2023屆天津市高三一模數(shù)學(xué)試題

2023屆天津市高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合描述法的定義求得集合，從而求出集合，即可求解.【詳解】，又，則或，則，則，故選：D.2．復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由的周期性以及復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以由周期性可?故選：C.3．下列選項(xiàng)中說法正確的是A．若非零向量，滿足，則與的夾角為銳角B．“，”的否定是“，”C．直線，，的充要條件是D．在中，“若，則”的逆否命題是真命題【答案】D【解析】利用，同向的情況判斷；利用特稱命題的定義判斷；利用等價于判斷；利用正弦定理邊角互化以及原命題與其逆否命題的等價性判斷.【詳解】對于，，同向時，與的夾角為0，不是銳角，故不正確；對于，“，”的否定應(yīng)該是“，”，故不正確；對于，等價于，即，得的充要條件是，故不正確；對于，，由正弦定理可得，由于大邊對大角，，即原命題正確，逆否命題是真命題，故正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查向量的夾角、特稱命題的否定、兩直線平行的充要條件以及正弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于中檔題.做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的、自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.4．以下說法不正確的是（

）A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位數(shù)為88B．相關(guān)系數(shù)的絕對值接近于0，兩個隨機(jī)變量沒有相關(guān)性C．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為15D．必然事件和不可能事件與任意事件相互獨(dú)立【答案】B【分析】求出選項(xiàng)A中數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)，即可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的知識可判斷B；求出的展開式中常數(shù)項(xiàng)可判斷C；根據(jù)必然事件、不可能事件的概念可判斷D．【詳解】對于A：因?yàn)?，所以?5百分位數(shù)為，故A正確；對于B：相關(guān)系數(shù)r的絕對值接近于0，表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間不存在其它相關(guān)關(guān)系，故B錯誤；對于C：常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；對于D：由必然事件和不可能事件的定義，可得D正確．故選：B．5．函數(shù)的部分圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】排除法，根據(jù)和的符號可排除B，D，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可得出結(jié)論．【詳解】解：，∴舍去B，，∴舍去D，時，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．6．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，，再對，進(jìn)行取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．7．距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的是一種茅屋，如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個入戶甬道，甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側(cè)面截取而得的幾何體，一端與茅屋的這個側(cè)面連在一起，另一端是一個等腰直角三角形．圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長為6m，，，，點(diǎn)D在正四棱錐的斜高PH上，平面ABC且．不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐體積與三棱柱體積再加一個小三棱錐體積之和，運(yùn)用體積公式求解即可.【詳解】設(shè)為正四棱錐底面中心，連接，則，，，取的中點(diǎn)，連接，過作于，則．在直角中．過作交于連接．則，所求體積故選：B8．圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于、兩點(diǎn)，且，則下列說法正確的有（

）①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；②圓關(guān)于直線對稱；③經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短的直線方程為；④若是圓上一動點(diǎn)，則的最大值為．A．②③ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【分析】對于①：由已知得出圓的圓心和半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷出①；對于②：判斷直線是否過圓心，即可判斷出圓是否關(guān)于直線對稱；對于③：求出經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短的直線方程，即可判斷③；對于④將轉(zhuǎn)化為圓上動點(diǎn)到點(diǎn)距離最大值的平方，求出最大距離，即可判斷④．【詳解】對于①：過圓心作，垂足為，則，，所以，即，又因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以圓心的坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故①錯誤；對于②：因?yàn)閳A心在直線上，所以直線是圓的一條對稱軸，故②正確；對于③：設(shè)點(diǎn)為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短時，該直線垂直于，因?yàn)?，所以該直線斜率，所以該直線方程為：，即，故③正確；對于④：設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)取最大時，點(diǎn)位于直線上，且位于圓心的右側(cè)，因?yàn)?所以，所以，故④錯誤，所以正確的有②③，故選：A．9．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．最高處的樹枝定是 B．最低處的樹枝一定是C．九根樹枝從高到低不同的順序共有種 D．九根樹枝從高到低不同的順序共有種【答案】C【分析】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)?，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，根據(jù)的位置不同分類討論，求得這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.【詳解】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)?，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，最高可能為G或I，最低為F或H，故A、B錯誤；先看樹枝，有4種可能，若在，之間，則有3種可能：①在，之間，有5種可能；②在，之間，有4種可能；③在，之間，有3種可能，此時樹枝的高低順序有（種）.若不在，之間，則有3種可能，有2種可能，若在，之間，則有4種可能，若在，之間，則有3種可能，此時樹枝的高低順序有（種）可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有種，故C項(xiàng)正確.故選：C.二、填空題10．若，，則___________.【答案】【分析】由，兩邊取以為底的對數(shù)，得，由，令，則，從而可得，則，從而得出答案.【詳解】由，兩邊取以為底的對數(shù)，得，由，令，則，所以，即，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由以及，則，由即，則故答案為：三、雙空題11．某高中數(shù)學(xué)社團(tuán)招募成員，依次進(jìn)行筆試，面試兩輪選拔，每輪結(jié)果都分“合格”和“不合格”.當(dāng)參選同學(xué)在第一輪筆試中獲得“合格”時，才能進(jìn)入下一輪面試選拔，兩輪選拔都合格的同學(xué)入選到數(shù)學(xué)社團(tuán).現(xiàn)有甲同學(xué)參加數(shù)學(xué)社團(tuán)選拔，已知甲同學(xué)在筆試，面試選拔中獲得“合格”和“不合格”的概率分別為，，且在筆試，面試兩輪選拔中取得的成績均相互獨(dú)立，互不影響且概率相同，則甲同學(xué)能進(jìn)入到數(shù)學(xué)社團(tuán)的概率是___________，設(shè)甲同學(xué)在本次數(shù)學(xué)社團(tuán)選拔中恰好通過X輪選拔，則數(shù)學(xué)期望___________．【答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得空1；由相互獨(dú)立事件的乘法公式分別求出甲同學(xué)通過0、1、2輪選拔的概率，然后由期望公式可得.【詳解】記甲同學(xué)通過筆試為事件A，通過面試為事件B，因?yàn)?，所以則甲同學(xué)能進(jìn)入到數(shù)學(xué)社團(tuán)的概率；甲同學(xué)無法通過筆試的概率，通過筆試但沒有通過面試的概率，得分布列：X012P所以.故答案為：，.四、填空題，是雙曲線的焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個旁心，如圖2所示，直線與軸交于點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)旁心為兩外角和一個內(nèi)角角平分線交點(diǎn)，利用角平分線性質(zhì)得到，再由合比性質(zhì)、雙曲線定義求結(jié)果即可.【詳解】雙曲線中，，所以，，則，由角平分線性質(zhì)知：，而，故.故答案為：13．在中，已知，，，為線段上的點(diǎn)，且，則的最小值為___________．【答案】【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，設(shè)，，結(jié)合已知得出，根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，由得，由得，因?yàn)?，所以，即，由及得，設(shè)，，因?yàn)?，所以，，所以將，代入得，，即，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故答案為：．14．已知函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①的最小正周期是；②的一條對稱軸方程為；③若函數(shù)在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，從小到大依次記為，則；④存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，都存在且，滿足．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】②③【分析】畫出函數(shù)圖像，可判斷①②，對于③，轉(zhuǎn)化為與在上交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到5個根的對稱性，從而得到答案；對于④，時，單調(diào)遞增，且，從而判斷出存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，只有一個，滿足要求.【詳解】的圖象如下：對于①，的最小正周期是，①錯誤；對于②，的一條對稱軸方程為，②正確；對于③，畫出圖象，與在上有5個交點(diǎn)，這5個交點(diǎn)即為函數(shù)在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，從小到大依次記為，且關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，則，故，③正確；對于④，時，單調(diào)遞增，且，對任意，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，由單調(diào)性可知存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，只有一個，滿足，④錯誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進(jìn)行解決.五、雙空題15．已知，函數(shù),當(dāng)時，函數(shù)的最大值是_____；若函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是______．【答案】/【分析】第一空，根據(jù)分段函數(shù)解析式，對于時的解析式，利用均值不等式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值；第二空，把函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱轉(zhuǎn)化為的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與僅有兩個交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，求得答案.【詳解】當(dāng)時，，令，當(dāng)，即時取等號，即當(dāng)時，，令，又因?yàn)?則;因?yàn)閳D象僅有兩對點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，即的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與圖象僅有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，，設(shè)其關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為，∴，∵，由（1）可知近似圖象如圖所示：時，，當(dāng)與僅有兩個交點(diǎn)時，，綜上，a的取值范圍是，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)最值的求解以及參數(shù)的范圍求解，涉及到三角函數(shù)以及均值不等式的知識，綜合性較強(qiáng)，解答時要注意數(shù)形結(jié)合的思想方法,解答的關(guān)鍵是把函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱轉(zhuǎn)化為的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與僅有兩個交點(diǎn)的問題.六、解答題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大小；(2)已知，的面積為6，求：①邊長的值；②的值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）①根據(jù)題意利用面積公式可求得，再利用余弦定理運(yùn)算求解；②先利用余弦定理求得，再根據(jù)平方求，利用倍角公式和兩角差的余弦公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，可得，∵，∴.（2）①∵的面積，∴，由余弦定理：，則；②∵，即，則，∴，故.17．如圖，在直三棱柱中，，，是棱上的一點(diǎn)，是的延長線與的延長線的交點(diǎn)，且平面（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，由平面，利用線面平行的性質(zhì)，可得，由是的中點(diǎn)，證得為的中點(diǎn)；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的正弦值；（3）在第二問的基礎(chǔ)上，設(shè)，根據(jù)直線與平面所成的角的正弦值，求出，求出線段的長【詳解】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)∵平面，平面，平面平面，∴.∵為正方形的中心，∴.∴.∵，∴.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，又，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，又，則則，令，得，，，∴∴∴二面角的正弦值為.（3）設(shè)，其中∴，∵，∴∴，【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算解決二面角，線面角問題，還考查了學(xué)生空間想象能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.18．是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若的面積最大時且最大面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由的面積最大時且最大面積為求得且，再結(jié)合即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知，設(shè)直線：，則直線：，然后分別與聯(lián)立求出，，再利用斜率公式得出的值即可.【詳解】（1）當(dāng)是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時的面積最大，設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，則即，又，∴，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線不與垂直，設(shè)直線：，即，直線：，即，設(shè)，，由得，∴，∴，則.又，，∴，又，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，本題關(guān)鍵是通過方程思想求出A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，第一問是基礎(chǔ)出題，第二問對運(yùn)算求解能力要求較高，屬中等難度題.19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)（n，Sn）在函數(shù)y＝2x+1﹣2的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1＝0，bn+1+bn＝an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）（1，+∞）【解析】由題意可知，分當(dāng)，和兩種情況，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；可得，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，由累加的方法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得答案；由可知，分當(dāng)為偶數(shù)和奇數(shù)時，考慮數(shù)列的單調(diào)性，可得的最大值是1，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】由題意可知，．當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以．由可知，即．當(dāng)時，，①當(dāng)時，，所以，②當(dāng)時，，③當(dāng)時，，所以，④當(dāng)時為偶數(shù)），，所以以上個式子相加，得，又，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，．同理，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，．因此，當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列的前項(xiàng)和；當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列的前項(xiàng)和．故數(shù)列的前項(xiàng)和．由可知，①當(dāng)為偶數(shù)時，，所以隨的增大而減小，從而，當(dāng)為偶數(shù)時，的最大值是．②當(dāng)為奇數(shù)時，，所以隨的增大而增大，且．綜上，的最大值是1．因此，若對于任意的，不等式恒成立，只需，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列等比數(shù)列的