數(shù)字信號處理 黃海 課件第七章-濾波器設(shè)計(jì)方法

第七章濾波器設(shè)計(jì)方法FilterDesignTechniques7.0引言濾波器：一種特別重要的線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)選頻濾波器：對信號的頻率成分進(jìn)行選擇（通過或拒絕）的系統(tǒng)濾波器的廣義定義：能對某些頻率進(jìn)行修正的系統(tǒng)兩點(diǎn)說明：（1）重點(diǎn)討論選頻濾波器設(shè)計(jì)-----設(shè)計(jì)方法具有廣泛應(yīng)用價(jià)值（2）濾波器是因果的（作一些修正可以得到非因果濾波器）濾波器內(nèi)容包括： （1）濾波器設(shè)計(jì) （2）濾波器實(shí)現(xiàn)（結(jié)構(gòu)、算法）----第六章濾波器設(shè)計(jì)的步驟： （1）給出系統(tǒng)所要求特性的技術(shù)指標(biāo)（頻域）

（2）用因果離散時(shí)間系統(tǒng)逼近這些技術(shù)指標(biāo)濾波器-----離散時(shí)間系統(tǒng)數(shù)字濾波器（digitalfilters）對連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行離散時(shí)間濾波的基本系統(tǒng)：技術(shù)指標(biāo)（有效連續(xù)和離散時(shí)間濾波器）：頻域的技術(shù)指標(biāo)如圖所示連續(xù)與離散時(shí)間濾波器的等效條件：

輸入帶限；采樣頻率避免混疊即：有效連續(xù)濾波器指標(biāo)（轉(zhuǎn)換為）離散濾波器指標(biāo)-------ω=ΩT離散濾波器的特性：例7.1離散時(shí)間濾波器指標(biāo)的確定低通離散時(shí)間濾波器：對連續(xù)時(shí)間信號進(jìn)行低通濾波采樣頻率為10000樣本/秒，即10000Hz（10kHz），（T=10-4s）圖示系統(tǒng)的特性：（1）在頻帶0≤Ω≤2π(2000)內(nèi),

增益|Heff(jΩ)|應(yīng)當(dāng)在單位幅度±0.01之內(nèi)（2）在頻帶Ω≥2π(3000)內(nèi),

增益|Heff(jΩ)|應(yīng)當(dāng)不大于0.001|Heff(jΩ)|的指標(biāo)如圖所示：圖中的具體參數(shù)為：理想的通帶增益為1通帶增益：1+δ1~1-δ1阻帶增益：0~δ2以分貝表示：相應(yīng)的離散時(shí)間濾波器指標(biāo)（圖）：與上圖基本相同，以歸一化頻率：ω=ΩT，0≤ω≤π其余頻段：周期性導(dǎo)出相應(yīng)的通帶幅度：其中δ1=0.01ωp=2π(2000)10-4=0.4π-----通帶截止頻率阻帶幅度：δ2=0.001ωs=2π(3000)10-4=0.6π------阻帶截止頻率實(shí)際可實(shí)現(xiàn)性------對理想濾波器的逼近------過渡帶（ωs-ωp

）從通帶光滑過渡到阻帶。虛線表示實(shí)際濾波器的幅度響應(yīng)實(shí)際數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，考慮到：（1）實(shí)際應(yīng)用中的離散時(shí)間信號并不都是由連續(xù)時(shí)間信號導(dǎo)出；（2）離散時(shí)間系統(tǒng)的討論，采樣周期無影響（歸一化頻率）濾波器設(shè)計(jì)-------離散頻率變量ω表示的技術(shù)指標(biāo)（ω域指標(biāo)）主要的技術(shù)指標(biāo)：幅度響應(yīng)（ω域）相位響應(yīng)

------不是非常重要（滿足濾波器隱含的穩(wěn)定性和因果性要求；FIR濾波器的線性相位要求）具體的濾波器設(shè)計(jì)：

確定符合頻率指標(biāo)要求的系統(tǒng)函數(shù)（頻率響應(yīng)、脈沖響應(yīng)）

即：H(z)，H(ejω)，h[n]

------------函數(shù)逼近問題對于IIR濾波器------利用z的有理函數(shù)逼近對于FIR濾波器-------多項(xiàng)式逼近7.1由連續(xù)時(shí)間濾波器設(shè)計(jì)離散時(shí)間IIR濾波器IIR濾波器的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法：連續(xù)時(shí)間濾波器(變換)滿足預(yù)定指標(biāo)的離散時(shí)間濾波器理由：連續(xù)IIR濾波器設(shè)計(jì)方法成熟，簡單（公式），方便，快捷濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)指標(biāo)：離散（濾波器）頻率域指標(biāo)設(shè)計(jì)過程：原型連續(xù)時(shí)間濾波器(變換)

離散時(shí)間濾波器

即：Hc(s)(變換)

H(z)s域z域的變換或映射

檢驗(yàn)：Hc(jΩ)

H(ejω)首先需要：離散（濾波器）頻率域指標(biāo)

（轉(zhuǎn)換）原型連續(xù)（濾波器）頻率域指標(biāo)設(shè)計(jì)（變換）的兩個(gè)基本要求：（1）頻率響應(yīng)的一致性，即s平面虛軸（代表連續(xù)頻率變量）必須映射到z平面單位圓（代表離散頻率變換），保持頻率與頻率對應(yīng)；（2）因果穩(wěn)定性，即因果穩(wěn)定的Hc(s)因果穩(wěn)定的H(z)， 亦即s左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)連續(xù)時(shí)間濾波器的主要類型（設(shè)計(jì)方法）（附錄B）巴特沃茲濾波器（Butterworthfilter）切比雪夫?yàn)V波器（Chebyshevfilter）橢圓濾波器（ellipticfilter）由模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的主要方法：脈沖響應(yīng)不變法（impulseinvariance）階躍響應(yīng)不變法（stepinvariance）雙線性變換法（bilineartransformation）7.1.1濾波器設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法連續(xù)濾波器（變換）離散濾波器hc(t),Hc(s)h[n],H(z)脈沖響應(yīng)不變法： 通過hc(t)h[n]（離散，即保持不變） 實(shí)現(xiàn)Hc(s)（連續(xù)系統(tǒng)）H(z)（離散系統(tǒng)）的變換即：h[n]=Tdhc(nTd)Td------采樣間隔H(z)h[n]的z變換，設(shè)計(jì)完成？給定的濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)------濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)法方法必須考慮：Hc(jΩ)H(ejω)之間的聯(lián)系根據(jù)以前的采樣討論，時(shí)域離散頻域關(guān)系，可以得到：如果連續(xù)時(shí)間濾波器是帶限的，則有兩者之間關(guān)系：頻率軸的線性關(guān)系，即|ω|＜π時(shí)，ω=ΩTd實(shí)際情況：任何連續(xù)時(shí)間濾波器都不能是完全帶限的（即使低通） 因此，混疊存在。如圖，方法的實(shí)用性（逼近）：如果Hc(jΩ)高頻部分趨近于零，則混疊很小，可以忽略-------逼近。由H(ejω)指標(biāo)Hc(jΩ)指標(biāo)：Ω=ω/Td確定出Hc(jΩ)Hc(s)，再由脈沖響應(yīng)不變法，由Hc(s)得到H(z)。具體的方法（直接，不通過hc(t)h[h]的過程）：設(shè)連續(xù)時(shí)間濾波器的傳遞函數(shù)具有一階極點(diǎn)的形式（不失一般性）：

對應(yīng)的脈沖響應(yīng)：根據(jù)脈沖響應(yīng)不變（采樣），有作z反變換，得到離散時(shí)間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：比較連續(xù)時(shí)間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：可見，(1)s平面中的極點(diǎn)s=sk變換成z平面中的極點(diǎn)

(2)除了比例系數(shù)Td外，完全相同表示：可以通過極點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系直接由Hc(s)得到H(z)

幾點(diǎn)說明：（1）Hc(s)因果穩(wěn)定（極點(diǎn)在左邊平面）H(z)

因果穩(wěn)定（極點(diǎn)在單位圓內(nèi)），因?yàn)镽e[sk]＜0，；|zk|＜1（2）s平面與z平面只有極點(diǎn)有對應(yīng)關(guān)系，s平面與z平面之間沒有這種對應(yīng)關(guān)系（唯一），（如系統(tǒng)的零點(diǎn)就沒有這種對應(yīng)關(guān)系）表示脈沖響應(yīng)不變法，其s平面到z平面的映射關(guān)系（變換）并非是的簡單映射關(guān)系（單映射）。不能直接代入Hc(s)得到H(z)例7.2用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)Butterworth濾波器設(shè)計(jì)一低通離散時(shí)間濾波器，步驟：（1）由低通離散時(shí)間濾波器指標(biāo)求出低通連續(xù)時(shí)間濾波器指標(biāo)（2）確定相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間Butterworth濾波器（3）由脈沖響應(yīng)不變法，求得所需的低通離散時(shí)間濾波器第一步，離散時(shí)間濾波器的技術(shù)指標(biāo)：說明：

過程（1）和過程（3），系數(shù)Td抵消，可選Td=1，ω

=Ω可得連續(xù)時(shí)間Butterworth濾波器的技術(shù)指標(biāo)為：由于Butterworth濾波器頻率響應(yīng)的幅度響應(yīng)是單調(diào)的，則應(yīng)和第二步，Butterworth濾波器的幅度平方函數(shù)為：需確定出滿足所需技術(shù)指標(biāo)的參數(shù)N和Ωc將上式帶入指標(biāo)式，并取等號，有：兩個(gè)方程的解為：

N=5.8858和Ωc=0.70474取N為整數(shù)6，代入方程得Ωc=0.7032（參數(shù)選取的原則：超過指標(biāo)）幅度平方函數(shù)的12個(gè)極點(diǎn)均勻分布在半徑Ωc=0.7032的圓周上取左半平面的三對極點(diǎn)：

說明s=jΩ作為Hc(s)，即第三步，將上式作部分分式展開，進(jìn)行極點(diǎn)映射，得到H

(z),根據(jù)上式，可以直接用并聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)得到的離散時(shí)間系統(tǒng)（濾波器）的頻率響應(yīng)如圖：通帶邊緣滿足指標(biāo)阻帶邊緣超過指標(biāo)混疊基本沒有影響有混疊情況：調(diào)整參數(shù)；高階脈沖響應(yīng)不變法的討論（連續(xù)濾波器變換為離散濾波器）：（1）時(shí)域逼近較好，脈沖響應(yīng)波形是連續(xù)與離散的關(guān)系；（2）頻率成線性關(guān)系，頻率響應(yīng)形狀基本保持不變（3）保持相位的線性特性，（4）頻域有混疊，只適用帶限濾波器設(shè)計(jì)（如低通，帶通）（5）頻域的混疊不能通過減少采樣周期Td消除 若離散低通濾波器的截止頻率給定ωc

連續(xù)低通濾波器的截止頻率為Ωc

=ωc/Td

頻率Ω的頻帶范圍為：[-π/Td,π/Td]

Td減小，Ω的頻帶范圍增加 保持ωc不變，Td減小時(shí)，Ωc也應(yīng)增加

Ωc增加表示原有的混疊仍然存在（6）映射關(guān)系，只是針對極點(diǎn)，s與z平面之間的映射關(guān)系是一個(gè)多重映射關(guān)系，即：s平面虛軸jΩ上長度為2π/Td的每一段映射到z平面單位圓一周，

如[-π/Td,π/Td]映射到單位圓一周（-π

≤

ω

≤

π）s平面每一條寬度為2π/Td的橫條映射到整個(gè)z平面s平面寬度為[-π/Td,π/Td]的左半橫條映射到z平面單位圓內(nèi)多重映射-------混疊（系統(tǒng)函數(shù)，頻率響應(yīng)）7.1.2雙線性變換法解決混疊------改變映射關(guān)系，即-∞≤Ω≤∞

（單）映射到-π

≤

ω

≤

π

s左邊平面z平面單位圓內(nèi)（單映射）整個(gè)s平面整個(gè)z平面（單映射）頻率的映射關(guān)系非線性（頻率變換）雙線性變換法定義設(shè)s與z的映射關(guān)系為：離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)之間的變換關(guān)系為：表示可以直接將s與z的映射關(guān)系代入連續(xù)濾波器系統(tǒng)函數(shù)。討論s平面z平面的映射關(guān)系s與z的映射關(guān)系也可寫為：將s=σ+jΩ代入上式，得雙線性σ＜0|z|＜1，對于所有Ω -----s左邊平面映射到

z平面單位圓內(nèi)σ＞0|z|＞1，對于所有Ω -----s右邊平面映射到

z平面單位圓外分析頻率映射關(guān)系，將s=jΩ代入，可得對于所有的Ω值，|z|=1

-----jΩ

軸（s平面虛軸）映射到

z平面單位圓即有z=rejω，r=1ω與Ω的關(guān)系，將z=ejω代入s與z的雙線性關(guān)系式，得等式兩邊實(shí)部與虛部相等，有和或歸納：（1）s平面與z平面關(guān)系頻率的非線性關(guān)系（2）連續(xù)濾波器頻率與離散濾波器頻率關(guān)系非線性關(guān)系----連續(xù)頻率軸被壓縮------避免了混疊避免混疊是以頻率非線性為代價(jià)頻率非線性頻率響應(yīng)的變形應(yīng)用范圍：頻率響應(yīng)形狀要求不高的情況，（如分段恒定幅度） 設(shè)計(jì)中特殊頻率點(diǎn)（如截止頻率）須預(yù)畸變雙線性變換法在連續(xù)濾波器到離散濾波器變換中頻率響應(yīng)的畸變頻率非線性造成的相位響應(yīng)畸變例：連續(xù)線性相位因子

的雙線性變換結(jié)果

離散相位函數(shù)為雙線性變換方法討論（1）s平面與z平面單映射關(guān)系（2）s左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)（3）s右半平面映射到z平面單位圓外（4）連續(xù)因果穩(wěn)定系統(tǒng)離散因果穩(wěn)定系統(tǒng)（5）s平面整個(gè)虛軸單值映射到z平面單位圓一周（6）連續(xù)頻率Ω與離散頻率ω之間成非線性關(guān)系（7）避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象（圖示說明）（8）頻率響應(yīng)形狀畸變，線性相位特性破壞（9）適合分段恒定幅度響應(yīng)的濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）（10）設(shè)計(jì)中需要預(yù)畸（截止頻率點(diǎn)等）7.1.3雙線性變換法設(shè)計(jì)舉例例7.3用雙線性變換法設(shè)計(jì)Butterworth濾波器同例7.2脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)低通離散濾波器，技術(shù)指標(biāo)：求得連續(xù)濾波器指標(biāo)時(shí)，須對上述兩個(gè)截止頻率進(jìn)行預(yù)畸變處理：即ω=0.2π

Ω=(2/Td)tan(0.2π/2)ω=0.3π

Ω=(2/Td)tan(0.3π/2)連續(xù)濾波器的技術(shù)指標(biāo)：與例7.2相同，取Td=1，并根據(jù)Butterworth濾波器的幅度響應(yīng)Butterworth濾波器的平方幅度函數(shù)：由前兩式中取等號，得解出N取整數(shù)，N=6，代入阻帶方程可得Ωc=0.766（超過通帶指標(biāo)）幅度平方函數(shù)的極點(diǎn)分布：12個(gè)極點(diǎn)，半徑0.766，均勻分布同樣，取左半平面中的三對極點(diǎn)，得連續(xù)Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：用雙線性變換公式代入，并取Td=1得離散連續(xù)Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：六階Butterworth低通濾波器頻率響應(yīng)：ω=0.2π

-0.56dB(0.937)ω=0.3π

-15dB(0.1778)阻帶比連續(xù)濾波器下降快ω

=π

Ω=∞頻率軸被壓縮連續(xù)Butterworth濾波器幅度平方函數(shù)：可用雙線性變換的頻率關(guān)系式：直接代入得到離散Butterworth濾波器幅度平方函數(shù)：式中實(shí)際設(shè)計(jì)并不首先用，因?yàn)樯鲜綗o法獲得在z平面的極點(diǎn)，從而得到單位圓內(nèi)的極點(diǎn)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)雙線性變換法的Butterworth，Chebyshev,elliptic濾波器逼近例子所設(shè)計(jì)低通離散濾波器的技術(shù)指標(biāo)：即δ1=0.01，δ2=0.001，ωp=0.4π，ωs=0.6例7.4Butterworth逼近省去具體計(jì)算過程，可得N=14，頻率響應(yīng)如圖：對數(shù)幅度圖通帶的幅度圖：群延遲圖：例7.5Chebyshev逼近Chebyshev的類型：I型：頻率響應(yīng)----通帶呈紋波特性，阻帶單調(diào)II型：頻率響應(yīng)-----阻帶呈紋波特性，通帶單調(diào)兩種類型逼近階數(shù)N均為八階（比Butterworth要低）I型逼近的頻率響應(yīng)圖：通帶中幅度細(xì)節(jié)圖：群延遲圖：II型逼近的頻率響應(yīng)圖通帶中的細(xì)節(jié)圖：群延遲圖：若通帶和阻帶均容許紋波濾波器的階數(shù)可以減少兩種類型逼近的零極點(diǎn)分布（I型零點(diǎn)對應(yīng)于連續(xù)濾波器s=∞）I型II型例7.6elliptic逼近滿足指標(biāo)的有理函數(shù)最低階逼近，N=6通帶中的細(xì)節(jié)圖：群延遲圖：零極點(diǎn)分布：討論：（1）各種濾波器逼近的雙線性變換法是IIR濾波器設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)方法（2）H(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)（穩(wěn)定性），零點(diǎn)在單位圓上（3）非線性頻率響應(yīng)特性，非線性群延遲（4）通帶邊緣處或過渡帶出現(xiàn)最大群延遲（其它頻帶中群延遲變化較?。?）II型Chebyshev具有最小的群延遲以及相應(yīng)群延遲近似為常數(shù)的最寬通帶區(qū)域（6）elliptic逼近具有最低階次的系統(tǒng)函數(shù)，因此計(jì)算量也最少。7.2用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器IIR濾波器設(shè)計(jì)-----模擬濾波器（連續(xù)系統(tǒng)）變換

（1）模擬濾波器設(shè)計(jì)方法成熟 （2）IIR濾波器直接設(shè)計(jì)困難（在離散域）FIR濾波器設(shè)計(jì)------可以直接在離散域進(jìn)行（頻率域逼近） 線性相位條件避免了直接設(shè)計(jì)的復(fù)雜性最簡單的方法：窗函數(shù)法（windowmethod）基本思想：對理想濾波器的脈沖響應(yīng)hd[n]（無限長，非因果序列） 截?cái)?，得到具有對稱性的有限長因果序列h[n] FIR濾波器（線性相位、因果）------逼近問題：時(shí)域截?cái)囝l域逼近（關(guān)系、影響）？ 即，hd[n]h[n]

Hd(ejω)H(ejω)理想濾波器的頻率響應(yīng)：脈沖響應(yīng)：

----非因果、無限長序列頻率響應(yīng)的不連續(xù)性實(shí)際因果FIR濾波器的脈沖響應(yīng)（因果、有限長）：相當(dāng)于：其中窗函數(shù)：矩形窗時(shí)域處理簡單，討論頻域關(guān)系：由傅立葉變換性質(zhì)：時(shí)域相乘頻域卷積得：如圖所示（低通）（周期性）若w[n]=1,對于所有n,即沒有截?cái)鄤tW(ejω)是周期為2π的δ函數(shù)（周期脈沖串）并有

H(ejω)=

Hd(ejω)可見，W(ejω)（頻域）能量集中（波形窄）-----逼近性越好但，W(ejω)越窄w[n]（時(shí)域）越長-----矛盾性可求出矩形窗的頻率響應(yīng)：線性相位特性（滿足對稱性），當(dāng)M=7時(shí)的幅度：主瓣寬度4π/(M+1)第一旁瓣M增大主、旁瓣寬度減小 主、旁瓣幅度增大，主、旁瓣相對幅度不變M增大主、旁瓣的面積為常量 對理想濾波器加窗后的逼近（頻率響應(yīng)）（卷積結(jié)果）：頻率響應(yīng)產(chǎn)生的波動(dòng)現(xiàn)象-----吉布斯現(xiàn)象（Gibbsphenomenon）理論上

----傅立葉級數(shù)的非一致收斂性（作為傅立葉級數(shù)系數(shù)hd(t)的截?cái)啵?shí)際上-----窗函數(shù)的銳截止性（尤其是矩形窗）---（圖示）窗函數(shù)對濾波器幅頻特性的影響：

（1）主瓣越寬過渡帶越寬--------------M大過渡帶窄

（2）旁瓣相對主瓣（幅度）越大通帶和阻帶的波動(dòng)也越大

（3）波動(dòng)大小與M無關(guān)，取決于窗函數(shù)減小波動(dòng)減小旁瓣幅度窗函數(shù)平滑增加主瓣寬度增加過渡帶寬度 FIR濾波器設(shè)計(jì)：波動(dòng)與過渡帶的折中選擇7.2.1常用窗函數(shù)的性質(zhì)矩形窗：Barlett窗（三角窗）漢寧窗（Hanning）：海明窗（Hamming）：Blackman窗：窗函數(shù)主要用途：（1）FIR濾波器設(shè)計(jì) （2）譜分析（用于時(shí)域信號分析時(shí)的截?cái)啵└鞔昂瘮?shù)的對數(shù)幅度圖（m=50）矩形窗主瓣最窄----過渡帶窄旁瓣幅度大-----波動(dòng)大-13dB三角窗主瓣寬度增加2倍旁瓣幅度減小（-25dB）漢寧窗主瓣寬度增加2倍旁瓣幅度明顯減?。?31dB）海明窗主瓣寬度增加2倍旁瓣幅度明顯減小（-41dB）Blackman窗主瓣寬度增加3倍旁瓣幅度明顯減?。?57dB）阻帶最小衰減7.2.2廣義線性相位的合并線性相位的條件：時(shí)域?qū)ΨQ性窗函數(shù)w[n]，脈沖響應(yīng)h[n]---------對稱性上述的窗函數(shù)均滿足：關(guān)于M/2點(diǎn)對稱性頻率響應(yīng)-----線性相位特性：We(ejω)------ω的實(shí)偶函數(shù)。上述窗函數(shù)的性質(zhì)濾波器因果性

濾波器的線性相位性？h[n]=±h[M-n]?很顯然，若理想濾波器是關(guān)于M/2點(diǎn)對稱，hd[n]=±hd[M-n]則加窗后的h[n]滿足：h[n]=±h[M-n]其頻率響應(yīng)為：或其中Ae(ejω)------ω的實(shí)偶函數(shù)

Ao(ejω)-------ω的實(shí)奇函數(shù)證明：假設(shè)hd[n]=hd[M-n]，有

He(ejω)------ω的實(shí)偶函數(shù)若窗函數(shù)對稱，則有：濾波器是廣義線性相位的，其幅度是He(ejω)與We(ejω)的卷積:hd[n]偶對稱hd[n]奇對稱例7.7線性相位低通濾波器所要求低通濾波器的頻率響應(yīng)：（線性相位）相應(yīng)的理想脈沖響應(yīng)（對應(yīng)于-∞＜n

＜∞

）:容易證明：

hlp[M-n]=hlp[n]對hlp[n]應(yīng)用對稱窗函數(shù)（關(guān)于M/2對稱），就可得：因果、有限長、線性相位（關(guān)于M/2對稱）的低通濾波器。理想濾波器頻率響應(yīng)與所設(shè)計(jì)濾波器頻率響應(yīng)（應(yīng)用各種窗函數(shù)）：He(ejω)---理想濾波器Ae(ejω)---設(shè)計(jì)濾波器We(ejω)---窗函數(shù)Ae(ejω)=He(ejω)*We(ejω)卷積過程波動(dòng)最大正峰、負(fù)峰產(chǎn)生最大正峰、負(fù)峰之間距離=Δωm=主瓣寬帶=過渡帶>

Δω

(定義)峰對稱性（通帶、阻帶δ）濾波器特性的調(diào)整： （1）窗函數(shù)的長度-------主要影響過渡帶 （2）窗函數(shù)的形狀-------主要影響逼近精度（波動(dòng)）反復(fù)調(diào)整的不便性，探討窗函數(shù)參數(shù)濾波器性能指標(biāo)（直接）7.2.3Kaiser窗濾波器設(shè)計(jì)法窗函數(shù)-----在頻域，能量最大限度集中在ω

=0附近 主瓣寬度旁瓣面積-------選擇（調(diào)整）Kaiser窗定義：式中：α=M/2I0(?)----第一類零階修正Bessel函數(shù)兩個(gè)參數(shù)：α

---（M+1）-----長度參數(shù)

β------形狀參數(shù)主瓣寬度與旁瓣幅度之間調(diào)整Kaiser窗函數(shù)的頻率響應(yīng)幅度與參數(shù)M，β的關(guān)系：β

------旁瓣幅度（主要）M------主瓣寬度濾波器指標(biāo)與窗函數(shù)參數(shù)的關(guān)系：過渡帶寬度：Δω=ωs–ωp定義：A=-20log10δ--------波動(dòng)幅度有：M滿足：例7.8用Kaiser窗法設(shè)計(jì)低通濾波器設(shè)計(jì)步驟：（1）給出技術(shù)指標(biāo)

ωp=0.4π,ωs=0.6π,δ1=0.01,δ2=0.001,δ=δ1=δ2=0.001（2）求出理想低通濾波器截止頻率（3）確定窗參數(shù)由得到：（4）計(jì)算濾波器的脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)：M=37為奇數(shù)，第二類線性相位濾波器頻率響應(yīng)：通帶和阻帶的逼近誤差誤差定義：誤差對稱性，最大誤差略大于0.001，取M=38，最大誤差0.00087.2.4Kaiser窗與其它窗之間的關(guān)系窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理： 用一個(gè)有限長窗函數(shù)去截取理想脈沖響應(yīng)（時(shí)域） 相應(yīng)在頻域產(chǎn)生的結(jié)果： 理想頻率響應(yīng)與窗函數(shù)的傅立葉變換進(jìn)行了卷積 直接的效果：模糊了理想濾波器頻率響應(yīng)的間斷特性方法的特性： 過渡帶的帶寬由窗函數(shù)傅立葉變換的主瓣確定 通帶與阻帶的波紋由窗函數(shù)旁瓣的積分（卷積計(jì)算）產(chǎn)生 通帶與阻帶的波紋近似相等（窗