高一數(shù)學(xué)兩個(gè)變量的線性相關(guān)

高一數(shù)學(xué)兩個(gè)變量的線性相關(guān)第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四1、變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有相關(guān)關(guān)系。例：（1）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費(fèi)之間的關(guān)系（2）糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系（3）人體內(nèi)脂肪含量與年齡之間的關(guān)系一、變量之間的相關(guān)關(guān)系不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)：相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四2、兩個(gè)變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因是受許多不確定的隨機(jī)因素的影響。3、需要通過樣本來判斷變量之間是否存在相關(guān)關(guān)系一、變量之間的相關(guān)關(guān)系第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)上述數(shù)據(jù)，人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系？第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四散點(diǎn)圖:兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左下角到右上角的區(qū)域，即一個(gè)變量值由小變大，另一個(gè)變量值也由小變大，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為正相關(guān)。第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四思考：1、兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)關(guān)系時(shí)，散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？答：兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布的位置是從左上角到右下角的區(qū)域，即一個(gè)變量值由小變大，而另一個(gè)變量值由大變小，我們稱這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)。第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四2、你能舉出一些生活中的變量成正相關(guān)或者負(fù)相關(guān)的例子嗎？如學(xué)習(xí)時(shí)間與成績，負(fù)相關(guān)如日用眼時(shí)間和視力，汽車的重量和汽車每消耗一升汽油所行駛的平均路程等。注：若兩個(gè)變量散點(diǎn)圖呈上圖，則不具有相關(guān)關(guān)系，如：身高與數(shù)學(xué)成績沒有相關(guān)關(guān)系。第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四散點(diǎn)圖回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線就叫做回歸直線。這條回歸直線的方程，簡稱為回歸方程。第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四1.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，變量之間具有函數(shù)關(guān)系2.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系3.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系只有散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈條狀集中在某一直線周圍的時(shí)候，才可以說兩個(gè)變量之間具有線性關(guān)系，才有兩個(gè)變量的正線性相關(guān)和負(fù)線性相關(guān)的概念，才可以用回歸直線來描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四方案一：采用測量的方法：先畫一條直線，測量出各點(diǎn)到它的距離，然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離之和最小的位置，測量出此時(shí)直線的斜率和截距，就得到回歸方程。三、我們應(yīng)該如何具體的求出這個(gè)回歸方程呢？第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四方案二:

在圖中選取兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同。第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四方案三:

在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四上述三種方案均有一定的道理，但可靠性不強(qiáng)，我們回到回歸直線的定義。求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與直線的偏差最小”。計(jì)算回歸方程的斜率和截距的一般公式：其中，b是回歸方程的斜率，a是截距。第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四5、最小二乘法的公式的探索過程如下：設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）設(shè)所求的回歸直線方程為Y=bx+a，其中a，b是待定的系數(shù)。當(dāng)變量x取x1，x2，…，xn時(shí)，可以得到

Yi=bxi+a（i=1，2，…，n）它與實(shí)際收集得到的yi之間偏差是

yi-Yi=yi-(bxi+a)（i=1，2，…，n）（x1，y1）（x2，y2）（xi，yi）yi-Yiy

x這樣，用這n個(gè)偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四Σ（yi-Yi）的最小值ni=1Σ|yi-Yi|的最小值ni=1Σ（yi-Yi）^2的最小值ni=1Q=(y1-bx1-a)^2+(y2-bx2-a)^2+…+(yn-bxn-a)^2當(dāng)a，b取什么值時(shí)，Q的值最小，即總體偏差最小Σ（xi-x）（yi-y）ni=1b=Σ（xi-x）ni=1a=y-bxˉˉˉˉˉ第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四我們可以用計(jì)算機(jī)來求回歸方程。人體脂肪含量與年齡之間的規(guī)律，由此回歸直線來反映。第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四將年齡作為x代入上述回歸方程，看看得出數(shù)值與真實(shí)值之間有何關(guān)系？年齡23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2回歸值12.815.122.023.225.527.828.4年齡53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6回歸值30.130.731.832.433.034.134.7第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四若某人65歲，可預(yù)測他體內(nèi)脂肪含量在37.1％（0.577×65-0.448=37.1％）附近的可能性比較大。但不能說他體內(nèi)脂肪含量一定是37.1％原因：線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計(jì)的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差，即使截距斜率沒有誤差，也不可能百分百地保證對(duì)應(yīng)于x，預(yù)報(bào)值Y能等于實(shí)際值y第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例2、假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：使用年限x（年）23456維修費(fèi)用y（萬元）2.23.85.56.57.0若資料知y，x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：（1）線性回歸方程Y=bx+a的回歸系數(shù)a、b；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四iˉˉ解：（1）于是有b=（112.3-5*4*5）/（90-5*4^2）=1.23,a=5-1.23*4=0.08（2）回歸方程為Y=1.23x+0.08，當(dāng)x=10時(shí)，Y=12.38（萬元），即估計(jì)使用10年時(shí)維護(hù)費(fèi)用是12.38萬元。第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四例1：有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：1、畫出散點(diǎn)圖；2、從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律；3、求回歸方程；4、如果某天的氣溫是2攝氏度，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)。第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四1、散點(diǎn)圖2、從圖3-1看到，各點(diǎn)散布在從左上角到由下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間成負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少。第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四3、從