2023北京通州高一（下）期中數(shù)學(xué)試題及答案

第1頁/共1頁2023北京通州高一（下）期中數(shù)學(xué)2023年4月本試卷共4頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．復(fù)數(shù)的虛部為（A） （B）（C） （D）2．在復(fù)平面內(nèi)，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模等于（A）5 （B）（C）2 （D）13．設(shè)，是單位向量，則下列四個結(jié)論中正確的是（A） （B）（C） （D）4．已知向量，，則向量與夾角的余弦值為（A） （B）（C） （D）5．已知向量，滿足，且，則在上的投影向量為（A） （B）（C） （D）6．已知向量，，則“”是“”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件7.如圖所示，點C在線段BD上，且BC=3CD，則（A） （B）（C） （D）8.拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，該試驗的樣本空間中樣本點的個數(shù)為（A） （B）（C） （D）9.若某群體中的成員用現(xiàn)金支付的概率為0.60，用非現(xiàn)金支付的概率為0.55，則既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為（A）0.10 （B）0.15（C）0.40 （D）0.4510.已知，，若向量，，則向量與所成的角為銳角的概率是（A） （B）（C） （D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知是虛數(shù)單位，則.12.在中，,,，則.13.某人射擊中靶的概率為0.9，連續(xù)射擊3次，每次射擊的結(jié)果互不影響，則至少中靶一次的概率是.14.一條河寬為800m，一艘船從岸邊的某處出發(fā)向?qū)Π逗叫校乃俣鹊拇笮?0km/h，水流速度的大小為12km/h，則當(dāng)航程最短時，這艘船行駛完全程所需要的時間為min．15.在正方形ABCD中，AB=2，P為BC邊的中點，Q為CD邊的中點，M為AB邊（包括端點）上的動點，則的取值范圍是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（本小題14分）已知,是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)．(Ⅰ)求，的值，并指出復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限；(Ⅱ)計算，，；（Ⅲ）當(dāng)實數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)是下列數(shù)？（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．17．（本小題13分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)點M是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且四邊形APBM是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)；（Ⅲ）若點N是直線OP上的動點，求的最小值．18．（本小題15分）袋子中有5個大小質(zhì)地完全相同的球，其中紅球3個，白球2個．（Ⅰ）從中依次有放回地隨機摸出2個球，求第一次摸到白球的概率；（Ⅱ）從中依次無放回地隨機摸出2個球，求第二次摸到白球的概率；（Ⅲ）若同時隨機摸出2個球，求至少摸到一個白球的概率．19．（本小題13分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量與垂直．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，，求的面積．

20．（本小題15分）已知在△ABC中，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在且唯一確定，求邊上高線的長．條件①：，；條件②：，；條件③：，．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分．21．（本小題15分）若函數(shù)，則稱向量為函數(shù)的特征向量，函數(shù)為向量的特征函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)，求的特征向量；（Ⅱ）若向量的特征函數(shù)為，求當(dāng)，且時的值；（Ⅲ）已知點，，設(shè)向量的特征函數(shù)為，函數(shù)．在函數(shù)的圖象上是否存在點Q，使得？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

參考答案第一部分一、選擇題題號12345678910答案CBDACADCBA第二部分二、填空題11．12．13．14．15．三、解答題16．（本小題14分）解：（Ⅰ）因為與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，．………2分所以，．所以復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限．………………3分(Ⅱ)，…5分，…7分．…9分（Ⅲ）.……………11分（1）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)是實數(shù)．…………12分（2）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)是虛數(shù)．………13分（3）當(dāng)，且，即時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)．…………14分17．（本小題13分）解：（Ⅰ），.………2分所以．…………3分（Ⅱ）設(shè)點M的坐標(biāo)為，則因為四邊形APBM是平行四邊形，所以，………………5分所以，………………6分所以，，即點M的坐標(biāo)為．……………………7分（Ⅲ）設(shè)點Ｎ的坐標(biāo)為，則因為點Ｎ在直線OP上，所以，使，即．.………9分所以，．.………11分所以．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以，若點Ｎ是直線OP上的動點，則的最小值為．.………………13分18．（本小題15分）解：（Ⅰ）記三個紅球編號為1，2，3，兩個白球分別為4，5，則在有放回情況下，第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有5種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對，組成25種等可能的結(jié)果，如表1所示．表1第一次第二次123451（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）…………3分第一次摸到白球的可能結(jié)果有10種，見表中后兩行．……4分記A=“第一次摸到白球”，則．………5分（Ⅱ）在無放回情況下，第一次摸球時有5種等可能的結(jié)果，對應(yīng)第一次摸球的每個可能結(jié)果，第二次摸球時都有4種等可能的結(jié)果．將兩次摸球的結(jié)果配對，組成20種等可能的結(jié)果，如表2所示．表2第一次第二次123451×（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）×（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）×（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）×（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）×…………8分第二次摸到白球的可能結(jié)果有8種，見表中后兩列.…………9分記B=“第二次摸到白球”，則．………10分（Ⅲ）“同時摸出兩個球”，參考“依次無放回地摸出2個球”，則由表2可知，至少摸到一個白球的可能結(jié)果有14種，即（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）．.………14分記C=“至少摸到一個白球”，則．………15分19．（本小題13分）解：（Ⅰ）因為，所以，.……………….……………1分即．.……………….…………3分由正弦定理得．.……………….…………5分因為，所以，所以．……….…………………7分因為，所以．……….…………………8分（Ⅱ）由余弦定理，得，…………9分所以，解得，或（舍）．…………………11分所以的面積．……………13分20．（本小題15分）解：（Ⅰ）在中，因為,所以由正弦定理可得………………2分因為，所以．………………5分所以．…………………6分因為，所以．…………………７分因為，所以．…………………8分（Ⅱ）選條件①：不唯一．選條件②：…………9分由余弦定理得，所以．………12分所以為等腰三角形，．…………13分設(shè)邊上高線的長為，則．.………………15分選條件③：…………9分因為在中，，所以．…………10分因為，所以．…………13分設(shè)邊上高線的長為，則．…………15分21．（本小題15分）解：（Ⅰ）因為，…………1分所以函數(shù)的特征向量.…………………2分（Ⅱ）因為，所以.……………3分又．所以．………4分因為，所以，所以．………5分所以……………6分．…………………7分（Ⅲ）不存在．理由如下：……………………8分由向量的特征函數(shù)為，得