2023屆四川省宜賓市高三三模數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆四川省宜賓市高三三模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合，根據(jù)集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系的定義依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)不等式的解集為，所以，又，所以，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.2．已知復(fù)數(shù)，且，其中a是實(shí)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解?故選:B.3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件定義判斷求解.【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录瑸楸厝皇录?，所以事?與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录粸楸厝皇录?，所以事?與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.4．已知p：，q：表示橢圓，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由橢圓方程的定義化簡命題，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，故：或，又p：，所以p是q的必要不充分條件，故選：C.5．已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，其中a是非零實(shí)數(shù)，則下列三角函數(shù)值恒為正的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)定義求出，然后逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)且a是非零實(shí)數(shù)，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義知，，，，選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，，因?yàn)榈恼?fù)不知，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，因?yàn)榈恼?fù)不知，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，因?yàn)榈恼?fù)不知，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則使得最小時(shí)的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】分與討論項(xiàng)的正負(fù)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，數(shù)列恒為負(fù)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列恒為正，所以當(dāng)時(shí)最小.故選:B.7．已知兩個(gè)平面，，兩條直線l，m，則下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若l，m是異面直線，，，，，則【答案】D【分析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系一一判斷求解.【詳解】對(duì)于A，若，，則或或與相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則與可以相交或平行，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以存在直線，因?yàn)閘，m是異面直線，所以l與相交，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，D正確，故選:D.8．若函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的極小值，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極小值為，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，函數(shù)在上無最小值，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)在上的極小值為，且，則，綜上所述，.故選：A.9．已知點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則向量在向量上的投影的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，其中，利用向量投影的定義以及三角恒等變換可求得向量在向量上的投影的最大值.【詳解】取點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，其中，所以，向量在向量上的投影為，若向量在向量取最大值，則，所以，，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故向量在向量上的投影的最大值是為.故選：A.10．已知曲線，直線，垂直于軸的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線的方程為，其中，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即為所求.【詳解】設(shè)直線的方程為，其中，由可得，即點(diǎn)，由可得，則，由圖象可知，，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，故選：D.11．如圖1，水平放置的正方體容器中注入了一定量的水，現(xiàn)將該正方體容器的一個(gè)頂點(diǎn)固定在地面上，使得DA，DB，DC三條棱與地面所成角均相等，此時(shí)水平面為HJK，如圖2所示．若在圖2中，則在圖1中（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用條件求出，再利用圖1和圖2中水的體積相等，求出，從而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镈A，DB，DC三條棱與地面所成角均相等，所以三棱錐為正三棱錐，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以，則圖1中，則，所以.故選：D.12．在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求與，故，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由余弦定理可得，所以.因?yàn)椋裕?，解?所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.二、填空題13．在等比數(shù)列中，，，則___________.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，所以，所以.故答案為：14．甲，乙，丙3名大學(xué)生分到A，B兩個(gè)學(xué)校實(shí)習(xí)，每個(gè)學(xué)校至少分到1人，則甲，乙二人在同一個(gè)學(xué)校實(shí)習(xí)的概率是______．【答案】【分析】利用捆綁法結(jié)合古典概型分析運(yùn)算.【詳解】每個(gè)學(xué)校至少分到1人，共有種不同的安排方法，甲，乙二人在同一個(gè)學(xué)校實(shí)習(xí)，共有種不同的安排方法，所以甲，乙二人在同一個(gè)學(xué)校實(shí)習(xí)的概率是.故答案為：.15．音樂是由不同頻率的聲音組成的．若音1（do）的音階頻率為f，則簡譜中七個(gè)音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中后一個(gè)音階頻率與前一個(gè)音階頻率的比是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階．上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則______．【答案】0【分析】根據(jù)條件求出和，再求的值.【詳解】相鄰兩個(gè)音的頻率比分別為，，，，，，由題意，，，.故答案為：0.16．已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過作漸近線的垂線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則的周長為______．【答案】18【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程，利用弦長公式求得，再結(jié)合雙曲線的定義運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：焦點(diǎn)在x軸上，，則雙曲線C：，漸近線，不妨設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，解得，可得，由雙曲線的定義可得，則，可得，所以的周長.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．三、解答題17．在中，角A，B，C所對(duì)邊分別記為a，b，c，．(1)證明：；(2)求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）利用二倍角公式，兩角和正弦公式化簡條件等式可得，由此證明結(jié)論；（2）結(jié)合余弦定理知，利用基本不等式求其最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，又，∴，∴，故．?）∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．∴的最小值為5．18．近幾年，在缺“芯”困局之下，國產(chǎn)替代的呼聲愈發(fā)高漲，在國家的政策扶持下，國產(chǎn)芯片廠商呈爆發(fā)式增長．為估計(jì)某地芯片企業(yè)的營業(yè)收入，隨機(jī)選取了10家芯片企業(yè)，統(tǒng)計(jì)了每家企業(yè)的研發(fā)投入（單位：億）和營業(yè)收入（單位：億），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910研發(fā)投入224681014161820營業(yè)收入1416303850607090102130并計(jì)算得，，，，．(1)求該地芯片企業(yè)的研發(fā)投入與營業(yè)收入的樣本相關(guān)系數(shù)r，并判斷這兩個(gè)變量的相關(guān)性強(qiáng)弱（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，r精確到0.01）；(2)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了該地所有芯片企業(yè)的研發(fā)投入，并得到所有芯片企業(yè)的研發(fā)投入總和為268億，已知芯片企業(yè)的研發(fā)投入與營業(yè)收入近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，．【答案】(1)，兩個(gè)變量線性相關(guān)程度較高(2)該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為億元．【分析】（1）由條件數(shù)據(jù)求，利用關(guān)系，，求值，代入公式求相關(guān)系數(shù)即可；（2）設(shè)該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為m，由條件，列關(guān)系式求即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，又，，，所以，，，所以，故兩個(gè)變量線性相關(guān)程度較高．（2）設(shè)該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為m，則，解得，所以該地芯片企業(yè)的總營業(yè)收入的估計(jì)值為億元．19．如圖（1），在邊長為的正三角形ABC中，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，將沿DE折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接AB，AC．(1)求四棱錐的體積；(2)在圖（2）中，過點(diǎn)E作平面EFG與平面ABD平行，分別交BC，AC于F，G．求證：平面ABC．【答案】(1)3(2)證明見解析【分析】（1）作DE中點(diǎn)O，連接AO，證明平面BCED，結(jié)合錐體體積公式求解；（2）根據(jù)面面平行性質(zhì)定理證明，，由此可證，根據(jù)線面垂直判定定理證明平面AOF，根據(jù)平面幾何結(jié)論證明，由此證明平面ABC．【詳解】（1）作DE中點(diǎn)O，連接AO，由已知，∴．因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以平面平面，又平面平面，平面，∴平面BCED．由已知，，梯形的高為，所以四棱錐的高為，梯形的面積，所以四棱錐的體積（2）∵平面平面ABD，平面平面，平面平面，∴，同理，又，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴F為BC中點(diǎn)，∴G為AC的中點(diǎn)，又，∴，∵平面，平面，∴，又∵，平面∴平面，平面，∴，∵點(diǎn)為直角三角形的斜邊的中點(diǎn)，∴，因?yàn)?，GE是公共邊，∴，∴，故，又又，平面，∴平面.20．已知點(diǎn)在軸右側(cè)，點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，直線、的斜率之積是．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若拋物線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，利用斜率公式結(jié)合已知條件化簡可得出點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)、，將拋物線的方程與曲線聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線的方程并化簡，即可求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)橹本€、的斜率之積是，所以，．整理可得，因此，點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）解：設(shè)、，由得，，可得，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，所以，直線的方程為，即，所以，直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1），討論與的大小關(guān)系即可求單調(diào)性；（2），則，分、與討論，求出函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，由得的增區(qū)間，，由得的減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，由得的增區(qū)間，，由得的減區(qū)間.（2）時(shí)，令,①若，在恒成立，所以在為增函數(shù)．,即，∴a無解.②若,在恒成立．∴，解得，∴.③當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)．.1）當(dāng)，即時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞增．，合題意；2）當(dāng)，即時(shí)，，∴，在上單調(diào)遞減．，合題意.綜上，a的范圍是．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線E的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，射線：與E交于A，B兩點(diǎn)，射線：與E交于C，D兩點(diǎn)．(1)求曲線E的極坐標(biāo)方程；(2)求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）把曲線E的參數(shù)方程化為普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐