注意：疊加是對應截面彎矩的代數值相加，也就是圖形的縱坐標相加。并不是圖形的簡單拼合。區(qū)段疊加法（sectionsuperpositionmethod）:每桿段先作桿端彎矩產生的彎矩圖(直線)，再疊加上桿段上外荷載產生的簡支梁彎矩圖(幾何特征與外荷載有關)。第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學由桿端彎矩作圖疊加q彎矩圖例：疊加法作梁的M圖。M2疊加ql2彎矩圖第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學要熟練運用疊加法作彎矩圖，必須熟記常用單跨梁的彎矩圖。第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學FQ圖(kN

)例：作圖示梁的彎矩圖和剪力圖FA=58kNFB=12kN164618201826MEqMFFQFFQE10單位:kNm第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學思考題：1.作圖示斜梁的彎矩圖。2.下面兩根梁的跨度、傾角、荷載均相同，試比較它們的軸力、剪力和彎矩是否相同？豎向鏈桿鏈桿與桿件垂直第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學§3-2多跨靜定梁一、多跨靜定梁的幾何組成特點由單跨靜定梁（簡支梁或懸臂梁）作為基本單元，通過中間鉸構造出的跨越幾個相連跨度的靜定梁，稱為多跨靜定梁。工程實例：

鋼筋砼公路橋企口結合計算簡圖層疊圖幾何組成特點：多跨靜定梁可分為基本部分和附屬部分兩部分?；静糠郑翰灰蕾嚻渌糠侄塥毩⒊惺芎奢d的幾何不變部分。例：上例邊跨。附屬部分：需依靠其它部分才能獨立承受荷載的幾何不變部分。例：上例中跨。層疊圖可以是多層，基本部分和附屬部分是相對而言的。第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學二、多跨靜定梁的靜力分析特點多跨靜定梁的受力特點：層疊圖清楚地表明了荷載的傳遞路線，故，作用在基本部分上的荷載對附屬部分的內力不產生影響；而作用在附屬部分上的荷載在基本部分上產生內力。計算原則：

先計算附屬部分，再計算基本部分，按層疊圖由上往下逐層計算。所有靜定結構的支反力理論上都可以通過求解聯立方程得到，比如上例中，整體三個平衡方程，加上鉸C和E任一側部分對兩個鉸的力矩平衡方程，共5個獨立方程可求5個支反力。但這種方法計算工作量大，應盡量避免。根據幾何組成特點，按“先附屬，后基本”的步驟進行受力分析，可避免（或減少）求解聯立方程。

這種分析方法的原則，對所有靜定結構都是適用的。AFBCEDGP1P2P3層疊圖AFBCEDGP1P2P3例：結構層疊圖分為三層：ABC為基本部分。CDE是ABC的附屬部分，同時又是EFG的基本部分。EFG是頂層附屬部分。第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學練習：區(qū)分基本部分和附屬部分，并畫出層疊圖。第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學BCD8qa8qa3qa2EBACDFEGa2qaaaaaaa2a8qa8qa3qa26qa2qa例1：試求作圖示多跨靜定梁的彎矩圖和剪力圖。30°解：1.ABCDE為基本部分，EFG為附屬部分。

2.求鉸B、E處約束力及支座反力。

3.作彎矩圖、剪力圖。BA2qEF30°G3qa26qa2qa第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學BACDFEGa2qaaaaaaa2a8qa8qa3qa26qa2qa30°EF30°G3qa26qa2qaBA2qBCD8qa8qa3qa2EM圖第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學BCD8qa8qa3qa2EBACDFEGa2qaaaaaaa2a8qa8qa3qa26qa2qa30°EF30°G3qa26qa2qaBA2qFQ圖＋—＋—＋—封閉可做為校核條件第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學qqqAEFBCDFE例2：圖示三跨靜定梁，全長承受均布荷載q，試確定E、F鉸的位置，使中間跨支座負彎矩與跨中正彎矩大小相等。解：1.EBCF為基本部分，AE和FD為附屬部分。

2.求鉸B、E處約束力及支座反力。

3.確定鉸E、F的位置。BAqCDFEll-xxl-xx第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

例3：不求支座反力，利用內力圖的幾何特征，快速作圖示靜定梁的彎矩圖。1m4m1m4m4mM圖（kNm）第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學多跨靜定梁內力計算總結：多跨靜定梁內力計算的關鍵在于:

⑴正確區(qū)分基本部分和附屬部分；⑵熟練掌握單跨梁的計算。即，拆成單個桿計算,先算附屬部分,后算基本部分。⑶熟練掌握疊加法作單跨梁彎矩圖。為何采用多跨靜定梁這種結構型式?（多跨靜定梁的優(yōu)點）簡支梁(兩個并列)多跨靜定梁x相同跨度相同荷載作用下，與簡支梁相比，多跨靜定梁彎矩較小，而且分布均勻。（節(jié)省材料，便于大跨）第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學至少需要增加2個約束，才能幾何不變幾個自由度？§3-3靜定平面剛架（Frame）一、剛架的特點由直桿組成、且全部（或部分）結點是剛性連接的結構稱為剛架。桿軸及荷載在同一個平面內、且無多余約束的剛架稱為靜定平面剛架。剛架的幾何不變性一般依靠結點的剛性連接來維持。

幾何可變體系BAECDBAECDBAECD增加兩根斜桿成為桁架結構C、D改為剛結點成為剛架結構均幾何不變，但剛架具有較大的內部空間，對建筑空間的使用有利法一法二剛結點剛結點第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學剛結點的特點：

從變形角度看：在剛結點處各桿不能發(fā)生相對轉動，即，各桿間的夾角始終保持不變。BACD90°90°90°90°

從受力角度看：剛結點可以承受和傳遞彎矩，因而，在剛架中彎矩是主要內力。BABA鉸結點剛結點剛結點處的彎矩使桿件跨中彎矩的峰值得到削減。第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學瀝青麻刀1：2水泥砂漿三鉸剛架瀝青麻刀1：2水泥砂漿簡支剛架懸臂剛架細石砼二、靜定平面剛架的形式基本形式組合形式—復雜剛架（基本形式按基本、附屬關系組合而成）懸臂剛架簡支剛架三鉸剛架單體剛架多體剛架復雜剛架CABGFED三鉸剛架ABC是基本部分，簡支剛架ED、FG是附屬部分。第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學EBACDEABCD三、靜定平面剛架的內力計算及內力圖繪制原則：一般先求反力，然后求控制截面內力，再用區(qū)段疊加法，或根據內力圖幾何特征，逐桿繪制內力圖。總體原則與靜定梁相同。

例1：求作圖示懸臂剛架的內力圖。解：1.計算支座反力。

2.計算各桿端截面內力，并作內力圖。

M圖第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學EBACDEABCD三、靜定平面剛架的內力計算及內力圖繪制原則：一般先求反力，然后求控制截面內力，再用區(qū)段疊加法，或根據內力圖幾何特征，逐桿繪制內力圖?？傮w原則與靜定梁相同。

例1：求作圖示懸臂剛架的內力圖。解：1.計算支座反力。

2.計算各桿端截面內力，并作內力圖。

FQ圖+-+第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學EBACDEABCD三、靜定平面剛架的內力計算及內力圖繪制原則：一般先求反力，然后求控制截面內力，再用區(qū)段疊加法，或根據內力圖幾何特征，逐桿繪制內力圖?？傮w原則與靜定梁相同。

例1：求作圖示懸臂剛架的內力圖。解：1.計算支座反力。

2.計算各桿端截面內力，并作內力圖。

FN圖--第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學ABCDFQ圖M圖ABCDCABD

例2：求作圖示簡支剛架的彎矩M圖和剪力FQ圖。解：1.計算支座反力。計算前支座反力的真實方向未知，先任意假定方向，如計算結果為正，表明真實方向與假定方向一致，反之，真實方向與假定方向相反。

2.計算各桿端截面內力，并作內力圖。

-＋-＋-24第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學ABCD

例3：求作圖示三鉸剛架的彎矩M圖和剪力FQ圖。解：1.計算支座反力。本例為三鉸剛架，有四個支座反力，需要四個平衡方程求解。

除了利用整體的三個平衡方程外，通常選擇半結構，根據內部C結點的約束條件，建立另一個補充方程。本例中C為鉸，不能抵抗彎矩，故，對AC或BC有E2.計算各桿端截面內力，并作內力圖?！罢w”：“BEC”：“整體”：支座反力求出后，利用半結構的另外兩個平衡條件可求C結點內部約束力。第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學-＋＋＋-ABCD

例3：求作圖示三鉸剛架的彎矩M圖和剪力FQ圖。EABCDEM圖

(kNm)FQ圖

(kN)ABCDE

桿端剪力可利用桿件對桿端取矩平衡計算，比如：CD第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學ABDEC1.2.ABDEC三鉸剛架計算的關鍵在于約束力（支座反力和內部約束力）的計算，計算支座反力的四個平衡條件要根據約束的形式靈活選用，盡可能避免求解聯立方程組而獨立求解——支反力計算方法由構造特點決定。

思考題：如何計算圖示三鉸剛架的約束力。有哪些支座反力？第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學ABDEC3.三鉸剛架計算的關鍵在于約束力（支座反力和內部約束力）的計算，計算支座反力的四個平衡條件要根據約束的形式靈活選用，盡可能避免求解聯立方程組而獨立求解——支反力計算方法由構造特點決定。

思考題：如何計算圖示三鉸剛架的約束力。C結點哪些約束力？4.ACBD特點：自平衡結構

ADB相當于基礎

AC、BC三鉸形式第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學三鉸剛架計算的關鍵在于約束力（支座反力和內部約束力）的計算，計算支座反力的四個平衡條件要根據約束的形式靈活選用，盡可能避免求解聯立方程組而獨立求解——支反力計算方法由構造特點決定。

思考題：如何計算圖示三鉸剛架的約束力。4.ACBD特點：自平衡結構

ADB相當于基礎

AC、BC三鉸形式ACBDAB第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

例4：求作圖示剛架的M圖。附屬部分（簡支）基本部分（三鉸）第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學四、學會少求或不求反力繪制彎矩圖（所謂的概念分析）1.彎矩圖的幾何特征（荷載與內力的微分關系）2.剛結點的力矩平衡條件3.外力(或支座)與桿軸關系(平行,垂直,重合)4.特殊部分(懸臂部分,簡支部分)5.區(qū)段疊加法作彎矩圖依據（根據）

例5：不經計算作以下剛架的M圖。第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學FPADBCFEG總結：本例充分利用了彎矩圖的幾何特征及剛結點的力矩平衡條件。

所有水平桿件剪力均為FP，彎矩圖是斜線（只需兩個截面的彎矩即可確定）。所有豎向桿件剪力均為0，彎矩圖是與桿軸平行的直線（只需一個截面的彎矩即可）。第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學FByFAyFAxM圖kNm601804040鏈桿與桿軸方向一致，BF無彎矩。AC/CD剪力相同第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學FPaFPaFPaFPa2FPaaaaaaFPBADCGEF剪力為零控制點剪力為零平行Why？第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三

5kN304020207545第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學五、已知結構的彎矩圖，試繪出其荷載——反問題a/2a/2aFPa

/2FPaFPaFPaFPa/2FP4m4m2m2m888628132FP第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

課堂練習：判別以下剛架的M圖是否正確，錯誤的請改正。BADCq⑷BADCFP⑴FPBADC⑵FPBADC⑶BADCFP⑸FPBADC⑹第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學§3-4三鉸拱（Arch）一、概述1、拱的定義：桿軸線是曲線、在豎向荷載作用下會產生水平推力的結構。BAPC拱BAP這是拱嗎？在豎向荷載作用下，不產生水平推力，故，非拱。曲梁第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學M圖2、拱的受力特點：BAP曲梁BAPC拱﹢‖拱與同荷載同跨度的梁相比，截面彎矩小——節(jié)省材料，易于大跨。直梁P第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學拉桿CBABA斜拱BAC三鉸拱－靜定3、拱的分類：⑴靜定拱與超靜定拱；⑵平拱與斜拱；⑶有拉桿與無拉桿。AB兩鉸拱－超靜定拉桿BCAA無鉸拱－超靜定B第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學BACfl4、三鉸拱的有關名稱：拱趾(底鉸)拱趾(底鉸)頂鉸高差矢高跨度BACh拱肋拱肋第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學注意：曲桿軸力沿桿軸切線方向曲桿剪力沿桿軸法線方向BCq二、曲桿的內力計算

例1：圖示1/4懸臂圓弧承受徑向均布荷載作用，求任一截面C的內力。ABCqRO

解：取”BC”隔離體?！吆奢d徑向作用，方向變化?！嗳s微段分析。qds第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學BACBAfC三、三鉸拱的數解法—支座反力的計算結論：1.給定荷載作用下，三鉸拱的支反力僅與三個鉸的位置有關，與拱軸形狀無關?！罢w”：“AC”：引入：等代梁—同荷載同跨度的簡支梁。比較可見：2.豎向荷載作用下，三鉸平拱的豎向反力與其等代梁的反力相等；荷載與跨度一定時，水平推力與矢高成反比。對于斜拱，上述關系和結論還成立嗎？第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學“整體”：⑴BAC“AC”：⑵？？？？⑴⑵式聯立，可求由“整體”，可求由“整體”，可求由上述計算過程可見：豎向荷載作用下，三鉸斜拱的豎向反力與其等代梁的反力不等。平拱鉸C不在頂點時，上述結論是否成立？第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學四、三鉸拱的數解法—內力的計算BAfC求任一截面D的內力截面D的特征幾何需根據拱軸方程確定，可見三鉸拱內力除了與三鉸位置有關外，還與拱軸形狀有關。豎向已知力的分解21PPFyA--水平已知力的分解第50頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

例2：已知圖示三鉸拱的拱軸方程為，求D截面的內力。mf4=解：1.求支反力：2.計算D截面幾何參數：3.計算D截面內力：kN124428=×-第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學五、三鉸拱的合理拱軸（reasonableaxisofarch）

通過上述三鉸拱的計算分析可見：三鉸拱支反力只與三個鉸的位置有關，與拱軸形狀無關；而內力則與拱軸形狀有關。過三個鉸的位置可以做無數條拱，在給定荷載作用下，每個拱的內力各不相同，使拱內所有截面彎矩均等于零的拱軸稱為合理拱軸。

例3：求圖示三鉸拱的合理拱軸。解：1.求支反力：2.任選截面D(x,y)，取“AD”第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

例4：求圖示三鉸拱的合理拱軸。解：1.求支反力：2.任選截面D(x,y)，取“AD”方程適用范圍如何？右半軸與左半軸對稱。

思考題：如何求約束反力？對稱性o第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學主桁架計算簡圖§3-5靜定平面桁架（Staticallydeterminatetrusses

）一、概述

1、桁架的計算簡圖：主桁架縱梁橫梁跨度桁高

基本假定：⑴所有結點均為光滑無摩擦的理想鉸；⑵所有桿件均為直桿，且通過鉸中心；⑶荷載和支反力均作用在結點上。特性：所有桿件只有軸力，而沒有彎矩和剪力。軸力又稱為主內力（primaryinternalforces）。

實際結構中由于結點并非是理想鉸，將產生彎矩、剪力，但這兩種內力相對于軸力的影響是很小的，故稱為次內力（secondaryinternalforces）。弦桿上弦下弦腹桿豎桿斜桿節(jié)間第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

次內力的影響實例桿號起點號終點號桁架軸力(kN)剛架軸力(kN) 桁架軸力/剛架軸力

124-35.000-34.9661/0.99903246-60.000-59.9731/0.99955368-75.000-74.9771/0.999694810-80.000-79.9771/0.999715130.0000.032/63535.00035.0051/1.0001475760.00059.9971/0.9996287975.00074.991

1/0.99988第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學⑴根據維數分類平面（二維）桁架（planetruss）

——所有組成桁架的桿件以及荷載的作用線都在同一平面內。2、桁架結構的分類空間（三維）桁架（spacetruss）

——組成桁架的桿件不都在同一平面內。第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學⑵按外型分類

平行弦桁架三角形桁架拋物線桁架梯形桁架第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學簡單桁架（simpletruss）

——由基本鉸接三角形或基礎依次增加二元體形成。

聯合桁架（combinedtruss）

——由兩個或多個簡單桁架按幾何不變體系的組成規(guī)則聯合形成。

復雜桁架（complicatedtruss）

——不按上述兩種方法形成的其它桁架。⑶按幾何組成分類依次向右簡單桁架由若干三角形構成，而每個三角形的每條邊均為一根桿件。第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學梁式桁架⑷按受力特點分類

拱式桁架……等等簡單桁架或桁架中的簡單部分可以看作是實體桿件的幾何離散（拓撲優(yōu)化）。⑴結點法：選“結點”為研究對象，利用平面匯交力系的兩個獨立平衡條件進行計算。⑵截面法：選“部分結構”為研究對象，利用平面一般力系的三個獨立平衡條件進行計算。3、桁架結構內力計算的基本方法第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學二、結點法（nodalanalysismethod）設一桁架（平面鏈桿體系），有J個結點，B根鏈桿（內部約束），S根支桿（外部約束），體系自由度W=2J-(B+S)，若靜定，則W=0，從而，

2J=B+S獨立結點平衡方程數量未知力（內力和支反力）數量故，從理論上講，只要桁架是靜定的，可以通過所有結點的平衡方程聯立，求出所有未知力。但在具體應用中，應盡量避免求解聯立方程組。

例1：求圖示桁架各桿的內力。

解：先求支反力：內力計算怎樣才能避免求解聯立方程組？結點法隔離體上的力是平面匯交力系，只有兩個獨立的平衡方程可以利用，故一般應先選擇只包含兩個未知軸力桿件的結點。第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學AC、AD內力性質未知，假定為拉力計算結果為正表明真實方向與假定方向相同計算結果為負表明真實方向與假定方向相反下面計算哪個結點？第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學右半結構內力與左半結構對稱。第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學結點法小結結點法最適用范圍：簡單桁架的內力計算。對于簡單桁架，若與組成順序相反依次截取結點，可保證求解過程中一個方程中只含一個未知量，從而避免求解聯立方程組。即后形成的結點先算。在用結點法進行計算時，注意以下兩點，可使計算過程得到簡化。⑴對稱性的利用

如果結構的桿件軸線對某軸（空間桁架為某面）對稱，結構的支座也對同一條軸對稱的靜定結構，則該結構稱為對稱結構（symmetricalstructure）。對稱結構在對稱或反對稱的荷載作用下，結構的內力和變形（也稱為反應）必然對稱或反對稱，這稱為對稱性（symmetry）。第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學對稱結構受對稱荷載作用,內力和反力均為對稱。E點無荷載,紅色桿不受力對稱結構受反對稱荷載作用,內力和反力均為反對稱。垂直對稱軸的桿不受力對稱軸處的桿不受力后面詳細介紹對稱性應用例題。第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學FPFPFPFPFP⑵零桿的判別

零內力桿簡稱零桿（zerobar）。

FN2=0FN1=0FN=0FN=0

不共線的兩桿結點，無外力作用，兩桿均為零桿。

不共線的兩桿結點，外力沿一桿作用，另一桿為零桿。

三桿結點，兩桿共線，無外力作用，第三桿為零桿。

例2：判別結構中的零桿。第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學受力分析時可以去掉零桿,是否說該桿在結構中是可有可無的?第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學三、截面法理論上，結點法可以求解所有靜定桁架的內力，但某些情況下，用結點法求解并不是最不方便的辦法，如:選擇任何一個結點都至少有3個未知量，用結點法必須將所有結點的平衡方程聯立求解。假如只要求部分桿件的內力，顯然結點法并不是一種最簡便的計算方法。此時可選用截面法求解。截面法是用截面截取桁架的某一局部作為隔離體，由平面任意力系的平衡方程求未知的桿件軸力。對于平面桁架，由于平面任意力系的獨立平衡方程數目為3，因此一個截面所截斷的桿件數一般不宜超過3根。第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

例3：求圖示桁架中指定桿件的軸力?！痉治觥亢唵舞旒埽蟪鲋Х戳罂捎媒Y點法求解。但需從邊結點向跨中結點逐個計算。缺點：①計算工作量較大；②前面結點的計算結果對后面結點的計算有影響。結論：求簡單桁架指定桿件的內力，最適合于用截面法。

解：1、求支反力：2、做Ⅰ－Ⅰ截面，取“Ⅰ－Ⅰ左”為研究對象。ⅠⅠ第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學2、做Ⅰ－Ⅰ截面，取“Ⅰ－Ⅰ左”為研究對象。

例4：求圖示桁架所有桿件的內力?！痉治觥壳蟪鲋Х戳?，用結點法C、D無法獨立求解。原因：該桁架非簡單桁架，是聯合桁架。注意：聯合桁架通常先用截面法求出聯合處的內力，將結構分解為簡單桁架，然后按簡單桁架的分析方法計算。

解：1、求支反力：ⅠⅠ3、按E、G、F、C/D的順序用結點法求左半結構的內力。右半結構內力與左半結構內力對稱。第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學截面法小結截面法最適用范圍：⑴求簡單桁架指定桿件的內力。⑵聯合桁架的內力計算——先用截面法求聯合處的內力。注意特殊截面的應用。通常情況下，一個截面一般最多只能切斷3根桿件，特殊情況下，一個截面切斷的桿件數量可以超過3根；特殊截面主要有以下兩種：⑴多桿匯交于一點。第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學截面法小結⑵多桿平行。

復雜情況下，截面應根據結構的幾何構造特征選擇。

幾何組成分析第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

例5：求圖示桁架中指定桿件的軸力。三、結點法與截面法聯合應用結點法和截面法是桁架求解的兩種基本方法，具體應用中應根據結構特點和要求靈活應用。

解：1、求支反力：2、取“結點D”，3、做Ⅰ－Ⅰ截面，取“Ⅰ－Ⅰ左”,DE桿內力如何求？類似方法求出FE、FC軸力后，由“E結點”可求。第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學4、“結點D”

解：1、求支反力：

例6：求圖示桁架中指定桿件的軸力。ⅠⅠⅡⅡ2、做Ⅰ－Ⅰ截面，取“Ⅰ－Ⅰ左”,3、做Ⅱ－Ⅱ截面，取“Ⅱ－Ⅱ左”,第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學

練習：分析求圖示桁架指定桿件內力的方法（不要求具體計算，只要分析說明計算方法和步驟即可）。第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學四、對稱性的利用對稱結構：幾何形狀和支座關于某軸對稱的結構。對稱荷載：作用在對稱結構對稱軸兩側，大小相等，方向和作用點對稱的荷載。反對稱荷載：作用在對稱結構對稱軸兩側，大小相等，作用點對稱，方向反對稱的荷載。對稱荷載反對稱荷載對稱結構在對稱荷載作用下只產生對稱的內力和變形。對稱結構在反對稱荷載作用下只產生反對稱的內力和變形。對稱性第76頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學(a)對稱4、原結構內力為(a)(b)內力疊加。

解：1、求支反力。

例7：求圖示桁架所有桿件的軸力。2、將外荷載和支反力分解為對稱和反對稱兩種情況。3、分別計算對稱、反對稱兩種情況的內力。(b)反對稱按B、C、D、E次序用結點法可求右半結構內力，左半結構內力與右半結構反對稱。（最終內力）第77頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2023/5/3土木工程學院結構力學五、約束替代法【方法】⑴將一約束用其它約束替代，從而簡化桁架的幾何構造。本例中，用EF桿代替C支座鏈桿，化復雜桁架為簡單桁架。

⑵將替代約束的內力用被替代約束的約束力表示——簡單桁架受力分析。本例中將EF桿內力寫成(X,P)的函數FNEF