2023學(xué)年完整公開(kāi)課版空間插值

空間插值地理信息系統(tǒng)應(yīng)用GeographicInformationSystemApplication目錄CONTENTS整體內(nèi)插逐點(diǎn)內(nèi)插法局部分塊內(nèi)插020304空間插值類(lèi)型01空間插值類(lèi)型01空間插值類(lèi)型分類(lèi)依據(jù)類(lèi)型是否考慮空間自相關(guān)確定性插值和地統(tǒng)計(jì)插值數(shù)據(jù)分布規(guī)律基于規(guī)則分布數(shù)據(jù)的內(nèi)插方法、基于不規(guī)則分布的內(nèi)插方法和適合于等高線數(shù)據(jù)的內(nèi)插方法等內(nèi)插函數(shù)與參考點(diǎn)的關(guān)系曲面通過(guò)所有采樣點(diǎn)的純二維插值方法和曲面不通過(guò)參考點(diǎn)的曲面擬合插值方法內(nèi)插曲面的數(shù)學(xué)性質(zhì)多項(xiàng)式內(nèi)插、樣條內(nèi)插、最小二乘配置內(nèi)插等對(duì)地形曲面理解克里金法、多層曲面疊加法、加權(quán)平均法、分形內(nèi)插等內(nèi)插點(diǎn)的分布范圍內(nèi)插點(diǎn)的分布范圍空間數(shù)據(jù)插值(spatialdatainterpolation)進(jìn)行數(shù)據(jù)外推的基本方法空間內(nèi)插的根本是對(duì)空間曲面特征的認(rèn)識(shí)和理解，具體到方法上等3方面的問(wèn)題內(nèi)插點(diǎn)鄰域范圍的確定權(quán)值確定方法（自相關(guān)程度）內(nèi)插函數(shù)的選擇整體內(nèi)插02整體內(nèi)插整體內(nèi)插在整個(gè)區(qū)域用一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)表達(dá)地形曲面整體內(nèi)插函數(shù)通常是高次多項(xiàng)式，要求地形采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于或等于多項(xiàng)式的系數(shù)數(shù)目當(dāng)?shù)匦尾蓸狱c(diǎn)的個(gè)數(shù)與多項(xiàng)式的系數(shù)相等時(shí)，這時(shí)能得到一個(gè)唯一的解，多項(xiàng)式通過(guò)所有的地形采樣點(diǎn)，屬純二維插值而當(dāng)采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)多于多項(xiàng)式系數(shù)時(shí)，沒(méi)有唯一解，一般采用最小二乘法求解即要求多項(xiàng)式曲面與地形采樣點(diǎn)之間差值的平方和為最小，屬曲面擬合插值或趨勢(shì)面插值整體內(nèi)插從數(shù)學(xué)角度講，任何復(fù)雜的曲面都可用多項(xiàng)式在任意精度上逼近，但由于以下原因，在空間內(nèi)插中整體內(nèi)插并不常用整體內(nèi)插函數(shù)保凸性較差不容易得到穩(wěn)定的數(shù)值解多項(xiàng)式系數(shù)物理意義不明顯解算速度慢且對(duì)計(jì)算機(jī)容量要求較高不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征局部分塊內(nèi)插03局部分塊內(nèi)插空間分塊內(nèi)插將地形區(qū)域按一定的方法進(jìn)行分塊，對(duì)每一塊根據(jù)地形曲面特征單獨(dú)進(jìn)行曲面擬合和高程內(nèi)插區(qū)域分塊簡(jiǎn)化了地形的曲面形態(tài)，每一塊都可用不同的曲面進(jìn)行表達(dá)一般的可按地形結(jié)構(gòu)線或規(guī)則區(qū)域進(jìn)行分塊，而分塊大小取決于地形的復(fù)雜程度、地形采樣點(diǎn)的密度和分布為保證相鄰分塊之間的平滑連接相鄰分塊之間要有一定寬度的重疊，另外一種分塊之間的平滑連接是對(duì)內(nèi)插曲面補(bǔ)充一定的連續(xù)性條件局部分塊內(nèi)插不同的分塊單元可用不同的內(nèi)插函數(shù)常用的內(nèi)插數(shù)函數(shù)有線性內(nèi)插雙線性內(nèi)插多項(xiàng)式內(nèi)插樣條函數(shù)多層曲面疊加法等局部分塊內(nèi)插線性內(nèi)插和雙線性內(nèi)插線性內(nèi)插如H=ax+by+c的多項(xiàng)式它將分塊單元內(nèi)部的地形曲面視為平面雙線性內(nèi)插在線性多項(xiàng)式中增加了交叉項(xiàng)xy，線性內(nèi)插則變成雙線性內(nèi)插函數(shù)H=ax+by+cxy+d局部分塊內(nèi)插線性內(nèi)插和雙線性內(nèi)插線性內(nèi)插函數(shù)有3個(gè)未知數(shù)，需要3個(gè)采樣點(diǎn)才能惟一確定雙線性內(nèi)插函數(shù)有4個(gè)未知數(shù)，需要4個(gè)已知點(diǎn)物理意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單是基于TIN正方形格網(wǎng)分布采樣數(shù)據(jù)的DEM內(nèi)插分析應(yīng)用的最常用的方法局部分塊內(nèi)插二元樣條函數(shù)內(nèi)插樣條曲面可假想為將一張具有彈性的薄板壓定在各個(gè)采樣點(diǎn)上，而其他的地方自由彎曲從數(shù)學(xué)上講，就是一個(gè)分段的低次多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)一般不超過(guò)三階通過(guò)樣條函數(shù)，可以獲取在各個(gè)采樣點(diǎn)上具有最小曲率的擬合曲面與整體內(nèi)插函數(shù)相比，樣條函數(shù)不但保留了局部地形的細(xì)部特征，還能獲取連續(xù)光滑的DEM。具有較好的保凸性和逼真性，同時(shí)也有良好的平滑性局部分塊內(nèi)插Coons曲面與Geomap曲面Coons曲面是基于任意四邊形的曲面擬合方法但Coons曲面僅考慮了曲邊四邊形的邊界曲線，而沒(méi)有考慮曲面內(nèi)部的信息，對(duì)于恰當(dāng)描述地貌形態(tài)有一定缺陷可用于由地形線圍成的地貌形態(tài)單元Geomap曲面是Bezier曲面在不規(guī)則格網(wǎng)劃分上的推廣形式本質(zhì)上，Coons和Geomap屬于同一類(lèi)曲面擬合問(wèn)題Geomap曲面在地形上應(yīng)用具有與Coons曲面類(lèi)似的不足局部分塊內(nèi)插多層曲面疊加內(nèi)插多層曲面疊加法認(rèn)為任何一個(gè)規(guī)則或不規(guī)則的連續(xù)曲面都可看成由若干個(gè)簡(jiǎn)單的曲面來(lái)疊加逼近在每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)上建立一個(gè)曲面然后在垂直方向上將各個(gè)曲面按一定比例進(jìn)行疊加形成一張整體連續(xù)的曲面，曲面嚴(yán)格通過(guò)每一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)多層曲面疊加法的核心是簡(jiǎn)單曲面的設(shè)計(jì)，也稱(chēng)為核函數(shù)錐面雙曲面三次曲面高斯曲面（以高斯曲線為母線的旋轉(zhuǎn)曲面）Authur法呂言法Wild法等已經(jīng)發(fā)展了許多種核函數(shù)的設(shè)計(jì)方法，如局部分塊內(nèi)插最小二乘配置最小二乘配置一種基于統(tǒng)計(jì)的內(nèi)插和測(cè)量數(shù)據(jù)處理方法，它認(rèn)為一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)一般由3部分構(gòu)成，即趨勢(shì)、信號(hào)和誤差包括最小二乘內(nèi)插最小二乘濾波最小二乘推估核心問(wèn)題是如何建立數(shù)據(jù)之間的協(xié)方差矩陣就是如何解決信號(hào)的相關(guān)性規(guī)律問(wèn)題換句話說(shuō)在連續(xù)表面內(nèi)插中最小二乘配置認(rèn)為數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相關(guān)規(guī)律僅與距離有關(guān)距離越近，協(xié)方差越大，超過(guò)一定的距離，協(xié)方差趨于零克里金法局部分塊內(nèi)插克里金法（Kriging）與最小二乘配置比較類(lèi)似，也是將變量的空間變化分為趨勢(shì)、信號(hào)與誤差3個(gè)部分，求解過(guò)程也比較相似不同之處在于所采用的相關(guān)性計(jì)算方法上最小二乘采用協(xié)方差矩陣克里金法采用半方差，或者稱(chēng)為半變異函數(shù)克里金法的內(nèi)蘊(yùn)假設(shè)條件是區(qū)域變量的可變性和穩(wěn)定性也就說(shuō)，一旦趨勢(shì)確定后，變量在一定范圍內(nèi)的隨機(jī)變化是同性變化，位置之間的差異僅僅是位置間距離的函數(shù)通過(guò)不同數(shù)據(jù)點(diǎn)之間半方差的計(jì)算，可作出半方差隨距離的變化的半方差圖從而用來(lái)估計(jì)未采樣點(diǎn)和采樣點(diǎn)之間的相關(guān)系數(shù)，進(jìn)而取出內(nèi)差點(diǎn)的高程局部分塊內(nèi)插有限元內(nèi)插有限元內(nèi)插是以離散方式處理連續(xù)變化量的數(shù)學(xué)方法其基本思路是將地形曲面分割成有限個(gè)單元的集合，單元形狀可為三角形、正方形等節(jié)點(diǎn)相鄰單元邊界的端點(diǎn)（頂點(diǎn)、幾何中心、邊的中心）自由度每個(gè)插值條件就是一個(gè)自由度有限元通常采用分片光滑的奇次樣條函數(shù)作為單元的內(nèi)插函數(shù)（也稱(chēng)為基函數(shù)），有限元的解是一系列基函數(shù)的線性組合逐點(diǎn)內(nèi)插法04逐點(diǎn)內(nèi)插法逐點(diǎn)內(nèi)插是以內(nèi)插點(diǎn)為中心，確定一個(gè)鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的高程值本質(zhì)上是局部?jī)?nèi)插，但與局部分塊內(nèi)插有所不同，局部?jī)?nèi)插中的分塊范圍一經(jīng)確定在整個(gè)內(nèi)插過(guò)程中其大小、形狀和位置是不變的，凡是落在該塊中的內(nèi)插點(diǎn)，都用該塊中的內(nèi)插函數(shù)進(jìn)行計(jì)算而逐點(diǎn)內(nèi)插法的鄰域范圍大小、形狀、位置乃至采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)隨內(nèi)插點(diǎn)的位置而變動(dòng)，一套數(shù)據(jù)只用來(lái)進(jìn)行一個(gè)內(nèi)插點(diǎn)的計(jì)算逐點(diǎn)內(nèi)插法