高二學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽橢圓綜合測(cè)試題

高二學(xué)科素養(yǎng)能力競(jìng)賽橢圓綜合測(cè)試題第I卷（選擇題）一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知橢圓，其左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足，若的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率的值，可得的關(guān)系，由三角形的內(nèi)切圓的面積，求出內(nèi)切圓的半徑，再由及余弦定理可得的值，進(jìn)而求出的面積，再由，可得的值，進(jìn)而求出橢圓的方程．【詳解】由離心率，得，即．因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，解得，由橢圓的定義可知，在中，，由余弦定理得，即，∴，∴，可得，所以，而，所以可得，解得，，由，得，所以該橢圓的方程為．故選：A．2．過(guò)橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得半焦距c，設(shè)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出的關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，焦點(diǎn)，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A3．已知橢圓（），橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，且滿足，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由，得，根據(jù)表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，可得選項(xiàng)【詳解】解：由已知得，，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，所以表示橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，故選：B．4．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫(huà)圖，利用相似于，和相似于列方程求解即可.【詳解】如圖，由題意得??，設(shè)，因?yàn)檩S，所以，所以，得①，又由，中點(diǎn)為，得，得②，由①②得，則.故選：A.5．是橢圓的左焦點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為定點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，將求兩線段之和的最小值轉(zhuǎn)變?yōu)閮删€段之差的絕對(duì)值的最大值即可.【詳解】橢圓的，如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，則；；由圖形知，當(dāng)在直線上時(shí)，，當(dāng)不在直線上時(shí)，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最小值的最小值為．故選：C．6．已知是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9【答案】A【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和橢圓定義列方程組可解.【詳解】因?yàn)?，所以，又記，則，②2-①整理得：，所以故選：A7．在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，角的平分線與P點(diǎn)的軌跡相交于I點(diǎn)．存在非零實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)A的直線與C點(diǎn)的軌跡相交于MN兩點(diǎn)．若的面積為，則原點(diǎn)O到直線MN的距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由條件可知點(diǎn)C的軌跡為橢圓，容易驗(yàn)證直線MN不垂直與x軸，設(shè)，直線MN的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)的面積為求出t，繼而可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，由，知G為的重心，則G的坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)P在角的平分線上，又角的平分線與P點(diǎn)的軌跡相交于I點(diǎn)，因此點(diǎn)I為的內(nèi)心，如圖，設(shè)角平分線交于，則，故，由為角平分線可得，而，故，故即,因此，點(diǎn)C的軌跡是橢圓，點(diǎn)C的軌跡方程為．若直線MN垂直于x軸，則，此時(shí)，不符合題意；所以直線MN不垂直于x軸，設(shè)直線MN的方程為：，，由，得：，可知：，所以，所以，解得，所以直線MN的方程為：，則原點(diǎn)O到直線MN的距離為：．故選：C．8．如圖，已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的中位線、線段的中垂線、橢圓的定義對(duì)轉(zhuǎn)化，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示，通過(guò)P點(diǎn)在第一想象的范圍，求出范圍.【詳解】如圖所示，點(diǎn)在軸右邊，因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，所以．由中位線定理可得．設(shè)點(diǎn)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得，同理可得，所以，故，因?yàn)椋?，所以，故，所以．因?yàn)?，所以．故的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義、直線和橢圓的關(guān)系、三角形中位線和線段的中垂線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．在橢圓C：（a＞b＞0）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，稱(chēng)此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A．該圓由法國(guó)數(shù)學(xué)家G．Monge（1745－1818）最新發(fā)現(xiàn)．若橢圓C：＋y2＝1，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．橢圓C外切矩形面積的最大值為4B．點(diǎn)P（x，y）為蒙日?qǐng)AΓ上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)∠PMN最大值時(shí)，tan∠PMN＝2＋C．過(guò)橢圓C的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)P，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)Q，若kOP，kOQ存在，則kOPkOQ為定值D．若橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P和原點(diǎn)作直線l與蒙日?qǐng)A相交于M，N，且，則【答案】BCD【分析】先求得橢圓的蒙日?qǐng)A，然后根據(jù)外切矩形的面積、兩角和的正切公式、根與系數(shù)關(guān)系、判別式、向量運(yùn)算的指數(shù)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意可知，圓Γ：x2＋y2＝3，對(duì)于選項(xiàng)A，橢圓C的一個(gè)外切矩形為可設(shè)為ABCD，則其面積S＝4|OA||OB|sin∠AOB＝6sin∠AOB，所以矩形ABCD的面積最大值為6≠，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)PM與圓相切且切點(diǎn)在軸下方時(shí)∠PMN最大，，則tan∠PMO＝，且∠NMO＝45°，所以tan∠PMN＝，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)PQ的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋m，P（x1，y1），Q（x2，y2），由聯(lián)立消去y可得，（k2＋1）x2＋2kmx＋m2－3＝0，則x1＋x2＝－，x1x2＝，則y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）＝，當(dāng)直線PQ與橢圓相切時(shí)，由聯(lián)立消去y可得，（2k2＋1）x2＋4kmx＋2m2－2＝0，＝16k2m2－4（2k2＋1）（2m2－2）＝0，化簡(jiǎn)得2k2＋1＝m2，所以kOPkOQ＝＝－，當(dāng)PQ的斜率不存在時(shí)，則或，此時(shí)kOPkOQ＝－，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝2a＝，則|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝8，所以PF12＋PF22＝5，由，所以①，②，則①＋②，可得，解得，所以|PM||PN|＝（r－|PO|）（r＋|PO|）＝r2－|PO|2＝3－＝，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】直線和圓錐曲線相切，可利判別式為零列方程，建立參數(shù)間的關(guān)系式來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解.直線和圓錐曲線相交的問(wèn)題，聯(lián)立直線的方程和圓錐曲線的方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，這個(gè)步驟需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，需要不斷的訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力.10．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)（不在x軸上），外接圓的圓心為H，內(nèi)切圓的圓心為I，直線PI交x軸于點(diǎn)M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則（

）A．存在，使得成立B．的最小值為C．過(guò)點(diǎn)I的直線l斜率為，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N，直線ON的斜率為，則D．橢圓C的離心率【答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，進(jìn)而判斷出與共線，最后判斷答案；對(duì)B，根據(jù)，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義與基本不等式求得答案；對(duì)C，利用“點(diǎn)差法”即可求得答案；對(duì)D，運(yùn)用角平分線定理即可求得答案.【詳解】對(duì)A，表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以與共線，而.A正確；對(duì)B，，取線段的中點(diǎn)G，則HG⊥，由平面向量數(shù)量積的定義可知，，同理，所以.由基本不等式易得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.B正確；對(duì)C，設(shè)，則，所以，有因?yàn)?，?C錯(cuò)誤；對(duì)D，易知，分別是的角平分線，由角平分線定理可知：.D正確.故選：ABD.11．如圖，為橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作橢圓的切線交圓：于，，過(guò)，作切線交于，則（

）A．的最大值為B．的最大值為C．的軌跡方程是D．的軌跡方程是【答案】AD【分析】設(shè)出，根據(jù)橢圓和圓的方程分別寫(xiě)出所在的直線方程，從而求出，代入橢圓方程即可求出的軌跡方程是；根據(jù)到直線的距離求出的面積，從而利用基本不等式求最值.【詳解】設(shè)，則切點(diǎn)弦所在的直線方程為，又因?yàn)闉闄E圓上的一點(diǎn)，所以切線所在的直線方程為，所以，即，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以的軌跡方程是.因?yàn)橹本€的方程為，所以到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：AD.12．動(dòng)點(diǎn)分別到兩定點(diǎn)連線的斜率的乘積為，設(shè)的軌跡為曲線，分別為曲線的左、右焦點(diǎn)，則下列命題中正確的有（

）A．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；B．若，則；C．的內(nèi)切圓的面積的面積的最大值為；D．設(shè)，則的最小值為．【答案】ACD【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)連線斜率的乘積為定值可求得曲線的方程，可得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式可得焦點(diǎn)三角形面積，當(dāng)焦點(diǎn)三角形內(nèi)切圓半徑最大時(shí)面積最大，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上方運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知半徑變化是由小到大再變小，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在上頂點(diǎn)處內(nèi)切圓半徑最大，利用等面積法可求得內(nèi)切圓半徑；利用橢圓定義將動(dòng)點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的差，當(dāng)點(diǎn)M在A的上方時(shí)有最大值.【詳解】由題意可知:化解得，A項(xiàng)：，，即曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)：先推導(dǎo)焦點(diǎn)三角形面積公式：在中，設(shè)，，，由余弦定理得∴,即，∴=．故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)：在三角形中，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由橢圓形定義，，，解得（），當(dāng)M在上頂點(diǎn)時(shí)，，內(nèi)切圓半徑r取最大值，內(nèi)切圓最大面積為，故C正確；D項(xiàng)：在三角形中,,則，當(dāng)三點(diǎn)共線，并且M在A的上方時(shí)，有最小值，即，故D項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線方程的求解、圓錐曲線焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、橢圓第一定義的應(yīng)用、數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題目，解題中首先對(duì)橢圓性質(zhì)要準(zhǔn)確掌握，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，其次對(duì)字母運(yùn)算能力要求較高.第II卷（非選擇題）三、填空題:本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】首先根據(jù)橢圓的定義將的最小值轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），最后根據(jù)求得的最小值.【詳解】如圖，由為橢圓上任意一點(diǎn)，則又為圓上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.∵，，則，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛；本題主要考查與橢圓與圓上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問(wèn)題，主要根據(jù)橢圓的定義將目標(biāo)等價(jià)轉(zhuǎn)化為能夠通過(guò)數(shù)形結(jié)合解題的類(lèi)型，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于較難題.14．已知點(diǎn)，是橢圓上的兩點(diǎn)，且線段恰為的一條直徑，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，設(shè)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且直線，斜率之積為，則橢圓的離心率為_(kāi)___.【答案】．【分析】已知得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則，，由向量線性運(yùn)算求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得的斜率關(guān)系，再設(shè)，用點(diǎn)差法可求得，再由已知斜率之積可得的等式，從而求得離心率．【詳解】因?yàn)榫€段是圓的一條直徑，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)，則，，又，即，，即，所以，，①設(shè)，則，又，相減得，，所以，②，而，③，由①②③可得，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于的齊次等式．解題方法是設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性得坐標(biāo)，再得點(diǎn)坐標(biāo)，用點(diǎn)差法求得，這樣可利用直線的斜率得出關(guān)系式．15．過(guò)橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，過(guò)的直線與軸和軸分別交于，則面積的最小值為_(kāi)_________.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相切關(guān)系分析得到的直線方程，由此表示出的坐標(biāo)并表示出的面積，再根據(jù)在橢圓上結(jié)合基本不等式求解出面積的最小值.【詳解】設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以化?jiǎn)可得，所以是方程的兩個(gè)解，所以直線的方程為，所以且，所以的面積，且，所以，所以，取等號(hào)時(shí)，即或，綜上可知：面積的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：和圓的切線有關(guān)的結(jié)論如下：（1）過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為；（2）過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則直線的方程為.16．在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐體積的最大值是___________.【答案】＃?！痉治觥坑深}意畫(huà)出圖形，過(guò)作與垂直的平面，交于，過(guò)作的垂線，垂足為，由已知可得三棱錐的體積，只需取最大值即可．由已知可得，都在以，為焦點(diǎn)的橢圓上．結(jié)合平面與線垂直，得到三角形為等腰三角形，再由為定值，可知取最大值時(shí)，三棱錐的體積也取最大值．再由橢圓得到在以為焦點(diǎn)的橢圓上，求出與的值，即可求得的最大值，得到，則三棱錐的體積的最大值可求．【詳解】過(guò)作與垂直的平面，交于，過(guò)作的垂線，垂足為，如圖所示：，，則三棱錐的體積為：，故取最大值時(shí)，三棱錐的體積也取最大值．由，可得，都在以，為焦點(diǎn)的橢圓上．平面與線垂直，三角形與三角形全等，即三角形為等腰三角形，又為定值，取最大值時(shí)，三棱錐的體積也取最大值．在中，動(dòng)點(diǎn)到，兩點(diǎn)的距離和為8，在以為焦點(diǎn)的橢圓上（長(zhǎng)軸、焦距分別為、，此時(shí)，，故的最大值為，此時(shí)，故三棱錐的體積的最大值是．故答案為：．四、解答題:本大題共5小題，17題共10分，其余各題每題12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程.(2)已知點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)公共點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，求證：當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，點(diǎn)恒在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由三角形重心的性質(zhì)與橢圓的定義求解即可；（2）設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立直線與橢圓，再表示出直線又直線與的方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)，即可求解(1)因?yàn)闉榈闹匦?，且邊上的兩條中線長(zhǎng)度之和為6，所以,故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓（不包括長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），且，所以，所以的軌跡的方程為；(2)設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立方程得：，則，所以，又直線的方程為：，又直線的方程為：，聯(lián)立方程得：，把代入上式得：，所以當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上18．已知是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn).到直線的距離為.(1)求的方程；(2)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)的兩條直線都不垂直于軸，與交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，直線與分別交于兩點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意利用點(diǎn)到直線的距離公式求得b，繼而求得a，可得答案.（2）設(shè)直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用點(diǎn)共線表示出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，二者相加，進(jìn)行化簡(jiǎn)，可證明結(jié)論.（1）由題意知，，是的上頂點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為，即，到直線的距離為，，所以的方程為.（2）證明：直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)，設(shè)直線，則，聯(lián)立直線和曲線的方程，得方程組，消去得則.同理.三點(diǎn)共線，，得，同理..【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系，解決問(wèn)題的思路要通暢，及聯(lián)立直線和橢圓方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為0，證明線段相等，解答的關(guān)鍵是關(guān)于關(guān)于所設(shè)字母的運(yùn)算十分繁雜，要十分細(xì)心.19．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M，N分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，且滿足.(1)求橢圓方程；(2)已知點(diǎn)C滿足，點(diǎn)T在橢圓上（T異于橢圓的頂點(diǎn)），直線NT與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，若P為線段NT的中點(diǎn)，求直線NT的方程；(3)過(guò)橢圓內(nèi)的一點(diǎn)D（0，t），作斜率為k的直線l，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別是，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，存在實(shí)數(shù)m，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)1(2)或(3)【分析】（1）由已知可得，，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)直線，代入橢圓方程中消去，解方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得NT中點(diǎn)的坐標(biāo)，而，可得解方程可求出的值，即可得到直線NT的方程，（3）設(shè)直線，代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范圍(1)設(shè)（c，0），M（0，b），N（0，b），①，又②，③，由①②③得，所以橢圓方程為1.(2)由題C，0），設(shè)直線聯(lián)立得，那么，N（0，）NT中點(diǎn).所以，因?yàn)橹本€NT與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以所以所以得，解得或所以直線NT為：或.(3)設(shè)直線，聯(lián)立方程得設(shè)A（，），B，），則…由對(duì)任意k成立，得點(diǎn)D在橢圓內(nèi)，所以，所以，所以m的取值范圍為.20．已知橢圓，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，.求證：為定值，并計(jì)算出該定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為【分析】（1）由題意得，從而寫(xiě)出橢圓的方程即可；（2）易知直線斜率存在，令，，，，，將直線的方程代入橢圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)公式即可求得值，從而解決問(wèn)題.(1)（1）由條件得，所以方程為(2)易知直線斜率存在，令，，，由，因?yàn)?，所以，?1?x1因?yàn)?，所以，?4?x1由①，由②將，代入上式，得21．已知橢圓的離心率為，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)與左?右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的