2023屆河北省邯鄲市高三二模數(shù)學試題-2

2023屆河北省邯鄲市高三二模數(shù)學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先解絕對值不等式求出集合，再求出集合，最后根據(jù)補集、交集的定義計算可得.【詳解】由，得，所以，不等式的解集為，所以，所以或，所以；故選：A.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)運算求出，再利用復數(shù)乘方計算作答.【詳解】由得：，即，所以.故選：D3．向量，滿足，且，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解作答.【詳解】由得，又，所以在上的投影向量為.故選：C4．已知直線是曲線的切線，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導得，令直線與曲線相切的切點為，于是且，所以.故選：B5．2023年3月13日，第十四屆全國人民代表大會第一次會議在北京人民大會堂閉幕，為記錄這一歷史時刻，來自省的3名代表和省的3名代表合影留念.假設6名代表站成一排，則省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出6名代表站成一排的所以排法，再求A省的3名代表互不相鄰，且B省的3名代表也互不相鄰的所有排法，利用古典概型概率公式求其概率.【詳解】6名代表站成一排的所有排法共有種排法，省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的排法可分為兩類：第一類：省的3名代表坐在第位置，共有種排法，第二類：省的3名代表坐在第位置，共有種排法，所以省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的排法共有種排法，所以事件省的3名代表互不相鄰，且省的3名代表也互不相鄰的概率.故選：B.6．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則函數(shù)的極值點為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出變換后的函數(shù)解析式，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出，進而求出極值點作答.【詳解】函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位長度得的圖象，依題意，，而，則，因此，由得：，所以函數(shù)的極值點為.故選：B，其中是球的半徑，是球缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機械插件中間部分的體積約為（）（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)球的截面的性質(zhì)由條件求出球的半徑，切除掉的“球缺”的高，結合球的體積公式和“球缺”的體積公式可得結論.【詳解】過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如下：由已知可得，設為的中點，則，由已知可得，又，所以，由求得截面性質(zhì)可得為以為斜邊的直角三角形，所以，即球的半徑，所以以為球心，為半徑的球的體積，又，所以，因為球的半徑，，所以“球缺”的高為，所以一個“球缺”的體積，所以該機械插件中間部分的體積約為.故選：C.8．設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】要比較的大小只需比較與的大小，故考慮構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較其大小，要比較的大小，只需比較與的大小，故考慮構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因為，又由函數(shù)，，可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以，故，所以，因為，，故要比較的大小只需比較與的大小，故只需比較與的大小，故考慮構造函數(shù)，其中，由求導可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于觀察被比較的數(shù)的結構特征，確定兩者的結構上的共性，考慮構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定被比較的數(shù)的大小.二、多選題9．已知是定義在上的函數(shù)，，且滿足為奇函數(shù)，當時，，下列結論正確的是（

）A． B．的周期為2C．的圖象關于點中心對稱 D．【答案】ACD【分析】由為奇函數(shù)可得，取可求，判斷A，舉反例判斷B，由奇函數(shù)的性質(zhì)結合圖象變換判斷C，由條件判斷其周期，結合周期性性質(zhì)判斷D.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以，A正確；因為當時，，所以，因為，所以，故，所以2不是的周期，故B錯誤；因為為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于原點對稱，所以的圖象關于點中心對稱，C正確；由，，可得，所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以，又當時，，所以，D正確；故選：ACD.10．已知為坐標原點，拋物線的焦點到準線的距離為2，過點且斜率為的直線與交于，兩點，，則下列敘述正確的是（

）A．的準線方程為B．恒成立C．若，則D．若，則【答案】BD【分析】由條件求出拋物線方程，由此判斷A，再聯(lián)立方程組利用設而不求法判斷BCD.【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為2，所以，所以拋物線方程為，其準線方程為，A錯誤；由已知直線的方程為，聯(lián)立，消，可得，方程的判別式，設，則，所以，所以，B正確；當時，，所以，所以，C錯誤；由可得，所以，故，又，所以，，，，所以，所以，所以，所以，又，所以，D正確；故選：BD.11．如圖，在平行六面體中，，分別是，的中點，以為頂點的三條棱長都是，，則（

）A．平面B．C．四邊形的面積為D．平行六面體的體積為【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、空間距離、線線角等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，如圖，連接，由于分別是的中點，所以，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知，所以，由于平面，平面，所以平面，所以A選項正確.B選項，因為，所以，即，所以B選項正確.C選項，如圖，連接，則，，即，同理，故四邊形為矩形，面積為，所以C選項錯誤.D選項，如圖，過作平面，易知在直線上，因為平面，故，過作于，連接，由，而平面，得平面，易得，故，，，故平行六面體的體積為，所以D選項正確.故選：ABD12．已知函數(shù)，若存在滿足，，下列結論正確的是（

）A．若，則 B．C． D．【答案】ACD【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合關鍵點的坐標作出函數(shù)圖象，由，可得直線與函數(shù)的圖象有三個交點，觀察圖象確定的范圍，設可得，比較系數(shù)，結合條件判斷B，C，D.【詳解】因為，所以，令，可得或，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，作出函數(shù)的圖象如下：對于A，由，可得為方程的三個根，即為方程的三個根，即為方程的三個根，故直線與函數(shù)的圖象有三個交點，所以，所以，A正確；設，可得，因為，所以，，，則，所以，所以，所以，，又，，所以，，B錯誤，C正確，D正確；故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的圖象，結合圖象研究函數(shù)的零點或方程的根.三、填空題13．的展開式中，常數(shù)項為_________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意，，所以只需求的展開式中含的項和常數(shù)項即可.【詳解】由題意得，因為的展開式的通項為，令，，令，，所以的常數(shù)項為，故答案為：14．已知直線與圓交于A，兩點，若是圓上的一動點，則面積的最大值是___________.【答案】/【分析】求出圓C圓心到弦AB的長度d，求出弦AB的長度，M到弦AB的最大距離為d＋r(r為圓C半徑)，根據(jù)三角形面積公式即可求出答案．【詳解】，則圓C的圓心為，半徑為，圓心C到直線l（弦AB）的距離為，則，則到弦AB的距離的最大值為，則面積的最大值是.故答案為：四、雙空題15．若數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列.某數(shù)學小組在數(shù)學探究課上，用剪刀沿直線剪一圓形紙片，將剪刀最多可以將圓形紙片分成的塊數(shù)記為，經(jīng)實際操作可得，，，，…，根據(jù)這一規(guī)律，得到二階等差數(shù)列，則________；若將圓形紙片最多分成1276塊，則_________.【答案】3750【分析】由二階等差數(shù)列的定義結合所給條件求出數(shù)列的通項公式，再由通項公式求和所對應的項數(shù).【詳解】因為數(shù)列為二階等差數(shù)列，所以數(shù)列為等差數(shù)列，由，，，，可得，所以數(shù)列為首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以當時，，將以上各式相加可得，，又，所以，其中，經(jīng)驗證也滿足該關系，所以，所以，令，則，解得.故答案為：；.五、填空題16．已知為坐標原點，橢圓的右焦點為，上頂點為，線段的中垂線交于、兩點，交軸于點，，的周長為16，則橢圓的標準方程為_________.【答案】【分析】由及勾股定理可得，再證明過橢圓的另一個焦點，從而求出的周長，又由的周長等于的周長，解得，即可求出橢圓的標準方程.【詳解】如圖，由題意可得，可得，連接，在中，由勾股定理得，所以，整理得，所以即，所以橢圓的離心率.在中，所以.設直線交軸于點，交于點，在中，有，所以為橢圓的左焦點.又，所以的周長等于的周長.又的周長為，所以.解得.所以，.故答案為：六、解答題17．已知條件：①；②；③.從三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足：___________.(1)求角的大??；(2)若，與的平分線交于點，求周長的最大值.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).【分析】（1）選①，利用余弦定理求解作答；選②，利用二倍角正弦、正弦定理邊化角求解作答；選③，利用二倍角的余弦公式計算作答.（2）根據(jù)給定條件，結合（1）的結論求出，再利用正弦定理結合三角恒等變換求解作答.【詳解】（1）選擇條件①，，在中，由余弦定理得，整理得，則，又，所以.選擇條件②，，于是，在中，由正弦定理得，，因為，則，即，因為，因此，即，又，所以.選擇條件③，，在中，因為，即，則，又，即有，則，所以.（2）由（1）知，，有，而與的平分線交于點，即有，于是，設，則，且，在中，由正弦定理得，，所以，，所以的周長為，由，得，則當，即時，的周長取得最大值，所以周長的最大值為.18．已知數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項的乘積為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，兩式相除可得，兩邊取對數(shù)可得，結合時求得，可得，可得是常數(shù)列，即可求得答案.（2）由（1）的結論可得的解析式，從而求得，結合放縮法以及等比數(shù)列的前項和公式確定的范圍.【詳解】（1）由題意知為正項數(shù)列的前項的乘積，且，當時，，所以，解得；又①，②，②÷①得，，即，所以，即，所以，所以，結合，可知數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，則，由于，故，且，所以，即.19．某企業(yè)為在推進中國式現(xiàn)代化新征程中展現(xiàn)更大作為，在提升員工敬業(yè)精神和員工管理水平上實施新舉措制定新方案.現(xiàn)對員工敬業(yè)精神和員工管理水平進行評價，從企業(yè)中選出200人進行統(tǒng)計，其中對員工敬業(yè)精神和員工管理水平都滿意的有50人，對員工敬業(yè)精神滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的40%，對員工管理水平滿意的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的45%.(1)完成對員工敬業(yè)精神和員工管理水平評價的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意有關聯(lián)？項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業(yè)精神滿意對員工敬業(yè)精神不滿意合計(2)若將頻率視為概率，隨機從企業(yè)員工中抽取3人參與此次評價，設對員工敬業(yè)精神和對員工管理水平都滿意的人數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望.(3)在統(tǒng)計學中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，現(xiàn)從該企業(yè)員工中任選一人，表示“選到對員工管理水平不滿意”、表示“選到對員工敬業(yè)精神不滿意”，請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值.附：，.【答案】(1)表格見解析，能認為對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意有關聯(lián)；(2)分布列見解析，；(3)的值為.【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)完善2×2列聯(lián)表，再計算觀測值作答.（2）求出的可能值，求出對應的概率，列出分布列并計算期望作答.（3）根據(jù)給定定義，利用條件概率計算作答.【詳解】（1）由題意可得關于對員工敬業(yè)精神和員工管理水平評價的2×2列聯(lián)表項目對員工管理水平滿意對員工管理水平不滿意合計對員工敬業(yè)精神滿意503080對員工敬業(yè)精神不滿意4080120合計90110200零假設為：對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意無關.據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對員工敬業(yè)精神滿意與對員工管理水平滿意有關聯(lián).（2）對員工敬業(yè)精神和對員工管理水平都滿意的概率為，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，其中；；；，所以隨機變量的分布列為0123則.（3），所以估計的值為.20．四棱錐中，，平面，，為的中點，且.(1)求證：平面.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)方法一：證明平面得；再證明即可；方法二：依題意得平面，以A為坐標原點，方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，設，，求出B、C、D、E、P的坐標，根據(jù)，結合向量即可求出，求出平面的法向量，證明即可．(2)方法一：以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解；方法二：求出平面的法向量為，結合(1)即可求解．【詳解】（1）方法一：因為平面，平面，所以.因為，，平面，所以平面，又平面，所以.又因為，所以，，即.因為，平面，所以平面.方法二：依題意得平面，以為坐標原點，方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，，則，，，，，，.因為，所以，，所以.所以，，，.設平面的法向量為.由，，得，令，則，即.由，所以平面.（2）方法一：由（1）得，為的中點，所以.以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為.由，得，令，則，，即.由（1）知平面的一個法向量為，所以.根據(jù)觀察，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.方法二：設平面的法向量為.由，，得，令，則，，即.所以.所以二面角的余弦值為.21．已知雙曲線（，）過，，，四個點中的三個點.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于，兩點，且，求證：直線經(jīng)過一個不在雙曲線上的定點，并求出該定點的坐標.【答案】(1)(2)證明見解析，定點的坐標為【分析】(1)根據(jù)雙曲線的對稱性可知，在雙曲線上，而不可能在雙曲線上，從而可知也在雙曲線上，即可求雙曲線的方程；(2)分類討論，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達定理可用含有的式子表示、，再由得到含有的方程，把、代入化簡即可求出的斜率不存在時，設的方程為，同理可求出定點坐標.【詳解】（1）根據(jù)雙曲線的對稱性可知，關于軸對稱，所以，必同時在雙曲線上，而不可能在雙曲線上.則雙曲線還經(jīng)過點，則，將點代入，可得.所以雙曲線的方程為.（2）(ⅰ)當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，