圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例分析與臨界問題

圓周運(yùn)動(dòng)實(shí)例分析與臨界問題【教學(xué)要求】1．知道非勻速圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)；2．掌握豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的兩種典型情況，會(huì)分析其臨界條件。3．會(huì)運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)分析解決實(shí)際問題?！局R(shí)再現(xiàn)】一、火車轉(zhuǎn)彎問題由于火車的質(zhì)量比較大，火車拐彎時(shí)所需的向心力就很大．如果鐵軌內(nèi)外側(cè)一樣高，則外側(cè)輪緣所受的壓力很大，容易損壞；實(shí)用中使________略高于_________，從而_________和_________的合力提供火車拐彎時(shí)所需的向心力。鐵軌拐彎處半徑為R，內(nèi)外軌高度差為H，兩軌間距為L(zhǎng)，火車總質(zhì)量為M，則：(1)火車在拐彎處運(yùn)動(dòng)的“規(guī)定速度’’即內(nèi)外軌均不受壓的速度vp=_________；(2)若火車實(shí)際速度大于vp，則___軌將受到側(cè)向壓力；(3)若火車實(shí)際速度小于vp，則___軌將受到側(cè)向壓力。二、“水流星”問題繩系裝滿水的杯子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，即使到了最高點(diǎn)杯子中的水也不會(huì)流出，這是因?yàn)樗闹亓μ峁┧鰣A周運(yùn)動(dòng)的向心力．(1)杯子在最高點(diǎn)的最小速度vmin=____．(2)當(dāng)杯子在最高點(diǎn)速度為v>vmin時(shí)，杯子內(nèi)的水對(duì)杯底有壓力，若計(jì)算中求得杯子在最高點(diǎn)速度v<vmin，則杯子不能到達(dá)最高點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)一豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直平面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)，是典型的變速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，中學(xué)物理中只研究物體通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài)。此類問題多為討論最高點(diǎn)時(shí)的情況，下面具體分析幾種情況：1、“繩模型”——外軌、繩的約束（1）臨界條件：小球到最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力（或軌道的彈力）剛好等于零，小球的重力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，mg=mv臨2/rv臨=即v臨是小球能通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度（2）能通過最高點(diǎn)的條件：v≥v臨（3）不能通過最高點(diǎn)的條件v<v臨。這種情況實(shí)際上小球在到達(dá)最高點(diǎn)之前就脫離了軌道2、“桿模型”——管、桿的約束（1）臨界條件：由于輕桿或管壁的支撐，小球能到達(dá)最高點(diǎn)的條件是小球在最高點(diǎn)時(shí)速度可以為零。（2）當(dāng)0＜v＜時(shí)，桿對(duì)球的作用力表現(xiàn)為推力，推力大小為N=mg-m，N隨速度增大而減小。當(dāng)v＞時(shí)，桿對(duì)球的作用力表現(xiàn)為拉力，拉力的大小為T=m-mg(2)若qE>mg，則等效重力場(chǎng)的方向向上，等效重力加速度：g′=（Eq-mg）/m．在該等效重力場(chǎng)中小球軌跡“最高點(diǎn)”（實(shí)際為問題中的最低點(diǎn)——即A點(diǎn)）的臨界速度vB==(3)若qE=mg，則等效重力場(chǎng)消失，小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，能使小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的條件是vB>0。該類題的關(guān)鍵是求出等效重力mg′，找出等效重力場(chǎng)中的“等效最高點(diǎn)”——物理最高點(diǎn)，在“等效最高點(diǎn)”的速度v′=類型一水平面內(nèi)的臨界問題【例1】如圖所示，兩繩系一個(gè)質(zhì)量為m=0．1kg的小球。兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，上面繩長(zhǎng)L=2m，兩繩都拉直時(shí)與軸夾角分別為300和450。問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊?(g取10m/s2)導(dǎo)示:兩繩張緊時(shí)，小球受力如圖所示。當(dāng)ω由O逐漸增大時(shí)，ω可能出現(xiàn)兩個(gè)臨界值。(1)BC恰好拉直，但F2仍然為零，設(shè)此時(shí)的角速度為ω1，則有Fx=Fsin300=mω12Lsin300Fy=Fcos300-mg=O代入數(shù)據(jù)得，ω1=2.40rad/s(2)AC由拉緊轉(zhuǎn)為恰好拉直，但F1已為零，設(shè)此時(shí)的角速度ω2，則有Fx=F2sin450=mω22Lsin300Fy=F2cos450-mg=O代入數(shù)據(jù)得，ω2=3.16rad/s答案：2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s1、要會(huì)用極限分析法判定物體可能處的狀態(tài)，進(jìn)而正確受力分析。2、要注意確定物體做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心和半徑。3、只要物體做圓周運(yùn)動(dòng)．在任何一個(gè)位置和狀態(tài)．都滿足F供=F需建立該動(dòng)力關(guān)系方程是解決圓周運(yùn)動(dòng)問題的基本方法。類型二圓周運(yùn)動(dòng)中有關(guān)連接體的臨界問題【例2】如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，放有質(zhì)量均為m的小物體A、B，A、B間用細(xì)線沿半徑方向相連，它們到轉(zhuǎn)軸距離分別為RA=20cm，RB=30cm。A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：(1)當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，圓盤的角速度ω0；(2)當(dāng)A開始滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度ω；(3)當(dāng)即將滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，A、B狀態(tài)如何?導(dǎo)示:(1)當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí)，表明B與盤間的靜摩擦力已達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)圓盤角速度為ω0，則是kmg=mrBω02解得：=3.7rad/s(2)當(dāng)A開始滑動(dòng)時(shí)，表明A與盤的靜摩擦力也已達(dá)到最大，設(shè)此時(shí)盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω，線上拉力為FT則，對(duì)A：FfAm-FT=mrAω2對(duì)B：FfBm+FT=mrBω2又：FfAm=FfBm=kmg解得ω=4rad/s。(3)燒斷細(xì)線，A與盤間的靜摩擦力減小，繼續(xù)隨盤做半徑為rA=20cm的圓周運(yùn)動(dòng)，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做離心運(yùn)動(dòng)。答案：(1)3.7rad/s(2)4rad/s(3)A做圓周運(yùn)動(dòng)，B做離心運(yùn)動(dòng)1、利用極限分析法的“放大”思想分析臨界狀態(tài)。認(rèn)清臨界情景和條件，建立臨界關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵。2、圓周運(yùn)動(dòng)中的連接體加速度一般不同，所以，解決這類連接體的動(dòng)力學(xué)問題時(shí)一般用隔離法。但也可用整體法來求解。1．（07屆廣東省惠陽市綜合測(cè)試卷三）鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的，彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)軌高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上行駛的速率。下表中是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之相應(yīng)的軌道的高度差h。彎道半徑r/m660330220165132110內(nèi)外軌高度h/m0.050.100.150.200.250.30（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h與r關(guān)系的表達(dá)式，并求出當(dāng)r=400m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值。（2）鐵路建成后，火車通過彎道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)面壓力，又已知我國鐵路內(nèi)外軌的距離設(shè)計(jì)值為L(zhǎng)=1.435m，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，求出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v（路軌傾角α很小時(shí)，tgα≈sinα）。（3）隨著人們的生活節(jié)奏加快，對(duì)交通運(yùn)輸?shù)目旖萏岢隽烁叩囊?，為了提高運(yùn)輸能力，國家對(duì)鐵路不斷進(jìn)行提速改造，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需提高，請(qǐng)根據(jù)上述高處原理和上表分析，提速時(shí)應(yīng)采取怎樣的有效措施？（g取9.8m/s2）2．（東臺(tái)市2008屆第一次調(diào)研）一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，固定于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多）．在圓管中有兩個(gè)直徑略小于細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）．A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2．它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0．設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，重力加速度用g表示．（1）若此時(shí)B球恰好對(duì)軌道無壓力，題中相關(guān)物理量滿足何種關(guān)系？（2）若此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，題中各物理量滿足何種關(guān)系？（3）若m1=m2=m，試證明此時(shí)A、B兩小球作用于圓管的合力大小為6mg，方向豎直向下．答案：1、（1）0.075m；（2）v=15m；（3）提速時(shí)應(yīng)采取的有效措施是增大彎道半徑r和內(nèi)外軌高度差h；