統(tǒng)考版2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案理含解析

高考復(fù)習(xí)資料PAGE1-/NUMPAGES1第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值【回顧知識點】一、必記2個知識點1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有①________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1<x2時，都有②________，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．圖象描述自左向右看圖象是③________自左向右看圖象是④________注：定義的兩種形式設(shè)x1，x2∈D且x1<x2，若eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0?(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，則f(x)為增函數(shù)；若eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則f(x)為減函數(shù)．(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是⑤________或⑥________，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的⑦_(dá)_______.(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)⑧________時，f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)；當(dāng)⑨________時，f(x)在區(qū)間D上為減函數(shù)．(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．若構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，否則為減函數(shù)．簡稱“同增異減”．2．函數(shù)的最值(1)函數(shù)最值的定義前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有⑩________；(2)存在x0∈I，使得?________.(1)對于任意的x∈I，都有?________；(2)存在x0∈I，使得?________.結(jié)論M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值(2)兩條結(jié)論：①閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值．當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時，最值一定在端點處取到；②區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值．二、必明2個易誤點1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是指函數(shù)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用并集符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“，”“和”．2．兩函數(shù)f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也為增(減)函數(shù)，但f(x)·g(x)，eq\f(1,fx)等的單調(diào)性與其正負(fù)有關(guān)，切不可盲目類比．【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)函數(shù)y＝|x|是R上的增函數(shù)．()(2)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)若函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．()(4)對于函數(shù)f(x)，x∈D，若對任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．()(5)已知函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(－x)在R上是減函數(shù)．()二、教材改編2．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)，x∈[2,6]，則f(x)的最大值為()A．3B．1C．2D．43．已知函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5,20]上具有單調(diào)性，則實數(shù)k的取值范圍是________________．三、易錯易混4．函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)的單調(diào)減區(qū)間為()A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)，(－1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)5．若函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，則實數(shù)a的值是________．四、走進(jìn)高考6．[2019·北京卷]下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝B．y＝2－xC．y＝D．y＝eq\f(1,x)eq\x(考點一)確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)[分層深化型]考向一：判斷函數(shù)的單調(diào)性1．判斷函數(shù)y＝eq\f(2x2－3,x)的單調(diào)性．考向二：利用函數(shù)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2．求函數(shù)f(x)＝－x2＋2|x|＋1的單調(diào)區(qū)間．考向三：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3．函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)悟·技法1.確定函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的三種常用方法(1)定義法：一般步驟：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③變形(通常是因式分解和配方)；④定號(即判斷f(x1)－f(x2)的正負(fù))；⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)．(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調(diào)性．(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性．2．熟記函數(shù)單調(diào)性的三個常用結(jié)論(1)若f(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(3)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的確定方法：若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.考點二求函數(shù)的最值(值域)[自主練透型]4．函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(8,3)C．－2D．25．函數(shù)y＝x－eq\r(x－1)的最小值為________．6．函數(shù)y＝eq\f(3x＋1,x－2)的值域為________．悟·技法求函數(shù)的最值(值域)的常用方法(1)單調(diào)性法：若所給函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值．(2)換元法：求形如y＝eq\r(ax＋b)＋(cx＋d)(ac≠0)的函數(shù)的值域或最值，常用代數(shù)換元法、三角換元法結(jié)合題目條件將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．(3)數(shù)形結(jié)合法：若函數(shù)題目解析式的幾何意義較明顯(如距離、斜率等)或函數(shù)圖象易作出，可用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域或最值．(4)有界性法：利用代數(shù)式的有界性(如x2≥0，eq\r(x)≥0,2x>0，－1≤sinx≤1等)確定函數(shù)的值域．(5)分離常數(shù)法：形如求y＝eq\f(cx＋d,ax＋b)(ac≠0)的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解．另外，基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)值域或最值也是常用方法.考點三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[分層深化型]考向一：比較函數(shù)值的大小[例1][2021·鄭州模擬]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，且函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，若a＝f(－1)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))，c＝f(20.3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<aB．a(chǎn)<c<bC．b<c<aD．a(chǎn)<b<c考向二：解不等式[例2]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))則不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是()A．(0，eq\r(2)－1)B．(－1，eq\r(2)＋1)C．(0，eq\r(2)＋1)D．(－1，eq\r(2)－1)考向三：求參數(shù)的值或取值范圍[例3][2021·黑龍江哈工大附中月考]若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))在其定義域上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(4,8)B．[4,8)C．(1，＋∞)D．(1,8)聽課筆記：悟·技法函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大?。?2)解不等式．利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；②需注意：若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.[同類練]——(著眼于觸類旁通)1．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2eq\f(7,9)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小順序為()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(c)<f(a)2．已知函數(shù)f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，則不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集為________．[變式練]——(著眼于舉一反三)3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,2a－logax，x>1，))對于任意x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(1,3]B．(1,3)C．(1,2]D．(1,2)4．[2021·廣州模擬]已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x∈[－2,1]時，f(x)＝x2－2x－4，則關(guān)于x的不等式f(x)<－1的解集為()A．(－∞，－1)B．(－∞，3)C．(－1,3)D．(－1，＋∞)[拓展練]——(著眼于遷移應(yīng)用)5．[2021·貴陽市高三摸底]函數(shù)y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＝－3B．a(chǎn)<3C．a(chǎn)≤－3D．a(chǎn)≥－36．已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值【回顧知識點】①f(x1)<f(x2)②f(x1)>f(x2)③上升的④下降的⑤增函數(shù)⑥減函數(shù)⑦單調(diào)區(qū)間⑧f′(x)>0⑨f′(x)<0⑩f(x)≤M?f(x0)＝M?f(x)≥M?f(x0)＝M【小題熱身鍛煉】1．參考答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．題目解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)在x∈[2,6]上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(2)＝2.故選C.參考答案：C3．題目解析：函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，對稱軸為直線x＝eq\f(k,8).當(dāng)eq\f(k,8)≤5，即k≤40時，f(x)在[5,20]上單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(k,8)≥20，即k≥160時，f(x)在[5,20]上單調(diào)遞減；綜上可知，k的取值范圍是(－∞，40]∪[160，＋∞)．參考答案：(－∞，40]∪[160，＋∞)4．題目解析：f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(－1＋x＋2,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x).又f(x)＝eq\f(2,x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，由函數(shù)的圖象平移可知f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(－1，＋∞)．故選C.參考答案：C5．題目解析：因為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，且函數(shù)f(x)的圖象對稱軸為直線x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.參考答案：－36．題目解析：A選項，eq\f(1,2)>0，所以冪函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．B選項，指數(shù)函數(shù)y＝2－x＝(eq\f(1,2))x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．C選項，因為0<eq\f(1,2)<1，所以對數(shù)函數(shù)y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．D選項，反比例函數(shù)y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．參考答案：A課堂考點突破考點一1．題目解析：因為f(x)＝eq\f(2x2－3,x)＝2x－eq\f(3,x)，且函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函數(shù)y＝2x和y＝－eq\f(3,x)在區(qū)間(－∞，0)上均為增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)函數(shù)的運算性質(zhì)，可得f(x)＝2x－eq\f(3,x)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)．同理，可得f(x)＝2x－eq\f(3,x)在區(qū)間(0，＋∞)上也是增函數(shù)．故函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2－3,x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上均為增函數(shù)．2．題目解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和(0,1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0]和(1，＋∞)．3．題目解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.設(shè)t＝x2－2x－8，則y＝lnt為增函數(shù)．要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間．∵函數(shù)t＝x2－2x－8在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．參考答案：D考點二4．題目解析：因為函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上是減函數(shù)，所以f(x)max＝f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).參考答案：A5．題目解析：令t＝eq\r(x－1)，則t≥0且x＝t2＋1，所以y＝t2＋1－t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，t≥0，所以當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，ymin＝eq\f(3,4).參考答案：eq\f(3,4)6．題目解析：y＝eq\f(3x＋1,x－2)＝eq\f(3x－2＋7,x－2)＝3＋eq\f(7,x－2)，因為eq\f(7,x－2)≠0，所以3＋eq\f(7,x－2)≠3，所以函數(shù)y＝eq\f(3x＋1,x－2)的值域為{y|y∈R且y≠3}．參考答案：{y|y∈R且y≠3}考點三例1題目解析：∵函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，∴c＝f(20.3)＝f(－20.3)．∵1<20.3<2，∴－1>－20.3>－2，即－1>－20.3>log2eq\f(1,4).∵函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，∴f(－1)<f(－20.3)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,4)))，即a<c<b.參考答案：B例2題目解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示．則不等式f(1－x2)>f(2x)等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,2x≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,2x>0，,1－x2>2x，))解得－1<x<eq\r(2)－1.參考答案：D例3題目解析：因為分段函數(shù)f(x)為增函數(shù)，所以需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥6－\f(a,2)，))解得4≤a<8.故選B項．參考答案：B同類練1．題目解析：a＝＝>>1，c＝log2eq\f(7,9)<0，所以c<b<a.因為f(x)＝2x－2－x＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上單調(diào)遞增，所以f(c)<f(b)<f(a)．參考答案：B2．題目解析：由已知得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1<x≤0，,－x2，0<x<1，))則f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\