高等量子力學(xué)基本原理

高等量子力學(xué)基本原理第1頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋原理經(jīng)典概念中1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2.有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。粒子和波的經(jīng)典觀點(diǎn):第2頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四經(jīng)典粒子的圖像在經(jīng)典物理中，粒子的概念抽象為：大小可忽略不計(jì)的具有質(zhì)量的對(duì)象，即所謂質(zhì)點(diǎn)。

為敘述的方便，可把粒子等同于質(zhì)點(diǎn)。要描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，我們需要知道（m,x,t）

經(jīng)典波動(dòng)的圖像波動(dòng)是一種集體運(yùn)動(dòng)，是由很多粒子參與步調(diào)統(tǒng)一的運(yùn)動(dòng)第3頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微觀粒子因具有波粒二象性，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述必有別于經(jīng)典力學(xué)對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述。這就要求在描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)，要有創(chuàng)新的概念和思想來(lái)統(tǒng)一波和粒子這樣兩個(gè)在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像?！?/p>

描述自由粒子的波是具有確定能量和動(dòng)量的平面波deBroglie波★如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為：描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)函數(shù)。微觀粒子狀態(tài)的量子描述第4頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(3)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(2)

描寫(xiě)的是什么樣的波呢？三個(gè)問(wèn)題？第5頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)入射電子流強(qiáng)度小，開(kāi)始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;(2)入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.單電子衍射實(shí)驗(yàn)(1)“亮紋”處是到達(dá)該處的電子數(shù)多，或講電子到達(dá)該處的概率大?！鞍导y”處是到達(dá)該處的電子數(shù)少，或講電子到達(dá)該處的概率小。(2)衍射圖樣由電子波動(dòng)性引起

“亮紋”處表示該處波強(qiáng)度|Ψ(r)|2大，

“暗紋”處表示該處波強(qiáng)度|Ψ(r)|2小，所以，電子到達(dá)屏上各處的概率與波的強(qiáng)度成正比.單電子衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析第6頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)降低光的強(qiáng)度，發(fā)現(xiàn)光竟然也是由一個(gè)一個(gè)的粒子--“光子”組成的。當(dāng)光強(qiáng)極弱時(shí)，我們可完成所謂單光子干涉實(shí)驗(yàn)，每個(gè)光子對(duì)應(yīng)一個(gè)隨機(jī)的位置，很多單光子事件累積起來(lái)呈現(xiàn)干涉條紋。

光雙縫干涉實(shí)驗(yàn)第7頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四▲兩種錯(cuò)誤的看法（1）波由粒子組成如水波，聲波，由物質(zhì)的分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上仍可呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

波由粒子組成的看法僅注意到了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。第8頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長(zhǎng)）平面波的迭加。平面波描寫(xiě)自由粒子，其特點(diǎn)是充滿整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。

實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如一個(gè)原子內(nèi)的電子，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1。 物質(zhì)波包的觀點(diǎn)夸大了波動(dòng)性一面，而抹殺了粒子性一面，也具有片面性。第9頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四爭(zhēng)論：微觀粒子是波還是粒子薛定諤：不管是電子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都只是波動(dòng)表面的泡沫，它的本質(zhì)上是波，都可以用波動(dòng)方程來(lái)表達(dá)基本的運(yùn)動(dòng)方式。海森堡：物理世界的基本現(xiàn)象是離散性，或者說(shuō)不連續(xù)性。從原子光譜到康普頓散射，從光電現(xiàn)象到原子中電子在能級(jí)間的躍遷，都顯示出大自然是不連續(xù)的。薛定諤：粒子就像一個(gè)椰子一樣，如果你敲開(kāi)那堅(jiān)硬的外殼，你會(huì)發(fā)現(xiàn)那里面是波動(dòng)的柔軟的水汁。電子無(wú)疑是由正弦波組成的，但這種波在各個(gè)尺度上伸展都不大，可以看成是一個(gè)‘波包’。當(dāng)這種‘波包’做為一個(gè)整體前進(jìn)時(shí)，它看起來(lái)就像是一個(gè)粒子?？墒潜举|(zhì)上它還是波。第10頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？“

電子既不是粒子也不是波

”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波;“

電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。1.有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;2．有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定位置和速度。經(jīng)典概念中粒子意味著

1.實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;2．干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。經(jīng)典概念中波意味著

第11頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四衍射實(shí)驗(yàn)所揭示的電子的波動(dòng)性是：許多電子在同一個(gè)實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個(gè)電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

波函數(shù)正是為了描述粒子的這種行為而引進(jìn)的，在此基礎(chǔ)上，Born提出了波函數(shù)意義的統(tǒng)計(jì)解釋。

r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度

正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目，

正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，

正比于電子出現(xiàn)在

r

點(diǎn)附近的概率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上

▲玻恩的解釋?zhuān)?882～1970）1954年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)第12頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

據(jù)此，描寫(xiě)粒子的波可以認(rèn)為是概率波，反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)Ψ(r)有時(shí)也稱(chēng)為概率波幅.

這就是首先由Born

提出的波函數(shù)的概率解釋?zhuān)橇孔恿W(xué)的基本原理。假設(shè)衍射波用Ψ(r)

描述，衍射花紋的強(qiáng)度則用|Ψ(r)|2

描述。|Ψ(r)|2

的意義是代表電子出現(xiàn)在r

點(diǎn)附近概率的大小.確切的說(shuō)

|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz

表示在

r

點(diǎn)處，體積元ΔxΔyΔz中找到粒子的概率。波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在這點(diǎn)找到粒子的概率成比例.

波函數(shù)模的平方與粒子時(shí)刻在處附近出現(xiàn)的概率成正比。第13頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

（1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫(xiě)粒子的波是概率波”，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)（基本原理）。知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的概率，以后的討論進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說(shuō)波函數(shù)描寫(xiě)體系的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱(chēng)狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)一般滿足連續(xù)性、有限性、單值性。小結(jié)第14頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

態(tài)的迭加原理是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)，它的正確性也依賴(lài)于實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。

1.若是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)

2.當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的概率是，并且§2態(tài)疊加原理第15頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四經(jīng)典粒子和量子粒子以及經(jīng)典波與概率波的區(qū)別1、經(jīng)典粒子和量子粒子

相同：局域，不連續(xù)

不同

經(jīng)典：確定的軌道、坐標(biāo)、動(dòng)量等

量子：無(wú)確定的軌道，概率

2、經(jīng)典波和概率波

相同：均滿足疊加原理

（1）疊加

不同

（3）數(shù)學(xué)表達(dá)式（2）振幅變化

經(jīng)典：各觀測(cè)時(shí)同時(shí)出現(xiàn)于中

量子：各觀測(cè)時(shí)不能同時(shí)出現(xiàn)于中

經(jīng)典：不同狀態(tài)

量子：同一狀態(tài)

經(jīng)典：實(shí)函數(shù)（可測(cè)察量）

量子：復(fù)函數(shù)（不可測(cè)察量）

第16頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§3體系狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，量子力學(xué)最核心的問(wèn)題就是要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。第17頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Schrodinger的方程一般表達(dá)式薛定諤方程知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。第18頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)不顯含時(shí)間t時(shí),體系的能量是守恒量對(duì)于一個(gè)粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特殊情況,有定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程：本征能量值譜：本征函數(shù)系：本征波函數(shù)任意狀態(tài)

第19頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四判別定態(tài)的方法：（1）能量是否為確定值（2）概率與時(shí)間無(wú)關(guān)（3）概率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)非定態(tài)：一個(gè)粒子不是處于能量本征態(tài)，而是若干個(gè)能量本征態(tài)的疊加測(cè)量粒子的能量時(shí),求和中所包含的能量本征值En都有可能出現(xiàn),出現(xiàn)的概率為稱(chēng)這種態(tài)為非定態(tài)第20頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4力學(xué)量用厄米算符表示

經(jīng)典力學(xué)中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)總用坐標(biāo)、動(dòng)量、角動(dòng)量、自旋、動(dòng)能、勢(shì)能、轉(zhuǎn)動(dòng)能等力學(xué)量描述。量子力學(xué)引入了波函數(shù)這樣一個(gè)基本概念，以概率的特征全面地描述了微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。但并不能作為量子力學(xué)中的力學(xué)量。于是，又引入了一個(gè)重要的基本概念——算符，用它表示量子力學(xué)中的力學(xué)量。

第21頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四什么是算符?算符代表對(duì)波函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算或變換的符號(hào)1）du/dx=v

，

d/dx

就是算符，其作用是對(duì)函數(shù)u微商，故稱(chēng)為微商算符。2）xu=v，

x

也是算符。它對(duì)u作用是使u變成v。由于算符只是一種運(yùn)算符號(hào)，所以它單獨(dú)存在是沒(méi)有意義的，僅當(dāng)它作用于波函數(shù)上，對(duì)波函數(shù)做相應(yīng)的運(yùn)算才有意義，例如：u=v表示

把函數(shù)u

變成

v，

就是這種變換的算符。（一）算符的定義與構(gòu)造第22頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Ex.動(dòng)能算符角動(dòng)量算符

若量子力學(xué)中的力學(xué)量

在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示該力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示中將動(dòng)量換成動(dòng)量算符而得出。

構(gòu)造力學(xué)量算符的規(guī)則：第23頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

（1）以上所述力學(xué)量算符規(guī)則是對(duì)坐標(biāo)表象而言；對(duì)于動(dòng)量表象，表示力學(xué)量F的算符是將經(jīng)典表示中的坐標(biāo)變量換成坐標(biāo)算符（2）對(duì)于只在量子理論中才有，而在經(jīng)典力學(xué)中沒(méi)有的力學(xué)量，其算符如何構(gòu)造的問(wèn)題另外討論。即

注意第24頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四力學(xué)量算符坐標(biāo)表象動(dòng)量表象坐標(biāo)算符動(dòng)量算符力學(xué)量算符其中第25頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(二）算符的本征方程、本征值與本征函數(shù)算符作用在函數(shù)上，等于一常數(shù)乘以此稱(chēng)為算符的本征方程即

稱(chēng)為其本征值，為其本征函數(shù)。

如果算符表示力學(xué)量，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)中時(shí)，力學(xué)量

有確定值，這個(gè)值就是屬于該本征態(tài)的本征值。

該假設(shè)給出了表示力學(xué)量的算符與該力學(xué)量的關(guān)系

第26頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四算符?之厄密共軛算符?+定義:可以證明:(?

?)+=?+

?+

(?

??...)+=...?+

?+

?+（1）復(fù)共軛算符與厄密共軛算符算符?的復(fù)共軛算符?*就是把?表達(dá)式中的所有量換成復(fù)共軛.例如:坐標(biāo)表象中可以證明：(三)厄密算符第27頁(yè)，共34頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(2)厄密算符1.定義:滿足下列關(guān)系的算符稱(chēng)為厄密算符.2.性質(zhì)性質(zhì)I:兩個(gè)厄密算符之和仍是厄密算符。即若