多元微積分期中試卷

A一、選擇題（4分，共16分1、下列不等式成立的是（D

2lnxdx2(lnx)2dx 1exdx1(x1)dx

0ex2dx0exdx 2sinxdx2xdx 2、函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的（ (A)必要而非充分條件 (B)充分而非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件 x2y3fx2y

x2y2x2y2

，則下列說法正確的是（

f(x,y)處處連續(xù)

f(xy處處有極限，但不連續(xù)

f(x,y)僅在（0,0）點(diǎn)連續(xù)

f(x,y除（0,0）點(diǎn)外處處連續(xù)4、下列積分計(jì)算正確的是（ 1 1 dx dx01 111(C) 11x

dx2

1dx發(fā)散二、填空題（4分，共20分 1f(x在閉區(qū)間[0,1連續(xù)，若a1xfx2dx1f

則a 2、極限

1323...

43、1.99932.0022

4、設(shè)

2

1所圍成的閉區(qū)域，則

(xy)ln(x2y2x2y2

dxdy 5、已知f(x)cosx2f(x)dx，則2f(x)dx 2三、計(jì)算下列積分（每小題6分，共24分1、1000 解：原式1t2dett2et121tetdte2100 e2tet121etdte2et e2、4 dxx1xxxx

t，t:1t

2t 2

1 2原式1t2t2tdt211tdt21(t11tdt232dxxsinxdy4dx2sinx

2ln312ln21 2 2解：由于sinxdy2221124

4(D原式sin2ydxdy1D

dx2 4D

1x2y2dxdy，其中D

1x2y243 解：原式=2

1r2rdr(1r2)2616

565

2四、計(jì)算題（6分，共24分1、過點(diǎn)2,1作拋物線y

x1xxy1x2yOyO x2V

21x

dx

2x1dxπ02 xtf2F(x

x

f(tf(0 x請計(jì)算常數(shù)cF(x連續(xù)x解：limF(xlim0tf(t)dtlimxf(x)1f(0)x

F(x

climF(x)0 x 2 3z

fxy,y，fuv具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求xxyzyf1f y2z yxf

f1f1xf

y212 y2 y y2f22x x1f11

z 4Fu,v具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，zzxyFxyyx0xxyy z 解：由Fx ,y 0兩邊分別對x和y求導(dǎo)，可 F11zF 1 yx

2 F 1z 1y2yyF2 由上兩式，得1F1Fxz x y1 xzyzzxy 五、應(yīng)用題（10分元)與費(fèi)用x1(萬元)及報(bào)紙費(fèi)用x2(萬元)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗(yàn)：R1514x132x28x1x2（5若提供的費(fèi)用為1.5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)策略.（5分）解(1)利潤函數(shù)1513x31x8xx2x2 1 Lx14x18x213Lx28x120x20x10.75(萬元)x21.25(萬元2

2

2又A 4,B 8,C

x

1 ACB2160A0，故點(diǎn)(0.75，1.25)(2)做日函F,x Lx1,x2113x1Fx1138x24x10x10x2

Fx2318x120x2Fx1x2即費(fèi)用1.5萬元全部用于報(bào)紙，可使利潤最大六、證明題（6分）f(x在區(qū)間[abg(x在區(qū)間[ab上連續(xù)且不變號，證明至少存在一點(diǎn)[a,b]，使下式成立 af(x)g(x)dxf()ag(x)dx證明：1）g(x2）g(x在區(qū)間[ab上大于等于零（但不恒等于零f(x在區(qū)間[ab的最小、最大值分別是mM，g(g(x)