《投資學》第四章投資組合的選擇

課外分享（北大宣傳片）除非你親自弄清楚什么是你真正想做的事，否則你會做一些對你沒有太大意義的事，你的生命就會變得十分悲慘，正因為你過得很悲慘，你就必須從戲院、酗酒、閱讀數(shù)不盡的書籍、做社會改革的工作以及其他事情來讓自己分心。你一旦發(fā)現(xiàn)真正愛做的事，你就是一個自由的人了，然后你就會有能力、信心和主動創(chuàng)造的力量。但是如果你不知道自己真正愛做的是什么，你只好去做人人羨慕的律師、政客或這個那個，于是你就不會快樂，因為那份職業(yè)會變成毀滅你自己及其他人的工具。1第一頁，共四十六頁。課外分享弄清楚我們想做什么是世上最困難的事情之一。你必須親自去發(fā)現(xiàn)什么是你愛做的事，不要從適應社會的角度來選擇職業(yè)，因為那將使你永遠無法弄清楚自己到底愛做什么。發(fā)現(xiàn)你真正愛做的事，需要很深的專注力及洞察力。你心中有愛，讓愛自己去運作，它就會帶來正確的行動，因為愛是永遠不會追求成就的，它也永遠不會陷入模仿中。2第二頁，共四十六頁。第四章投資組合的選擇確定最優(yōu)風險資產(chǎn)組合最優(yōu)資本配置決策3第三頁，共四十六頁。例題假定投資者選擇了A和B兩個公司的股票作為組合對象，已知數(shù)據(jù)為：

E(rA)=0.25A=0.08;E(rB)=0.18B=0.04如果A和B兩個公司的股票的相關系數(shù)ρ=1

，（1）求出該投資者所有投資組合的收益與風險。（2）并在直角坐標系中畫出收益與風險的關系圖。（用描點法畫圖）E(rP)=x1E(rA)+

x2E(rB)=0.25x1+0.18x2P=x1A+x2B

=0.08x1+0.04x2

x1=0.5x1=0.2x1=0x1=1

x2=0.5

x2=0.8

x2=1

x2=0

代入求解畫圖即可如果A和B兩個公司的股票的相關系數(shù)ρ=-1，ρ=0，ρ=0.5？可以分別得到一條曲線，如下圖4第四頁，共四十六頁。（給定ρ值后變換A、B兩種資產(chǎn)的投資比例）

E(rp)25A（資金全部投在A上）

ρ=-1ρ=0.5ρ=-0.5ρ=118B（資金全部投在B上）

048不同ρ下收益與風險的關系幾何表達5第五頁，共四十六頁。

機會集合線：由某些給定資產(chǎn)所構建的全部資產(chǎn)組合的集合。如上圖中連接兩個資產(chǎn)組合的連線，即為相關系數(shù)不同的兩種風險資產(chǎn)組合的可行集。從圖中可以看出：1、兩個資產(chǎn)構成的資產(chǎn)組合的可行集是一條通過兩個資產(chǎn)點的曲線，隨著相關系數(shù)的不斷變小，這條曲線越是往左彎曲，彎曲程度越來越高；2、當集合線為直線（ρ=1

），表示分散化沒有益處，不能降低風險；3、當ρ=-1，曲線彎曲程度達到極限成一條折線，資產(chǎn)組合存在一個完全對沖的機會，此時從分散化中獲得最多利益，構造了一個無風險資產(chǎn)組合；4、當集合線為拋物線（-1<ρ<1

），表示從分散化中獲得更多利益，可以有效降低風險，且存在最小的方差組合（在圖中找到，也可通過數(shù)學推導出來）風險資產(chǎn)組合的可行集6第六頁，共四十六頁。

E(r)B（股票）

N

A（債券）

（思考：如果是多個資產(chǎn)呢？N點怎么求？）

風險資產(chǎn)組合可行集的一般式7第七頁，共四十六頁。

E(r)

B（股票）

N

A（債券）

曲線NB為資產(chǎn)組合有效集（ρ=-1或ρ=1時資產(chǎn)組合有效集？）

風險資產(chǎn)組合有效集8第八頁，共四十六頁。在進行實際的投資選擇時，由于兩種資產(chǎn)的特征值以及兩者之間的相關系數(shù)已定，所以這個資產(chǎn)組合的有效集就確定了。那么，在這一已確定的有效集上的哪一個點是投資者想要的呢？（最優(yōu)點？）顯然，投資者要根據(jù)自己的風險厭惡程度，需用到效用無差異曲線。9第九頁，共四十六頁。

E(r)

I1I2I3

無差異曲線圖10第十頁，共四十六頁。

E(r)I1B（股票）I2

NI3

A（債券)I2點是適合投資者風險偏好的最大效用的風險資產(chǎn)組合。（此時，該組合中A和B的構成比例即確定）

最優(yōu)風險資產(chǎn)組合的確定11第十一頁，共四十六頁。一、確定最優(yōu)風險資產(chǎn)組合

——證券選擇決策

確定最優(yōu)風險資產(chǎn)組合:決定每種風險資產(chǎn)占風險資產(chǎn)組合的比例，從而達到投資效用最大化。

（非系統(tǒng)風險可以通過多種風險資產(chǎn)的組合來降低，因此投資者會根據(jù)資產(chǎn)的期望收益與方差情況，來選擇組合中的風險資產(chǎn)，并考慮自己的風險厭惡程度）12第十二頁，共四十六頁。假定投資組合中的股票與債券的相關系數(shù)ρ為確定值求該組合方差的最小值？（即圖中N點）公式推導如下：由p2=w2DD2+w2EE2+2wDwEDEρDE，用(1-wD)來替代wE，有：

p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρDE

求其一階導數(shù)，令其等于0，有wmin(D)=[E2-DEρDE]/[D2+E2-2DEρDE]補充：最小方差的風險資產(chǎn)組合的

比例推導13第十三頁，共四十六頁。令2D=10，2E=15，ρDE=-0.5代入上式，有wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]=(21.123)/(37.246)=0.567wE=1-0.567=0.433

這個最小化方差的資產(chǎn)組合的方差為2min=(0.567210)+(0.433215)+(20.5670.433-6.123)=3.02該組合為相關系數(shù)確定下的最小方差的資產(chǎn)組合。這一組合的期望收益為：E(rp)=0.56710%+0.43320%=14.33%舉例14第十四頁，共四十六頁。15第十五頁，共四十六頁。托賓的收益風險理論托賓(JamesTobin)是著名的經(jīng)濟學家，1955-56年，發(fā)現(xiàn)馬克維茨假定投資者在構筑資產(chǎn)組合時是在風險資產(chǎn)的范圍內(nèi)選擇，沒有考慮無風險資產(chǎn)和現(xiàn)金，而實際上投資者會在持有風險資產(chǎn)的同時持有國庫券等低風險資產(chǎn)和現(xiàn)金的。他指出，投資者首先在風險資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)這兩種資產(chǎn)之間進行選擇，他還得出：各種風險資產(chǎn)在風險資產(chǎn)組合中的比例與風險資產(chǎn)組合占全部投資的比例無關。即投資者的投資決策包括兩個決策，資產(chǎn)配置和證券的選擇。16第十六頁，共四十六頁。二、最優(yōu)資本配置決策投資者首先面臨的最基本的決策資本配置決策：在投資組合中，決定風險資產(chǎn)占多大比重，無風險資產(chǎn)占多大的比重。最優(yōu)資本配置決策？17第十七頁，共四十六頁。假定某風險資產(chǎn)p的期望收益率為E(rP)=9%，標準差為P=21%，無風險資產(chǎn)F的收益率為rf=3%，令投資者在風險資產(chǎn)P的投資比例為y，無風險資產(chǎn)的投資比例則為1-y，則整個資產(chǎn)組合C的期望收益率為：E(rc)=yE(rP)+(1-y)rf=3%+y(9%-3%)=3+6y整個資產(chǎn)組合C的標準差為：σC=yσp=21y資本配置線的形成18第十八頁，共四十六頁。根據(jù)σC=yσp=21y，有y=c/21，將y代入E(rc)=3+6y得到E(rc)=3+(9-3)/21σc從式中可看出，此資產(chǎn)組合的期望收益率是標準差的線性函數(shù)。可以畫出有關E(rc)和σc的幾何圖形資本配置線的形成19第十九頁，共四十六頁。

E(rc)

E(rp)=9%p

rf=3%F

021%σc資本配置線（CAL）的形成圖20第二十頁，共四十六頁。線段FP稱為資本配置線：表示所有可能選擇的無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)構成的資產(chǎn)組合。（不同的y值決定線段上的不同位置）實質(zhì)上也是無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)構成的資產(chǎn)組合的可行集，也是其有效集。圖中看出：斜率為正，即(9-3）/21；斜率越大，單位風險的風險溢價越大，越優(yōu)；其中(9-3）為風險溢價。兩個極端點：如果選擇將全部投資投向風險資產(chǎn)（y=1），期望收益與標準差就是E(rp)=9%，P=21%；如果選擇將全部投資投向無風險資產(chǎn)(y=0)，期望收益與標準差就是E(rf)=3%，f=0如果y=0.5，可以在直線上表示為F與P的中點。

資本配置線的意義21第二十一頁，共四十六頁。根據(jù)公式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σC=yσp

將兩式變形約去y，得E(rc)=rf+[E(rp)-rf]σC

σp無風險資產(chǎn)（組合）和風險資產(chǎn)（組合）所構成的資產(chǎn)組合的CAL也一樣。（風險資產(chǎn)組合點是風險資產(chǎn)組合有效集上的一點）資本配置線的數(shù)學表達式22第二十二頁，共四十六頁。

E(rc)

E(rp)p

rfFσc

0σp

資本配置線（CAL）的幾何圖23第二十三頁，共四十六頁。

E(rp)=9%p

(rf)=3%F

021%最優(yōu)資本配置的確定確定最優(yōu)資本配置的程序是首先確定資本配置線，然后沿這條線找到與效用無差異曲線相切的點。24第二十四頁，共四十六頁。在給定可行集中（資本配置線上）選出一個最優(yōu)組合（y值），從而使效用最大化。(y是投資者在風險資產(chǎn)P的投資比例)公式推導如下：根據(jù)前面的公式，我們可以得到以下兩式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σ2C=y2σ2p

將兩式代入效用函數(shù)，有

U=E(rc)-0.5A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.5Ay2σ2p

求一階導數(shù)U’=E(rp)-rf—Ayσ2p

令導數(shù)為0，有：y*=[E(rp)-rf]/Aσ2p

最優(yōu)資本配置推導25第二十五頁，共四十六頁。還用上述例子中的數(shù)據(jù)。假定風險厭惡系數(shù)A為3，求此投資者的最優(yōu)配置y*的值。有

y*=[9%-3%]/(3×21%2)=45.35%根據(jù)結(jié)果，應將資金的45.35%投資于風險資產(chǎn)，54.65%投資于無風險資產(chǎn)。整個資產(chǎn)組合的E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72%C=45.35%21%=9.52%最優(yōu)資本配置舉例26第二十六頁，共四十六頁。資本配置習題假設你管理一種預期回報率為18%和標準差為28%的風險資產(chǎn)組合基金；市場短期國債利率為8%。你的一委托人決定將其資產(chǎn)組合的70%投入到你的基金中，另外30%投入到短期國債：1、那么你的委托人的資產(chǎn)組合的預期收益率與標準差各是多少？2、在預期收益與標準差的圖表上畫出你的資產(chǎn)組合的資本配置線(CAL)，并求出其斜率？3、在該資本配置線上標出你的委托人的位置。4、假設你的委托人風險厭惡程度為A=3.5，則a.應將占總投資額的多少（y）投入到你的風險資產(chǎn)組合中，以達到其最佳資產(chǎn)組合？b.你的委托人的最佳資產(chǎn)組合的預期回報率與標準差各是多少？27第二十七頁，共四十六頁。28第二十八頁，共四十六頁。

E(r)

I1B（股票）I2

NI3

A（債券)I2點是適合投資者風險偏好的最大效用的風險資產(chǎn)組合

總結(jié)：最優(yōu)風險資產(chǎn)組合的確定29第二十九頁，共四十六頁。

E(rp)=9%p

(rf)=3%F

021%總結(jié)：最優(yōu)資本配置的確定30第三十頁，共四十六頁。

三種資產(chǎn)的最優(yōu)資產(chǎn)組合

——股票+債券+國庫券

如果投資者投資組合中有三種資產(chǎn)：兩種風險資產(chǎn)，一是債券A，一是股票B；一種是年收益率為5%的無風險短期國庫券。有關數(shù)據(jù)如下：31第三十一頁，共四十六頁。

E(r)

B（股票）

N

A（債券）

風險資產(chǎn)組合有效集32第三十二頁，共四十六頁。

E(rc)

E(rp)p

rfFσc

0σp

無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)構成的資產(chǎn)組合的有效集

33第三十三頁，共四十六頁。DABECAL(A)CAL(B)5813510152025由于B的斜率大于A，B更優(yōu)。最高的CAL線？因此，兩條線相切時，切點所對應的組合P最優(yōu)。34第三十四頁，共四十六頁。

資本配置線

E(rp)

p

rf

資產(chǎn)組合可行集

0最優(yōu)投資組合的確定

35第三十五頁，共四十六頁。三種資產(chǎn)最優(yōu)值的公式推導

目的是找出wA，wB值，以獲得斜率最大的資本配置線（最高的CAL線）因此，目標函數(shù)就是斜率，即SP，Sp=[E(rp)-rf]/σp

約束條件：只要滿足權重和=1，即wA+wB

=1

，有

MaxSp=[E(rp)-rf]/σp將兩種風險資產(chǎn)組合的期望收益和標準差[E(rp)=wA

E(rA)+wB

E(rB)]

P2=wA

2A2+wB

2B2+2wA

wB

ABρAB代入目標函數(shù)，有MaxSp=[wAE(rA)+wB

E(rB)-rf]/用1-wA代替wB，對其求導，令導數(shù)為零，有wA={[E(rA)-rf]B2-[E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}/[E(rA)-rf]B2+[E(rB)-rf]A2-[E(rA)-rf+E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}36第三十六頁，共四十六頁。最優(yōu)值的計算把上例中的數(shù)據(jù)代入，得到的解為這個最優(yōu)資產(chǎn)組合的資本配置線的斜率為SP=(11-5)/14.2=0.4237第三十七頁，共四十六頁。最優(yōu)值的計算（2）上一章我們得出了給定風險資產(chǎn)組合情況下最優(yōu)資本配置的解，即根據(jù)投資者風險厭惡系數(shù)計算投資于風險資產(chǎn)組合的最優(yōu)比例。即

y*=[E(rp)-rf]/Aσ2p，假定A=4，代入上式求得，投資者投資于風險資產(chǎn)組合的投資比例為74.39%，因此，

投資者將把其財富的74.39%投資于風險資產(chǎn)組合P，25.61%投資于國庫券38第三十八頁，共四十六頁。最優(yōu)值的計算（3）之前求得風險資產(chǎn)組合P由40%債券和60%股票構成。則在債券上的財富百分比例是：ywA=.40×.7439=.2976,or29.76%.

在股票上的財富百分比例是：

ywB=.60×.7439=.4463or44.63%.

（25.61%投資于國庫券）39第三十九頁，共四十六頁。最優(yōu)總資產(chǎn)組合比例圖PortfolioP74%40第四十頁，共四十六頁。

E資本配置線

最優(yōu)資本配置P

最優(yōu)風險資產(chǎn)組合C

rf機會集合線