高考數(shù)學(xué) 第一章 集合與常用邏輯用語知識總結(jié)（含解析）

第一章集合與常用邏輯用語單元總結(jié)1．判斷集合與元素的關(guān)系首先要明確集合中元素的特征，其次要看元素是否滿足集合中元素的公共屬性，滿足即為屬于關(guān)系，不滿足即為不屬于關(guān)系．2．集合的表示列舉法是把集合中的元素一一列舉出來，他適合元素較少或元素較多時但有一定規(guī)律性的情況；描述法把集合中的元素所具有的特征表示出來，具有抽象、概括、普遍性的特點；圖表示集合的好處在于易引起清晰地視覺形象，能直觀地表示集合中元素的構(gòu)成以及集合間的關(guān)系．3．判斷集合相等對于元素較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，若兩個集合中的元素完全相同，說明兩個集合相等；若為無限集，則需要同時說明,．4．有限集的子集個數(shù)若有限集合A中含有個元素，則集合A的子集的個數(shù)為，真子集的個數(shù)為，非空子集為，非空真子集為．5．空集空集是一個特殊且很重要的集合，它不含任何元素，在解題過程中容易被忽略，特別是在題設(shè)中隱含有空集參與的集合問題時，往往忽視空集的特殊性而導(dǎo)致錯誤．6．集合子集的寫法在寫集合的子集和真子集時，一般是按照集合中元素的個數(shù)的多少，遵循由少到多的原則，這樣做，這樣做可以做到不重不漏．需要特別注意的是，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．因此，在寫集合的子集和真子集的時候，不要遺漏空集．7．集合中字母參數(shù)范圍的求解對于已知集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題，一般是先觀察集合間元素的關(guān)系，在列方程（組）求解．另外，在處理含有參數(shù)的集合問題時，要注意對結(jié)果進(jìn)行檢驗，以滿足集合中元素的互異性．8．集合的基本運算口訣交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)只去一；全集U是大范圍，U中去掉A元素，剩余就成A補集．9．補集思想在解答一些較復(fù)雜問題時，如果從正面直接解決情況較多、較復(fù)雜，可以用“補集”思想，考慮問題的方面，再求結(jié)果的補集，從而可以較簡單的解答．10、命題的概念可以真假的語句叫做命題.一般可以用小寫英文字母表示.其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題.11.全稱量詞與全稱命題全稱量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱為全稱量詞.如“所有的”、“任意一個”、“每一個”、“一切”、“任給”等.全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.符號表示為，12.存在量詞與存在性命題存在量詞：表示個別或一部分的含義的量詞稱為存在量詞.如“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有的”,“有些”等.存在性命題：含有存在量詞的命題，叫做存在性命題.符號表示為，.13.充分條件、必要條件、充要條件對于“若p則q”形式的命題：①若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；②若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；③若既有pq，又有qp，記作pq，則p是q的充分必要條件（充要條件）.判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價法：由于原命題與它的逆否命題等價，否命題與逆命題等價，因此，如果原命題與逆命題真假不好判斷時，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題與否命題來判斷．即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運用等價法.(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件.14、對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定（1）對含有一個量詞的全稱命題的否定

全稱命題p：

，他的否定：

。全稱命題的否定是特稱命題。

（2）對含有一個量詞的特稱命題的否定

特稱命題p：

，他的否定：

。特稱命題的否定是全稱命題。類型1運用集合中元素的性質(zhì)解題考題1設(shè)P,Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合,若,則中元素的個數(shù)是【解析】因為，所以對分別取中的元素，一一列出集合中的元素．于是，依次分別取，并分別求和，注意到集合中元素的互異性，則，故共有8個元素．【答案】8考題2由實數(shù)所組成的集合中，最多含有元素的個數(shù)為（）A．2B．3C．4D．5【解析】本題主要考查集合中元素的個數(shù)問題，解決本題的關(guān)鍵是從集合中元素的互異性入手考慮，若是相同的元素，在集合中只能用同一個元素表示．由于，，因此當(dāng)時，這幾個實數(shù)均為0，當(dāng)時，它們分別是；當(dāng)時，它們分別是，均最多表示兩個不同的數(shù)．故集合中的元素最多有2個．【答案】A【題型小結(jié)】集合元素的性質(zhì)包括：確定性、互異性、無序性．確定性即集合中的元素必須是確定的，對于任何一個對象都能明確判斷出來它是或者不是所給集合中的元素；互異性即集合中任意兩個元素都是不相同的；無序性即集合與組成它的元素的順序無關(guān)．在解題時，常常因忽略集合中元素的性質(zhì)而出錯，所以要加強對集合中元素性質(zhì)的理解．類型2求子集的元素之和問題考題3已知集合，則集合的所有子集的元素之和為．【解析】集合的所有子集分別是，，，注意到中的每個元素出現(xiàn)在的4個子集之中，即在其和中出現(xiàn)4次．故所求之和為．【答案】36【探究】中的每個元素出現(xiàn)在的4個子集之中，這是在寫出的子集后觀察出來的結(jié)果，能否不寫出的子集也得出這樣的結(jié)論呢？注意到中的元素1，出現(xiàn)在的子集中，如果在這些子集中排除這個數(shù)1，剩下來的元素依次組成的集合集合，，也就是除元素1組成集合的子集，即有個．因此，利用“整體思想”可知，再求其和的過程中，1出現(xiàn)了4次，同理3出現(xiàn)了4次，5出現(xiàn)了4次．故所求的和為．推廣到一般，即已知，求的所有子集的元素之和．類似上面的推導(dǎo)可知，出現(xiàn)在中，即在其和中出現(xiàn)的次數(shù)等價于集合的子集個數(shù)（即個）．同理在其和中也出現(xiàn)了次，在其和中也出現(xiàn)了次，…,在其和中也出現(xiàn)了次,故所求的和為．【題型小結(jié)】在求解子集個數(shù)問題時，要注意問的是“子集的個數(shù)”還是“真子集的個數(shù)”或者是“非空真子集的個數(shù)”，同時關(guān)注子集應(yīng)滿足的相應(yīng)條件．類型3集合的運算及其應(yīng)用考題4若全集為，集合是的子集，定義與的運算：，則（）A．B．C．D．【解析】由題可知,,,從而，即【答案】B考題5（1）若全集,集合，，則=()A．B．C．D．（2）已知，，，，則有（）A．B．C．D．【解析】（1）集合都是點集，集合的關(guān)系式可以變?yōu)椋膸缀我饬x是直線上去掉點后所有的點的集合；集合表示直線外所有點的集合．可知，表示直線外所有點及直線上點的集合；，表示直線外所有點的集合．從而可得只有一個元素．（2）因為，且,所以．【答案】（1）B(2)A【題型小結(jié)】解答集合問題的一般步驟：先認(rèn)清集合元素的屬性，然后依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法求解．一般的規(guī)律表現(xiàn)為“若給定的集合是不等式的解集，則用數(shù)軸求解，特別要注意端點的取值；若給定的集合是則用數(shù)形結(jié)合法求解；若給定的集合是抽象集合，則用圖象法（Venn圖）求解”．類型4充分條件與必要條件的理解及判定考題6已知：，，：關(guān)于的方程有兩個小于1的正實根，試判斷是的什么條件．分析：判斷是的什么條件，要對和進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化，根據(jù)得出的結(jié)果作出相應(yīng)的判斷．解：若關(guān)于的方程有兩個小于1的正實根，則，即．設(shè)方程的兩根為，，則，，有，且．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有，解得．所以，，且，即有．反之，取，，那么方程變?yōu)?，．此時方程無實根，所以．綜上所述，是的必要不充分條件．解后反思：若，但，則是的充分不必要條件；若，但，則是的必要不充分條件；若，則是的充要條件；若，且，則是的既不充分也不必要條件．考題7設(shè)，則“”是“直線：與直線：平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：方法1：當(dāng)時，直線：與直線：顯然平行；若直線與直線平行，則有，解得或，經(jīng)檢驗，均符合．故是充分不必要條件．方法2：把命題“”看作集合，把由命題“直線：與直線：平行”得出的值的集合看作，易知是的真子集，所以是充分不必要條件．答案：A解后反思：一般地，如果條件甲為,條件乙為，當(dāng)且僅當(dāng)時，甲是乙的充分條件；當(dāng)且僅當(dāng)時，甲是乙的必要條件；當(dāng)且僅當(dāng)時，甲是乙的充要條件．類型5全稱命題與特稱命題考題8命題“對任意，都有”的否定為（）A．對任意，都有B．不存在，使得C．存在，使得D．存在，使得解析：題設(shè)命題為全稱命題，它的否定為特稱命題．需先變換量詞，再否定結(jié)論，即存在，使得．答案：D解后反思：寫含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的否定時，先變換量詞，再否定結(jié)論．考題9已知，，若同時滿足條件：①或；②，則的取值范圍是．解析：當(dāng)滿足條件①時，由，得要使或，必須使時，恒成立．而當(dāng)時，，不滿足條件，所以二次函數(shù)必須開口向下，也就是．