解析函數(shù)的泰勒展開及洛朗展開

解析函數(shù)的泰勒展開及洛朗展開第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四上次課主要內容回顧——關于的冪級數(shù)，其中為常數(shù).定理1（Abel第一定理）若冪級數(shù)（1）在處收斂，則它在圓內每一點處絕對收斂.推論若冪級數(shù)（1）在處發(fā)散，則它在內每一點處發(fā)散.定理3

對冪級數(shù)（1），若下述極限之一成立，則冪級數(shù)（1）的收斂半徑為第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四定理4

設冪級數(shù)（1）的收斂半徑為，它在圓盤內的和函數(shù)為，則（1）在內解析；（2）在內可逐項求導數(shù)，即（3）在內可逐項積分，即推論

在定理4條件下，有或提問:冪級數(shù)在收斂圓內的性質是什么?上次課主要內容回顧第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四思考下列問題:(1)函數(shù)滿足怎樣的條件才能展開為冪級數(shù)?(2)如果函數(shù)能夠展開為冪級數(shù),那么它的系數(shù)應如何確定?(3)函數(shù)的冪級數(shù)展開式是否唯一?(4)如何確定展開式的收斂半徑?§3泰勒級數(shù)第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§3泰勒級數(shù)定理（Taylor)

設函數(shù)在圓盤內解析，則證明過程:第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四人物簡介18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒（BrookTaylor）,于1685年8月18日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生。1709年后移居倫敦，獲法學碩士學位。1712年當選為英國皇家學會會員，并于兩年后獲法學博士學位。同年(即1714年)出任英國皇家學會秘書，四年后因健康理由辭退職務。他是有限差分理論的奠基人。1717年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程,他提出的泰勒定理使任意單變量函數(shù)可展為冪級數(shù)。最后在1731年12月29日于倫敦逝世。泰勒定理第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四情況一:找到區(qū)域邊界最短距離.情況二:找與函數(shù)離最近的一個奇點之間的距離.§3泰勒級數(shù)推論

函數(shù)在處解析的充要條件是可在的某鄰域內展開成冪級數(shù).Note.實際上該推論是從級數(shù)的角度深刻地反映出解析函數(shù)的本質.wecanuseTaylor’stheoremandpropertyofthepowerseriestoobtainthiscorollary.提問:當已知函數(shù)在某個區(qū)域內解析若要將函數(shù)

展開成冪級數(shù),則如何確定收斂半徑R值?第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四Note.WecanuseTaylor’stheoremandcorollaryto

obtainthisresult.§3泰勒級數(shù)基本結論:函數(shù)在某一點的泰勒展開式是唯一的.Example1.2)泰勒公式法1)代換運算第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四幾個例題Example2.第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四幾個例題Example3.Note.

我們考慮的對象是單值函數(shù)所以應取冪函數(shù)的主值分支.第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四Example4.§3泰勒級數(shù)3)逐項積分法與逐項求導法第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§3泰勒級數(shù)Example2.同理可得余弦函數(shù)在原點的泰勒級數(shù).4)其它方法第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§3泰勒級數(shù)基本初等函數(shù)在原點處的泰勒級數(shù):利用MATHEMATICA求冪級數(shù)展開**第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§3泰勒級數(shù)Exercise1.Exercise2.(1)利用冪級數(shù)的運算性質

(2)利用逐項求導逐項積分的性質

(3)利用代換運算

(4)利用以知的結論即基本函數(shù)的展開式間接展開法泰勒公式法總結函數(shù)在某一點展開的方法:第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§4洛朗級數(shù)——關于的雙邊冪級數(shù)（或洛朗級數(shù)），其中為常數(shù).負冪部分在區(qū)域內收斂到解析函數(shù)在區(qū)域內收斂到解析函數(shù)正冪部分第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§4洛朗級數(shù)負冪部分在區(qū)域內收斂到解析函數(shù)設負冪部分在收斂圓內的和函數(shù)為,則由定理4可得該和函數(shù)必解析.事實上負冪部分是我們主要研究的對象所以也稱之為主要部分.

原因就在于:第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四Note.

事實上正冪部分就是個冪級數(shù),由定理4可得該結論.由于它在這一點解析我們也稱它為解析部分.§4洛朗級數(shù)在區(qū)域內收斂到解析函數(shù)結論:在圓環(huán)域內收斂到解析函數(shù)定理4

設雙邊冪級數(shù)在收斂圓環(huán)域內的和函數(shù)為，則（1）該和函數(shù)在收斂圓環(huán)域內解析；（2）該和函數(shù)在收斂圓環(huán)域內可逐項求導數(shù)可逐項積分.正冪部分第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四提問:既然洛朗級數(shù)在收斂圓環(huán)域內的和函數(shù)是解析的,那么反過來是否成立呢?即一個在圓環(huán)域內解析的函數(shù)是否可以展開成洛朗級數(shù)?§4洛朗級數(shù)第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§4洛朗級數(shù)定理（Laurent）設在圓環(huán)域內解析，則對有其中這里為圓環(huán)域內繞的任何一條正向簡單閉曲線.利用柯西積分公式的推廣式稱(1)為在圓環(huán)內的洛朗展開式第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§4洛朗級數(shù)定理（Laurent）設在圓環(huán)域內解析，則對有其中這里為圓環(huán)域內繞的任何一條正向簡單閉曲線.證明思路:右邊的第一式利用泰勒定理中的證明技巧可得:右邊的第二式中先利用代換運算來展開成級數(shù):第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四§4洛朗級數(shù)推論圓環(huán)內的解析函數(shù)在該圓環(huán)內的洛朗展開式唯一.第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四Example.例題I公式法.II間接展開法.第22頁，共24頁，2023年，2月20日，星期四第四章級數(shù)§1復數(shù)項級數(shù)§2冪級數(shù)

—冪級數(shù)的收