熱傳導(dǎo)方程和定解條件

熱傳導(dǎo)方程和定解條件演示文稿目前一頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)優(yōu)選熱傳導(dǎo)方程和定解條件目前二頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)3熱的傳播按傅立葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律進(jìn)行：物體在無窮小時(shí)段內(nèi)流過一個(gè)無窮小面積的熱量與物體溫度沿曲面法線方向的方向?qū)?shù)成正比，而熱流方向與溫度升高的其中稱為物體在點(diǎn)處的熱傳導(dǎo)系數(shù)，為正值.當(dāng)物體為均勻且各向同性時(shí)，為常數(shù)，為曲面沿?zé)崃鞣较虻姆ň€.方向相反，即目前三頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)4為了導(dǎo)出溫度所滿足的方程,在物體G內(nèi)任取一閉曲面它所包圍的區(qū)域記作則從時(shí)刻到時(shí)刻經(jīng)過曲面流入?yún)^(qū)域的熱量為其中表示對曲面的外法向?qū)?shù).目前四頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)5流入的熱量使區(qū)域內(nèi)部的溫度發(fā)生變化,在時(shí)間間隔中物理溫度從變化到所需要的熱量為其中為物體的比熱,為物體的密度.如果所考察的物體內(nèi)部沒有熱源,由于熱量守恒,目前五頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)6先對進(jìn)行變形利用奧-高(Gauss)公式設(shè)函數(shù)關(guān)于變量具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),關(guān)于變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),可化為目前六頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)7而可化為因此由移項(xiàng)即得（利用牛頓-萊布尼茲公式）目前七頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)8由于與區(qū)域都是任意取的,并且被積函數(shù)是連續(xù)的,于是得上式稱為非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程.如果物體是均勻的,此時(shí)為常數(shù),記則得齊次熱傳導(dǎo)方程目前八頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)9如果所考察的物體內(nèi)部有熱源(例如物體中通有電流,或有化學(xué)反應(yīng)等情況),設(shè)熱源密度(單位時(shí)間內(nèi)單位體積所產(chǎn)生的熱量)為則在時(shí)間間隔中區(qū)域內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為同樣由于熱量要平衡,目前九頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)10其中非齊次熱傳導(dǎo)方程相對應(yīng)的一維、二維熱傳導(dǎo)方程可類似寫出。目前十頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)11二、定解條件初始條件：表示初始時(shí)刻物體內(nèi)溫度的分布情況其中為已知函數(shù)。1、第一類邊界條件（狄利克雷Dirichlet）設(shè)所考察的物體G的邊界曲面為S，已知物體表面溫度函數(shù)為即目前十一頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)122、第二類邊界條件（諾伊曼Neumann）

特別地，如果物體表面上各點(diǎn)的熱流量為0,絕熱性邊界條件已知物體表面上各點(diǎn)的熱流量也就是說在單位時(shí)間內(nèi)流過單位面積的熱量是已知的，其中由傅里葉實(shí)驗(yàn)定律可知是定義在邊界曲面S，且上的已知函數(shù).則相應(yīng)的邊界條件為目前十二頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)131.3拉普拉斯方程與定解條件1.三維拉普拉斯(Laplace)方程(1)凡具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并滿足方程(1)的連續(xù)函數(shù)為調(diào)和函數(shù).(調(diào)和方程)方程(1)通常表示成或拉普拉斯方程描述的是穩(wěn)定狀態(tài)下物理量的分布規(guī)律.目前十三頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)142.泊松方程(非齊次的拉普拉斯方程)(2)方程(2)通常表示成或3.拉普拉斯方程的邊值問題第一邊值問題(狄氏問題)目前十四頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)15在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上與給定的函數(shù)重合,即第二邊值問題(諾伊曼問題)在空間某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)要求函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)且在內(nèi)調(diào)和,在邊界上法向?qū)?shù)存在,且有其中n是外法線方向.目前十五頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)161.4基本概念與基本知識1.古典解:如果一個(gè)函數(shù)具有某偏微分方程中所需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足該方程.2.自由項(xiàng):偏微分方程中不含有未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng).例如:齊次偏微分方程(自由項(xiàng)為0)非齊次偏微分方程(自由項(xiàng)不為0)目前十六頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)173.疊加原理考察二階線性偏微分方程其中都是某區(qū)域上的已知函數(shù).疊加原理設(shè)是方程(1)中第i個(gè)方程的解,(1)目前十七頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)18如果級數(shù)(2)收斂,其中為任意常數(shù),并且它還能夠逐項(xiàng)微分兩次,則級數(shù)(2)是下方程的解特別地,當(dāng)方程(1)中的自由項(xiàng)時(shí),則得相應(yīng)的齊次方程為若是方程(3)的解,則級數(shù)(2)也是方程(3)(3)的解.目前十八頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)三角函數(shù)系在上正交。4.傅里葉(Fourier)級數(shù)目前十九頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)20補(bǔ)充：三角函數(shù)積化和差公式目前二十頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)214.傅里葉(Fourier)級數(shù)設(shè)周期為的函數(shù)可展開成傅里葉級數(shù),則(4)其中傅里葉系數(shù)滿足(5)目前二十一頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)22當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)(6)(7)目前二十二頁\總數(shù)二十三頁\編于十六點(diǎn)234.兩個(gè)自變量的二階微分方程的分類一般的二階線性偏微分方程具