數(shù)字信號處理（第3版）5-3-頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器

電子信息工程學(xué)院信號處理課程組數(shù)字信號處理DigitalSignalProcessingFIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

FIR數(shù)字濾波器引論線性相位FIR濾波器特性窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器頻率取樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR與IIR數(shù)字濾波器的比較頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)方法方法改進(jìn)設(shè)計(jì)原理窗函數(shù)法：基于時(shí)域的逼近頻率取樣法：基于頻域的逼近使所設(shè)計(jì)的M階FIR濾波器的頻率響應(yīng)H(ejW)在M+1個(gè)取樣點(diǎn){Wm;m=0,1,,M}上與所給定數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)Hd(ejW)相等。M+1個(gè)取樣點(diǎn)給定Hd(ejW)設(shè)計(jì)所得M階FIRDF的H

(ejW)設(shè)計(jì)原理如何求出滿足，且具有線性相位濾波器的h[k]?FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的目標(biāo)是求出其單位脈沖響應(yīng)h[k]因?yàn)镸+1點(diǎn)DFT若則有設(shè)計(jì)原理如何求出滿足，且具有線性相位濾波器的h[k]？Ad[m](b=0或p/2)若要保證所設(shè)計(jì)的濾波器具有線性相位，則即頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)方法方法改進(jìn)

設(shè)計(jì)方法3．確定Ad(W)ejjd(W)在W[0,2)區(qū)間上的M+1個(gè)取樣點(diǎn)的值Hd[m]1．由Hd

(ejW

)確定FIRDF的類型和幅度函數(shù)Ad(W)2．根據(jù)類型確定線性相位FIR濾波器的相位d(W)d(W)=-0.5MW

+b(b=0或p/2)4

．對Hd[m]做M+1點(diǎn)IDFT，得到有限長因果序列h[k]例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)幅度響應(yīng)能逼近截止頻率Wc=5p/7rad的

高通濾波器Hd

(ejW

)的線性相位FIR濾波器，階數(shù)M=6。解：（1)由Hd

(ejW

)確定線性相位FIR濾波器類型：

高通濾波器可用I型或IV型，本題選用I型由Hd

(ejW

)確定幅度函數(shù)Ad(W)：(2)根據(jù)類型確定線性相位FIR濾波器的相位d(W)：

d(W)=-0.5MW=-3W

I型線性相位的d(W)為2p/74p/76p/78p/710p/712p/7W2pAd(W)●●●●●●●(4)求出單位脈沖序列：(3)確定Hd

(ejW

)在W[0,2)區(qū)間上的6+1=7個(gè)取樣點(diǎn)的值Hd[m]1例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)幅度響應(yīng)能逼近截止頻率Wc=5p/7rad的

高通濾波器Hd

(ejW

)的線性相位FIR濾波器，階數(shù)M=6。設(shè)計(jì)結(jié)果M=6,As=22.2dB●●●●●●●例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)幅度響應(yīng)能逼近截止頻率Wc=5p/7rad的

高通濾波器Hd

(ejW

)的線性相位FIR濾波器，階數(shù)M=6。As=18.3dB，阻帶衰減并未提高增加濾波器的階數(shù)，取M=30，設(shè)計(jì)結(jié)果如何提高阻帶衰減？阻帶波動未減小例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)幅度響應(yīng)能逼近截止頻率Wc=5p/7rad的

高通濾波器Hd

(ejW

)的線性相位FIR濾波器，階數(shù)M=6。頻率取樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器設(shè)計(jì)原理設(shè)計(jì)方法方法改進(jìn)為改善濾波器的幅度特性，提高阻帶衰減，可在過渡帶[Wp，Ws]之間設(shè)置幅度在0和1之間的過渡點(diǎn)。改進(jìn)方法：方法改進(jìn)原因分析：增加濾波器的階數(shù)不能提高所設(shè)計(jì)濾波器的阻帶衰減的原因是，從通帶到阻帶所給定的樣本點(diǎn)發(fā)生了從0到1的跳變。00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.200.20.40.60.811.2|A(W)|W/p例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)幅度響應(yīng)能逼近截止頻率Wc=5p/7rad的高通濾波器Hd

(ejW

)的線性相位FIR濾波器，階數(shù)M=30。試通過在過渡帶[Wp，Ws]之間設(shè)置幅度在0和1之間的過渡點(diǎn)提高阻帶衰減。方法改進(jìn)解：在過渡帶[Wp，Ws]之間設(shè)置1個(gè)過渡點(diǎn)00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.200.20.40.60.811.2W/p幅度值分別取0.5,0.38,0.28,0.18|A(W)|結(jié)果比較方法改進(jìn)無過渡點(diǎn)過渡點(diǎn)值0.5設(shè)置過渡點(diǎn)可減小旁瓣波動，過渡點(diǎn)值為0.28時(shí)旁瓣波動較小過渡點(diǎn)值0.28結(jié)果比較方法改進(jìn)過渡點(diǎn)值0.28過渡點(diǎn)值0.18設(shè)置過渡點(diǎn)可減小旁瓣波動，過渡點(diǎn)值為0.28時(shí)旁瓣波動較小過渡點(diǎn)值0.38結(jié)果比較過渡點(diǎn)值0.5設(shè)置過渡點(diǎn)可提高阻帶衰減，過渡點(diǎn)值為0.28時(shí)阻帶衰減較大方法改進(jìn)無過渡點(diǎn)過渡點(diǎn)值0.28過渡點(diǎn)值0.28過渡點(diǎn)值0.18如何獲得過渡點(diǎn)的最優(yōu)值？設(shè)置過渡點(diǎn)可提高阻帶衰減，過渡點(diǎn)值為0.28時(shí)阻帶衰減較大方法改進(jìn)過渡點(diǎn)值0.38可通過以下幾個(gè)方法尋找過渡點(diǎn)最優(yōu)值：1.遺傳算法（GeneticAlgorithm,GA）使用Matlab集成的GA函數(shù),應(yīng)用插值函數(shù)寫出濾波器頻域表達(dá)式（包含過渡點(diǎn)值），查找阻帶最大值，優(yōu)化目標(biāo)使其最大值最小。2.MATLA提供的優(yōu)化函數(shù)：fmincon，fminimax適用于局部優(yōu)化，所以當(dāng)給定的初值不同時(shí)，兩個(gè)函數(shù)得到的值也會不同，需要進(jìn)行校驗(yàn)。方法改進(jìn)利用MATLAB實(shí)現(xiàn)頻率取樣法

過渡點(diǎn)在過渡帶[Wp，Ws]之間設(shè)置過渡點(diǎn)幅度值1.根據(jù)濾波器頻率響應(yīng)確定取樣點(diǎn)上的值Hd[m]2.對Hd[m]做M+1點(diǎn)IDFT即可得到h[k]。分析:例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)Wp=0.6prad的I型線性相位高通數(shù)字濾波器。頻率取樣法無過渡點(diǎn)關(guān)鍵函數(shù)：求出采樣點(diǎn)對應(yīng)的頻率Wm=2*pi*m./(M+1);

設(shè)置為高通Ad=double([Wm>=Wp]);確定濾波器在取樣點(diǎn)上的值Hd=Ad.*exp(-j*0.5*M*Wm);

Hd=[Hdconj(fliplr(Hd(2:end)))];

由Hd共軛對稱特性確定在[M/2,M]范圍內(nèi)的值關(guān)鍵參數(shù)：M=32;Wp=0.6*pi;m=0:M/2;

M為濾波器階數(shù)，m為通帶上的采樣點(diǎn)解:%用頻率取樣法設(shè)計(jì)I型高通濾波器M=32;Wp=0.6*pi;m=0:M/2;%定義濾波器參數(shù)，m為通帶上的采樣點(diǎn)Wm=2*pi*m./(M+1);%采樣點(diǎn)對應(yīng)的頻率Ad=double([Wm>=Wp]);%設(shè)置為高通Hd=Ad.*exp(-j*0.5*M*Wm);%確定濾波器在取樣點(diǎn)上的值Hd=[Hdconj(fliplr(Hd(2:end)))];%由Hd的共軛對稱特性確定它在[M/2,M]范圍內(nèi)的值h=real(ifft(Hd));%離散傅里葉反變換并取實(shí)數(shù)部分w=linspace(0.1,pi,1000);H=freqz(h,[1],w);

%求頻率響應(yīng)plot(w/pi,(abs(H)),‘linewidth’,3);grid;%畫出幅度響應(yīng)xlabel('\Omega/\pi');ylabel('A(\Omega)');figure;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'linewidth',3);grid;%畫出增益響應(yīng)xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');取樣點(diǎn)示意例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)Wp=0.6prad的I型線性相位高通數(shù)字濾波器。例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)Wp=0.6prad的I型線性相位高通數(shù)字濾波器。幅度響應(yīng)M=32Ap=0.8473dB,As=19dB增益響應(yīng)例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)Wp=0.6prad的I型線性相位高通數(shù)字濾波器。設(shè)置一個(gè)過渡點(diǎn)后頻率取樣法設(shè)計(jì)的高通濾波器幅度函數(shù)。mtr=ceil(Wp*(M+1)/(2*pi));Ad(mtr)=0.28;%設(shè)置過渡點(diǎn)值為0.28增加兩條語句：分析:頻率取樣法有過渡點(diǎn)關(guān)鍵函數(shù)：求出采樣點(diǎn)對應(yīng)的頻率Wm=2*pi*m./(M+1);

求出通帶截頻對應(yīng)的采樣點(diǎn)，并向上取整mtr=ceil(Wp*(M+1)/(2*pi));

設(shè)置為高通Ad=double([Wm>=Wp]);確定濾波器在取樣點(diǎn)上的值Hd=Ad.*exp(-j*0.5*M*Wm);

Hd=[Hdconj(fliplr(Hd(2:end)))];

由Hd共軛對稱特性確定在[M/2,M]范圍內(nèi)的值關(guān)鍵參數(shù)：M=32;Wp=0.6*pi;m=0:M/2;

M為濾波器階數(shù)，m為通帶上的采樣點(diǎn)Ad(mtr)=0.28;根據(jù)實(shí)驗(yàn)選擇合適的過渡點(diǎn)值例：利用頻率取樣法設(shè)計(jì)Wp=0.6prad的I型線性相位高通數(shù)字濾波器。設(shè)置一個(gè)過渡點(diǎn)M=32;Wp=0.6*pi;m=0:M/2;%定義濾波器參數(shù)，m為通帶上的采樣點(diǎn)Wm=2*pi*m./(M+1);%采樣點(diǎn)對應(yīng)的頻率mtr=ceil(Wp*(M+1)/(2*pi));

%求出通帶截頻對應(yīng)的采樣點(diǎn)，并向上取整Ad=double([Wm>=Wp]);%設(shè)置為高通Ad(mtr)=0.28;

%設(shè)置過渡點(diǎn)Hd=Ad.*exp(-j*0.5*M*Wm);%確定濾波器在取樣點(diǎn)上的值Hd=[Hdconj(fliplr(Hd(2:end)))];%由Hd的共軛對稱特性確定它在[M/2,M]范圍的值h=real(ifft(Hd));%離散傅里葉反變換并取實(shí)數(shù)部分w=linspace(0.1,pi,1000);H=freqz(h,[1],w);%求頻率響應(yīng)plot(w/pi,(abs(H)),'linewidth',3);grid;%畫出幅度響應(yīng)xlabel('\Omega/\pi');ylabel('A(\Omega)');figure;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'linewidth',3);grid;%畫出增益響