幾何學的發(fā)展概述

第五章幾何學的發(fā)展形的認識

形是人類對生存空間形式的直接認識

從無規(guī)則圖形逐漸制造出一些規(guī)則的形體，形成抽象意義下的幾何圖形。第一頁，共三十五頁。圖5.1由魚形演化出的不規(guī)則的幾何圖形從立體圖形到平面圖形圖騰崇拜和宗教禮儀第二頁，共三十五頁。5.2測量與幾何在幾何發(fā)展最早的古代埃及，幾何一詞具有“土地測量”的含義。在古希臘幾何學傳入中國之后，漢字用幾何一詞來稱謂這門學科，而漢語中“幾何”具有“多少”的意思。第三頁，共三十五頁。5.2.1經(jīng)驗公式古埃及人有計算矩形、三角形和梯形面積的方法三角形面積用一數(shù)乘以另一數(shù)的一半來表示圓面積的計算公式是A=(8d/9)2，其中d是直徑。這就等于取π為3.1605。四邊形的面積公式：（a+c）（b+d）/4（其中a、b、c、d依次表示邊長）。高為h、底邊長為a和b的方棱錐的平頭截體的體積公式：V=(1/3)h(a2+ab+b2)第四頁，共三十五頁。5.2.2求積方法勾股術與圖證“析理以辭，解體用圖”——“弦圖”大方=弦方+2矩形，（1）大方=勾方+股方+2矩形，（2）比較（1）與（2），得弦方=勾方+股方。

圖5.5伏羲手持規(guī)，女媧手持矩第五頁，共三十五頁。阿基米德的雙重方法——用力學原理發(fā)現(xiàn)公式，再用窮竭法加以證明如圖5.11拋物線有內接三角形PQq，其中P與Qp中點V的連線平行于拋物線的軸。阿基米德從物理的方法發(fā)現(xiàn)：拋物線被Qp截得的拋物線弓形的面積，與三角形QPq的面積之比是4：3。阿基米德進而使用窮竭法證明圖5.11阿基米德的雙重方法求面積第六頁，共三十五頁。5.2.3多邊形數(shù)第七頁，共三十五頁。第八頁，共三十五頁。最早的演繹幾何學《幾何原本》（約公元前300年，古希臘數(shù)學家歐幾里得）建立了第一個數(shù)學理論體系——幾何學。標志著人類科學研究的公理化方法的初步形成，《幾何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我們今天熟知的平面幾何和立體幾何的知識，其余各卷則是數(shù)論和（用幾何方法論證的）初等代數(shù)知識。全書證明了465個命題。第九頁，共三十五頁。5.3.1《原本》的公理化體系《原本》的公理化體系：全書先給出若干條定義和公理，再按由簡到繁的順序編排出一系列的定理(465個命題)。使整個幾何知識形成了一個演繹體系第十頁，共三十五頁。公設：（1）從任一點到任一點作直線是可能的。（2）把有限直線不斷循直線延長是可能的。（注意，這里所謂的直線，相當于今天我們所說的線段。）（3）以任一點為中心和任一距離為半徑作一圓是可能的。（4）所有直角彼此相等。（5）若一直線與兩直線相交，且若同側所交兩內角之和小于兩直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點（現(xiàn)今稱為平行公理）。第十一頁，共三十五頁。公理：（1）跟一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的。（2）等量加等量，總量仍相等。（3）等量減等量，余量仍相等。（4）彼此重合的東西是相等的。（5）整體大于部分。從現(xiàn)代公理化方法的角度來分析，《原本》的公理化體系存在著以下一些缺陷。沒有認識到公理化的體系一定建立在一些原始概念上《原本》的公理集合是不完備的，這就使得歐幾里得在推導命題過程中，不自覺地使用了物理的直觀概念.但是建立在圖形直觀上的幾何推理肯定是不可靠的例如,每一個三角形都是等腰的“證明”[插入圖5.18]第十二頁，共三十五頁。5.3.2《原本》中的幾何方法《原本》在證明相關結論中使用了多種幾何方法，如,疊合法,歸謬法,代數(shù)式的幾何證法,等等。這些方法是人類早期研究圖形性質的數(shù)學方法，在現(xiàn)代基礎教育中仍發(fā)揮著積極的作用。舉例如下：畢德哥拉斯定理，《原本》使用幾何的證法如下：如圖5.19，先證明△ABD△FBC，推得矩形BL與正方形GB等積。同理推得矩形CL與正方形AK等積。第十三頁，共三十五頁。5.4三大作圖問題與《圓錐曲線》三個作圖問題：倍立方，即求作一立方體的邊，使該立方體的體積為給定立方體的兩倍；三等分角，即分一個給定的任意角為三個相等的部分；化圓為方，即作一正方形，使其與一給定的圓面積相等。第十四頁，共三十五頁。直到19世紀，才證實了只用圓規(guī)和直尺來求解這三個作圖題的不可能性，然而對這三個問題的深入探索引出大量的發(fā)現(xiàn)。其中包括圓錐曲線理論梅內克繆斯（約公元前4世紀）最先發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線：[插入圖5.24]阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》將圓錐曲線的性質全部囊括其中圓錐曲線的定義方法如下：[插入圖5.25]第十五頁，共三十五頁。5.5坐標幾何與曲線方程思想17世紀法國數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)立的。這兩位數(shù)學家敏銳地看到歐氏幾何方法的局限性，認識到利用代數(shù)方法來研究幾何問題，是改變傳統(tǒng)方法的有效途徑。并為此開始了各自的研究工作，把代數(shù)方程和曲線、曲面的研究聯(lián)系在一起第十六頁，共三十五頁。笛卡爾的工作

幾何學》是笛卡爾哲學思想方法實踐的重要結果首先運用代數(shù)方法解決作圖的問題，指出，幾何作圖實質是對線段作加減乘除或平方根的運算，所以它們都可以用代數(shù)的術語表示。假定某幾何問題歸結為尋求一個未知長度x，經(jīng)過代數(shù)運算知道x滿足x=，

他畫出x的方法如下：如圖5.27作直角三角形NLM，其中LM=b,NL=a/2,延長MN到O，使NO=NL=a/2。于是x就是OM的長度。[插入圖5.27]曲線與方程的思想明確指出：幾何曲線可以用唯一的含x和y有限次代數(shù)方程來表示的曲線第十七頁，共三十五頁。費馬的工作

費馬關于曲線與方程的思想，源于對阿波羅尼茲圓錐曲線的研究。他使用了傾斜坐標系，建立了圓錐曲線的代數(shù)表述式。第十八頁，共三十五頁。5.6羅巴切夫斯基幾何學在歐幾里得幾何學中第五公設（即平行公理）的研究過程中，人們不自覺地將得到了許多第五公設的等價命題。發(fā)現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何學第十九頁，共三十五頁。5.6.1第五公設及其等價命題

等價命題普萊菲爾的平行公理：過直線外一點只能作一條直線平行于該直線三角形三個內角之和等于兩個直角；每個三角形的內角和都相同；通過一角內任一點可以作與此角兩邊相交的截線；存在兩個相似而不全等的三角形；畢達哥拉斯定理；過不在一直線上的三點可作一圓；圓內接正六邊形的一邊等于此圓的半徑；四邊形的內角和等于四個直角；第二十頁，共三十五頁。一。個等價命題的證明：如果任意三角形內角和都等于π，那么過線a外一點A只能引進一條直線與a不交。[證明]過A引a的垂線AB，并過A引AB的垂線b，則a與b必定不交。假如另有一條直線AC與a不交，記銳角∠BAC為－，在直線a上取點B1，使B1、C在AB同側，且使∠AB1B=α＜。按假設，直角△ABB1內角和等于π，所以∠B1AB=－a＞∠CAB=－，（因為α＜）。于是，作得一個△ABB1,而直線AC經(jīng)過其內部，所以AC必與底邊BB1相交。這與AC與a不相交的假設矛盾第二十一頁，共三十五頁。5.6.2非歐幾何學的先兆從反面證明第五公設，意大利耶穌會教士、數(shù)學家薩凱里（1667~1733）于1733年第一次發(fā)表了其極具特色的成果。離開了求證第五公設的目標，朝向創(chuàng)造非歐幾何的目標靠攏但是，他們沒有認識到歐幾里得幾何并不是在經(jīng)驗可證實的范圍內描述物質空間性質的唯一幾何第二十二頁，共三十五頁。5.6.3奇異的羅巴切夫斯基幾何學

羅巴切夫斯基非歐幾何的平行公理：設a是任一直線，A是a外任一定點。在a與A所決定的平面上，過點A而與a不相交的直線，至少有兩條羅巴切夫斯基非歐幾何命題三角形內角和都是小于π的，而且其和量因三角形而異，并非一個常量。同一直線的垂線及斜線，并不總是相交的。不存在相似而不全等的兩個三角形。如果兩個三角形的各內角對應相等，則它們必定是全等的。存在著沒有外接圓的三角形。三角形三邊的中垂線并非必定交于一點。在平面上一條已知直線a的同一側，與已知線a有給定距離的點的軌跡是一曲線，它上面的任意三點都不在一條直線上。在任一角內，至少存在這樣一點，通過它不能做出一條同時與兩邊相交的直線。圓內接正六邊形的邊大于此圓半徑第二十三頁，共三十五頁。5.7幾何學的統(tǒng)一性與現(xiàn)實性

5.7.1黎曼幾何德國數(shù)學家年提出另一種非歐幾何學——黎曼幾何（黎曼。1854年）直接起源于微分幾何的研究黎曼幾何的平行公理，是假設過直線外一點不存在與已知直線平行的直線。在黎曼幾何中，三角形的內角和大于兩直角，圓周率小于π第二十四頁，共三十五頁。5.7.2非歐幾何學的“現(xiàn)實性”

直到19世紀初，所有的數(shù)學家都認為歐氏幾何是物質空間和此空間內圖形性質的正確描述。并且“空間”也專指當時人們所唯一了解的歐幾里得空間羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷引起人們的懷疑。非歐幾何早期的發(fā)現(xiàn)者們?yōu)榱蓑炞C它的合理性，曾作過一些實際的測定。歷史的事實卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應用，只有在邏輯的范疇內，利用公理化的思想與方法找到它存在的“合理性”黎曼幾何在相對論中的現(xiàn)實應用。愛因斯坦說：“我特別強調剛才所講的這種幾何學的觀點，因為要是沒有它，我就不能建立相對論?！钡诙屙?，共三十五頁。5.7.3愛爾蘭根綱領

19世紀初，運用歐幾里得綜合方法，創(chuàng)造出與解析幾何相媲美的射影幾何學愛爾蘭根綱領（克萊因，1872年）：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質的學問，或者說任何一種幾何只是研究與特定的變換群有關的不變量。克萊因以射影幾何為基礎、對幾何學做了如下的分類：

第二十六頁，共三十五頁。利用不變性研究圖形的性質，為初等幾何的研究提供了新的方法。例如，由于在仿射交換下橢圓可以變成圓，相應地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓的切線變?yōu)閳A的切線。我們不妨將原命題應用仿射變換轉化為相應的圓的命題：設△ABC為圓內接三角形，以其頂點作切線構成了切線三角形A1B1C1。如果A1B1∥AB.B1C1∥BC。那么A1C1∥AC。一旦我們證明了這個有關圓的命題，再利用仿射變換下“平行”為不變性，便可知原命題成立。第二十七頁，共三十五頁。5.8幾何基礎與公理化方法

5.8.1公理化方法非歐幾何、非交換代數(shù)（如四元數(shù)）的出現(xiàn)，使數(shù)學家注意到古希臘把公理當作自明的真理的局限性。分析的算術化研究不斷深入，逐漸形成了科學的公理化方法。公理集合的性質相容性，即由公理導出的定理，沒有哪兩個是相互矛盾的；完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導出獨立性，即由公理導出的定理中中沒有一個是另一個的邏輯結果。在任何一個公理系中，不加定義的概念例如幾何學中的“點”和“線”，它們在物理領域中的“意義”或關系，在數(shù)學上是非本質的。它們被當作純粹抽象的東西，它們在演繹系統(tǒng)中的性質，完全用公理的形式加以界定第二十八頁，共三十五頁。5.8.2歐氏幾何公理體系的嚴密化

希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結三種對象及其間的三種關系（六個原始概念）。如果在這個公理體系中去掉第三種幾何基本對象（“平面”）以及與它有關的各條公理，余下來的公理和五個原始概念就可以構成一個“平面幾何的公理系統(tǒng)”。希爾伯特公理集可以排除歐氏幾何證明中的直觀成分。第二十九頁，共三十五頁。例如，用公理IV給出下述命題的證明：命題：聯(lián)接圓內的一點A與圓外一點B的直線段與該圓周有一個公共點。圖5.33圓內外兩點連線必與圓相交的證明事實上，令O為給定圓的圓心，r為半徑，C為從O到AB線段的垂線。線段AB上的點可被分為兩類：對于一些點P，OP＜r，和對于一些點Q，OQ≥r。可證明：對每一種情況，CP＜CQ。根據(jù)戴德金的公設，在AB上存在一個點R，使得：所有位于它之前的點屬于第一類，并且所有位于它之后的點屬于第二類。于是OR不小于r，否則我們能在R和B之間選AB上的點S，使得RS＜r－OR，但是，因為OS＜OR+RS，這意味著謬論：OS＜r。類似地，能證明：OR不大于r。因此，我們必定有OR=r，于是定理得證。第三十頁，共三十五頁。5.8.3公理集合的相容性

形式公理體系的相容性證明的模型方法例如，平面幾何公理系統(tǒng)的解析模型羅巴切夫斯基幾何學的模型相對相容性的解決方法選用一個，大家都相信它具有邏輯相容性的領域（比如上面這個代數(shù)領域），用這里的材料來保證陌生公理體系的相容性。厐加萊不無挪揄的指出：為了防止狼，牧羊人修起了柵欄，但卻不知道羊圈里是否還有狼第三十一頁，共三十五頁。5.9學校中歐氏幾何的教育

中學歐氏幾何的教學的目的，主要有兩種類型：發(fā)展學生的演繹推理的能力，培養(yǎng)空間想象和空間推理能力第三十二頁，共三十五頁。5.9.1幾何邏輯思維發(fā)展的培養(yǎng)模式

平面幾何的課程體系就成為邏輯思維發(fā)展的主要思維材料課程體系要適應幾何思維發(fā)展的需要在整合狀態(tài)下實現(xiàn)概念、定理的認知