高等數(shù)學(xué)第3版(張卓奎)第二章習(xí)題選解-北京郵電大學(xué)出版社

習(xí)題選解（第二章）習(xí)題2－13．設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求．解：4．用導(dǎo)數(shù)的定義證明．解：．5．已知（1）（3）存在，求下列極限；（2）；．解：（1）（2）．；（3）．6．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：；；；；；．7．討論下列函數(shù)在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性．（1）；（2）．解：（1）因?yàn)椋栽谔庍B續(xù)；又因?yàn)樗栽谔幉豢蓪?dǎo)．（2）因?yàn)?，所以在處連續(xù)；又因?yàn)樗栽谔幙蓪?dǎo)，且。8．設(shè)，試用導(dǎo)數(shù)的定義討論在處的可導(dǎo)性．解：因?yàn)?，即，在處的可?dǎo)且．又，由于，所以在處不可導(dǎo)．9．如果為偶函數(shù)，且存在，用導(dǎo)數(shù)定義證明．證：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，又存在，于是令，有，所以，，即10．求曲線上點(diǎn)處的切線方程和法線方程．解：，故曲線上點(diǎn)處的切線方程為，即，法線方程為，即．11．設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)的總收入為，求生產(chǎn)100個(gè)產(chǎn)品時(shí)的總收入、平均收入及當(dāng)生產(chǎn)第100個(gè)產(chǎn)品時(shí)，總收入的變化率．解：生產(chǎn)100個(gè)產(chǎn)品時(shí)的總收入為平均收入為生產(chǎn)第100個(gè)產(chǎn)品時(shí)，總收入的變化率為．12．證明：雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積都等于．證明：由，得設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為又因?yàn)?，令，得為切線在軸的截距；令，得為切線在軸的截距。所以切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積為習(xí)題2－21．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（3）；（2）；；（4）；（5）（7）；（6）（8）；；；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）（17）；（16）；（18）；；（19）（21）；（20）（22）；；．解：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；，；；；2．設(shè)，求和.解：，，3．求曲線在橫坐標(biāo)處的法線方程．解：，當(dāng)時(shí)，，所以所求法線方程為：即4．求曲線解：上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切線與軸平行．，令即解之得。把代入得，所以所求曲線上的點(diǎn)為。5．求曲線的平行于直線的法線方程．解：因?yàn)?，把且直線代入的斜率為1，所以即解之得，得。故所求的法線方程為6．以初速度豎直上拋的物體，其上升高度與時(shí)間的關(guān)系是（1）該物體的速度（2）該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻．，求：；解：，物體達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，即．習(xí)題2－31．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）（5）；（4）；；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）（15）；（14）（16）；；；（17）（19）（21）；（18）（20）；；；；（22）；（23）；（24）．解：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；；，；；2．設(shè)（1）解：可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；；（2）；解：；（3）；解：；（4）；解：；（5）解．．3．求曲線過點(diǎn)的切線方程和法線方程．解：，，故曲線過點(diǎn)的切線方程為或；法線方程或．4．設(shè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為（為常數(shù)），求時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．解：，將代入，得習(xí)題2－41．求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．（1）；解：，；（2）解：；，；（3）解：；，；（4）；解：，；（5）解：；，（6）；解：，（7）解：；，（8）；解：，；（9）；，解：；（10）解：；，；（11）；解：，；（12）．解：，．2．驗(yàn)證函數(shù)滿足．證：，，所以，3．一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其路程函數(shù)為，證明其加速度．證：而，所以，求。4．設(shè)解：．，，利用歸納法可得5．設(shè)，求，．解：，，…，．所以.6．設(shè)，求．解：，，，．，利用歸納法得7．設(shè)存在，求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．（1）解：；，．（2）．解：，．習(xí)題2－51．求由下列方程所確定的隱函數(shù)（1）解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得的導(dǎo)數(shù)：，，解得．（2），解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得解得．（3），解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，解得．（4），解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，解得．（5），解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得（6），解得．，．解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，解得2．證明：曲線上任一點(diǎn)的切線所截二坐標(biāo)軸的截距之和等于．證：方程關(guān)于求導(dǎo)，有，解出，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，它在軸的截距為，它在軸的截距為，切線所截二坐標(biāo)軸的截距之和等于．3．求由下列方程所確定隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：（1）；解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，解得；．（2）．解：將方程兩端對(duì)求導(dǎo)，得，解得；．4．用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，所以，．（2）；解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得，兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，所以．（3）解：對(duì)；兩邊取對(duì)數(shù)，得，兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得，所以．（4）解：對(duì)；兩邊取對(duì)數(shù)，兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得．5．求下列由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；解：．（2）；解：．6．求曲線在，處的切線方程．解：時(shí)，，，切線方程為，即7．求下列由參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)．（1）；解：，．（2），其中存在且不為零．解：，．8．注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為，當(dāng)水深為時(shí)，其表面上升的速率為多少？解：設(shè)開始注水后的時(shí)間為時(shí)，水深為，所以，，水面半徑為，，則由題意知，，即上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，有時(shí)，其表面上升的速率．，當(dāng)時(shí)，，即水深為習(xí)題2-61．已知，當(dāng)時(shí)分別計(jì)算時(shí)的和．解：因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)同理可計(jì)算和在點(diǎn)處增量為時(shí)的和．2．函數(shù)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的主部為，求其在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．解：對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的主部為，所以，4．求下列函數(shù)的微分．（7）;解：（8）解：，;，（9）;解：，（10）;解：（11）;解：，（12）．解：．6．求下列方程所確定的隱函數(shù)（1）的微分;解:方程兩邊對(duì)求導(dǎo)整理，得，故。（2）;解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)整理，得（3），故。;解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，