臨界力與臨界應(yīng)力

11.2臨界力與臨界應(yīng)力11.2臨界力與臨界應(yīng)力11.2臨界力與臨界應(yīng)力一、細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力計(jì)算公式——?dú)W拉公式從上面的討論可知，壓桿在臨界力作用下，其直線形狀的平衡將由穩(wěn)定的平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡，此時(shí)，即使撤去側(cè)向干擾力，壓桿仍然將保持在微彎狀態(tài)下的平衡。但是，如果壓力超過(guò)這個(gè)臨界力，彎曲變形將明顯增大。所以，上面使壓桿在微彎狀態(tài)下保持平衡的最小的軸向壓力，即為壓桿的臨界壓力。當(dāng)壓桿受臨界壓力作用時(shí)，只要受到微小的干擾力，就不能維持原有的平衡狀態(tài)，所以對(duì)受壓桿件，必須將其承受的軸向壓力控制在臨界壓力之內(nèi)，才能維持原有的平衡狀態(tài)而不失穩(wěn)。下面介紹不同約束條件下壓桿的臨界力計(jì)算公式。11.2臨界力與臨界應(yīng)力1．兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)桿的臨界力計(jì)算公式——?dú)W拉公式設(shè)兩端鉸支長(zhǎng)度為l的細(xì)長(zhǎng)桿，在軸向壓力FN的作用下保持微彎平衡狀態(tài)，如圖所示?？梢宰C明，兩端鉸支壓桿在臨界力作用下的撓曲線為半波正弦曲線。（A為桿中點(diǎn)的撓度）11.2臨界力與臨界應(yīng)力推導(dǎo)表明，當(dāng)壓桿段微彎曲線為半個(gè)正弦波，壓桿處于微彎平衡狀態(tài)時(shí)，其臨界力的大小為上式即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)桿的臨界壓力計(jì)算公式，稱(chēng)為歐拉公式。從歐拉公式可以看出，細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力FNcr與壓桿的彎曲剛度成正比，而與桿長(zhǎng)l的平方成反比。應(yīng)當(dāng)指出，若桿兩端為球鉸支座，它對(duì)端截面任何方向的轉(zhuǎn)角均沒(méi)有限制，此時(shí)式（11－1）中的I

應(yīng)為橫截面的最小慣性矩。11.2臨界力與臨界應(yīng)力2．其它約束情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力桿端為其它約束的細(xì)長(zhǎng)壓桿，由于桿端的約束不同，其約束力、臨界狀態(tài)下?lián)锨€的形態(tài)也就不同，臨界壓力也就不同，但是分析方法與求解過(guò)程基本相似，所以其臨界力計(jì)算公式可參考前面的方法導(dǎo)出，或采用類(lèi)比的方法得到。關(guān)鍵是找出這些壓桿受臨界力作用時(shí)其撓曲線中半波正弦曲線的長(zhǎng)度。11.2臨界力與臨界應(yīng)力經(jīng)驗(yàn)表明，具有相同撓曲線形狀的壓桿，其臨界力計(jì)算公式也相同。于是，可將兩端鉸支約束壓桿的撓曲線形狀取為基本情況，而將其它桿端約束條件下壓桿的撓曲線形狀與之進(jìn)行對(duì)比，從而得到相應(yīng)桿端約束條件下壓桿臨界力的計(jì)算公式。為此，可將歐拉公式寫(xiě)成統(tǒng)一的形式

式中μl稱(chēng)為折算長(zhǎng)度，表示將桿端約束條件不同的壓桿計(jì)算長(zhǎng)度l折算成兩端鉸支壓桿的長(zhǎng)度，μ稱(chēng)為長(zhǎng)度系數(shù)。11.2臨界力與臨界應(yīng)力如圖所示，為一端固定一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線形狀，其中有部分長(zhǎng)度為0.7l的撓曲線形狀，是一半波正弦曲線，即當(dāng)將其原長(zhǎng)度乘以0.7的長(zhǎng)度系數(shù)后，就與長(zhǎng)度為0.7l的兩端鉸支壓桿相同。所以，一端固定一端鉸支的細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)等于0.7。11.2臨界力與臨界應(yīng)力如圖所示，為兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線形狀，其中有部分長(zhǎng)度為0.5l的撓曲線形狀，是一半波正弦曲線，即當(dāng)將其原長(zhǎng)度乘以0.5的長(zhǎng)度系數(shù)后，就與長(zhǎng)度為0.5l的兩端鉸支壓桿相同。所以，兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)等于0.5。11.2臨界力與臨界應(yīng)力如圖所示，為一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿的撓曲線形狀，其長(zhǎng)度為2l的撓曲線形狀，形成一半波正弦曲線，即當(dāng)將其原長(zhǎng)度乘以2的長(zhǎng)度系數(shù)后，就與長(zhǎng)度為2l的兩端鉸支壓桿相同。所以，一端固定一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)等于2。為方便查用,將幾種不同桿端約束情況下的長(zhǎng)度系數(shù)μ值列于表11－1中11.2臨界力與臨界應(yīng)力例11-1

如圖所示,一端固定另一端自由的細(xì)長(zhǎng)壓桿,其桿長(zhǎng)l=2m,截面形狀為矩形,b=20mm、h=45mm，材料的彈性模量E=200GPa。試計(jì)算該壓桿的臨界力。若把截面改為b=h=30mm，而保持長(zhǎng)度不變，則該壓桿的臨界力又為多大？11.2臨界力與臨界應(yīng)力解：（1）計(jì)算截面的慣性矩由于橫截面Iy為最小，由前述可知，該壓桿必在xz平面內(nèi)（左右）失穩(wěn)，故計(jì)算慣性矩（2）計(jì)算臨界力查表11-1得μ=2，因此臨界力為

11.2臨界力與臨界應(yīng)力（3）當(dāng)截面改為b=h=30mm時(shí)，壓桿的慣性矩為代入歐拉公式，可得從以上兩種情況分析，其橫截面面積相等，支承條件也相同，但是，計(jì)算得到的臨界壓力后者比前者大許多?？梢?jiàn)在材料用量相同的條件下，選擇恰當(dāng)?shù)慕孛嫘问娇梢蕴岣呒?xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力。

11.2臨界力與臨界應(yīng)力二、歐拉公式的適用范圍1．臨界應(yīng)力和柔度前面導(dǎo)出了計(jì)算壓桿臨界力的歐拉公式，當(dāng)壓桿在臨界力FNcr

作用下處于直線狀態(tài)的平衡時(shí)，其橫截面上的壓應(yīng)力等于臨界力FNcr

除以橫截面面積A，稱(chēng)為臨界應(yīng)力，用σcr表示，即將歐拉公式（11—2）代入上式，得11.2臨界力與臨界應(yīng)力若將壓桿的慣性矩I寫(xiě)成式中i為壓桿橫截面的慣性半徑

于是臨界應(yīng)力可寫(xiě)為上式（11－3）為計(jì)算壓桿臨界應(yīng)力的歐拉公式，式中λ稱(chēng)為壓桿的柔度（也稱(chēng)長(zhǎng)細(xì)比）。11.2臨界力與臨界應(yīng)力柔度λ是一個(gè)無(wú)量綱的量，其大小與壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)μ、桿長(zhǎng)l及慣性半徑i有關(guān)。由于壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)μ決定于壓桿的支承情況，慣性半徑i決定于截面的形狀與尺寸，所以，從物理意義上看，柔度λ綜合地反映了壓桿的長(zhǎng)度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對(duì)臨界力的影響。從式（11—3）還可以看出，如果壓桿的柔度值越大，則其臨界應(yīng)力越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。11.2臨界力與臨界應(yīng)力2．歐拉公式的適用范圍歐拉公式是根據(jù)撓曲線近似微分方程導(dǎo)出的,而應(yīng)用此微分方程時(shí),材料必須服從虎克定理。因此,歐拉公式的適用范圍應(yīng)當(dāng)是壓桿的臨界應(yīng)力σcr不超過(guò)材料的比例極限σp，即即有若設(shè)λP為壓桿的臨界應(yīng)力達(dá)到材料的比例極限時(shí)的柔度值,即11.2臨界力與臨界應(yīng)力則歐拉公式的適用范圍為：

λ≥λP

上式（11－5）表明，當(dāng)壓桿的柔度不小于λP時(shí),才可以應(yīng)用歐拉公式計(jì)算臨界力或臨界應(yīng)力。這類(lèi)壓桿稱(chēng)為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿,歐拉公式只適用于較細(xì)長(zhǎng)的大柔度桿.從式（11—4）可知,λP

的值取決于材料性質(zhì),不同的材料都有自己的E值和σp值，所以,不同材料制成的壓桿,其λP也不同。例如Q235鋼，σp=200MPa，E=200GPa，由式（11—4）即可求得，λP=100。11.2臨界力與臨界應(yīng)力三、中長(zhǎng)桿的臨界力計(jì)算——經(jīng)驗(yàn)公式、臨界應(yīng)力總圖1．中長(zhǎng)桿的臨界力計(jì)算——經(jīng)驗(yàn)公式上面指出，歐拉公式只適用于較細(xì)長(zhǎng)的大柔度桿，即臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限（處于彈性穩(wěn)定狀態(tài)）。當(dāng)臨界應(yīng)力超過(guò)比例極限時(shí)，材料處于彈塑性階段，此類(lèi)壓桿的穩(wěn)定屬于彈塑性穩(wěn)定（非彈性穩(wěn)定）問(wèn)題，此時(shí)，歐拉公式不再適用。對(duì)這類(lèi)壓桿各國(guó)大都采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界力或者臨界應(yīng)力，經(jīng)驗(yàn)公式是在試驗(yàn)和實(shí)踐資料的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)分析、歸納而得到的。各國(guó)采用的經(jīng)驗(yàn)公式多以本國(guó)的試驗(yàn)為依據(jù)，因此計(jì)算不盡相同。我國(guó)比較常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式等，本書(shū)只介紹直線公式，其表達(dá)式為：σcr

=a–bλ

（11—6）式中a和b是與材料有關(guān)的常數(shù)，其單位為MPa。一些常用材料的a、b值可見(jiàn)表11－2。11.2臨界力與臨界應(yīng)力表11-2幾種常用材料的a、b值11.2臨界力與臨界應(yīng)力應(yīng)當(dāng)指出，經(jīng)驗(yàn)公式（11—6）也有其適用范圍，它要求臨界應(yīng)力不超過(guò)材料的受壓極限應(yīng)力。這是因?yàn)楫?dāng)臨界應(yīng)力達(dá)到材料的受壓極限應(yīng)力時(shí)，壓桿已因?yàn)閺?qiáng)度不足而破壞。因此，對(duì)于由塑性材料制成的壓桿，其臨界應(yīng)力不允許超過(guò)材料的屈服應(yīng)力σs，即σcr=a–bλ≤σs或：令：得：λ≥λS

式中λS表示當(dāng)臨界應(yīng)力等于材料的屈服點(diǎn)應(yīng)力σs時(shí)壓桿的柔度值。與λP一樣，它也是一個(gè)與材料的性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可見(jiàn)表11－2。11.2臨界力與臨界應(yīng)力因此，直線經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為

λS≤λ＜λP

計(jì)算時(shí),一般把柔度值介于λS與λP之間的壓桿稱(chēng)為中長(zhǎng)桿或中柔度桿，而把柔度小于λS的壓桿稱(chēng)為短粗桿或小柔度桿。對(duì)于柔度小于λS的短粗桿或小柔度桿，其破壞則是因?yàn)椴牧系目箟簭?qiáng)度不足而造成的，如果將這類(lèi)壓桿也按照穩(wěn)定問(wèn)題進(jìn)行處理，則對(duì)塑性材料制成的壓桿來(lái)說(shuō)，可取臨界應(yīng)力σcr=σs。11.2臨界力與臨界應(yīng)力2．臨界應(yīng)力總圖綜上所述，壓桿按照其柔度的不同，可以分為三類(lèi)，并分別由不同的計(jì)算公式計(jì)算其臨界應(yīng)力。當(dāng)λ≥λP時(shí)，壓桿為細(xì)長(zhǎng)桿（大柔度桿），其臨界應(yīng)力用歐拉公式（11—3）來(lái)計(jì)算：當(dāng)λS≤λ＜λP時(shí)，壓桿為中長(zhǎng)桿（中柔度桿），其臨界應(yīng)力用經(jīng)驗(yàn)公式（11—6）來(lái)計(jì)算；

σcr

=a–bλλ＜λS

時(shí)，壓桿為短粗桿（小柔度桿），其臨界應(yīng)力等于桿受壓時(shí)的極限應(yīng)力。σcr=σs11.2臨界力與臨界應(yīng)力如果把上述壓桿的臨界應(yīng)力根據(jù)其柔度不同而分別計(jì)算的情況，用一個(gè)簡(jiǎn)圖來(lái)表示，該圖形就稱(chēng)為壓桿的臨界應(yīng)力總圖。圖11-11即為某塑性材料的臨界應(yīng)力總圖。11.2臨界力與臨界應(yīng)力例11—2

圖11-12所示為兩端鉸支的圓形截面受壓桿，用Q235鋼制成，材料的彈性模量E=200Gpa，屈服點(diǎn)應(yīng)力σs=235MPa，直徑d=40mm，試分別計(jì)算下面三種情況下壓桿的臨界力：（1）桿長(zhǎng)l=1.2m；（2）桿長(zhǎng)l=0.8m；（3）桿長(zhǎng)l=0.5m。11.2臨界力與臨界應(yīng)力解：（1）計(jì)算桿長(zhǎng)l=1.2m時(shí)壓桿的臨界力。圓形截面桿的慣性半徑為壓桿兩端鉸支，因此μ=1柔度所以是大柔度桿，應(yīng)適用歐拉公式計(jì)算臨界力11.2臨界力與臨界應(yīng)力