高數(shù)無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)審斂法

高數(shù)課件無窮級數(shù)常數(shù)項級數(shù)審斂法營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621一、正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).這種級數(shù)非常重要，以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題都可歸結(jié)為正項級數(shù)的收斂性問題2.正項級數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群543566213.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù).第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621解由圖可知第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621重要參考級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù),調(diào)和級數(shù).第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法證明第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群543566214.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1)當(dāng)時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時,若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621證明由比較審斂法的推論,得證.第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621證明第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621收斂發(fā)散第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級數(shù).直接從級數(shù)本身的構(gòu)成——即通項來判定其斂散性兩點(diǎn)注意:第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621解第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621比值審斂法失效,改用比較審斂法第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621例5解由于不存在，檢比法失效而對由檢比法得收斂故由比較審斂法知收斂第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621例6解由檢比法得級數(shù)收斂級數(shù)發(fā)散第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621檢比法失效，但即后項大于前項故級數(shù)發(fā)散第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621級數(shù)收斂.第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621二、交錯級數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621證明第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621滿足收斂的兩個條件,定理證畢.第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621解原級數(shù)收斂.證明

un

單調(diào)減的方法？？？第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621三、絕對收斂與條件收斂定義:正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).證明第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621上定理的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.將正項級數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項級數(shù)的斂散性可得到如下定理第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621定理設(shè)有級數(shù)則絕對收斂發(fā)散可能絕對收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂如果發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定則必定發(fā)散這是因為檢比法與檢根法審定級數(shù)發(fā)散的原因是通項不趨向于0由第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621四、小結(jié)正項級數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.第34頁，共38頁，2023年，2月20日，星期四營口地區(qū)成人高等教育QQ群54356621練習(xí)題第35頁，共38頁，2023年，2月20日