中心極限定理演示文稿

中心極限定理演示文稿目前一頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)（優(yōu)選）中心極限定理.目前二頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)實(shí)例:考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差.這種偏差X是大量微小的偶然因素Xi造成的微小誤差的總和:這些因素包括:瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素(如風(fēng)速、風(fēng)向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差相互獨(dú)立.問題:在什么條件下，以正態(tài)分布為其極限分布？目前三頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)二、基本定理定理4.6（林德貝格-列維中心極限定理）目前四頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)定理4.6表明:目前五頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)注目前六頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)3o中心極限定理的意義無論Xi(i=1,2,···)具有怎樣的分布，只要滿足定理4.6的條件，則當(dāng)n充分大時(shí)，其和近似地服從正態(tài)分布.目前七頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)證根據(jù)第三章第二節(jié)例題可知德莫佛拉普拉斯定理4.7(德莫佛－拉普拉斯定理)目前八頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)根據(jù)定理4.6得目前九頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)注1o定理4.7表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布,當(dāng)n充分大時(shí),可以利用該定理來計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.目前十頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)2o由泊松定理也知問題：泊松分布和正態(tài)分布都可作為二項(xiàng)分布的近似分布，那么哪一種近似更好呢？①當(dāng)n很大，p很小，=np不大時(shí)，可用泊松分布；②當(dāng)n很大時(shí)，可用正態(tài)分布.(p可較大)目前十一頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.目前十二頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)李雅普諾夫定理Thm4.8(如實(shí)例中射擊偏差服從正態(tài)分布)李雅普諾夫定理是獨(dú)立但不同分布情形下的中心極限定理，該定理表明：若所討論的隨機(jī)變量由大量獨(dú)立的，且“均勻”的小的隨機(jī)變量相加而成，則當(dāng)n很大時(shí)，這個(gè)隨機(jī)變量的分布近似地服從正態(tài)分布.目前十三頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)中心極限定理的意義在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理.

中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).目前十四頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)三、典型例題解例1目前十五頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)由定理4.6,隨機(jī)變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),目前十六頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元.設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.解設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,例2目前十七頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)保險(xiǎn)公司虧本的概率目前十八頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)四、內(nèi)容小結(jié)兩個(gè)中心極限定理林德貝格-列維中心極限定理德莫佛－拉普拉斯定理中心極限定理表明,在相當(dāng)一般的條件下,當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí),其和的分布趨于正態(tài)分布.

目前十九頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)李雅普諾夫資料AleksandrMikhailovichLyapunovBorn:6June1857inYaroslavl,Russia

Died:3Nov1918inOdessa,Russia目前二十頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)德莫佛資料AbrahamdeMoivreBorn:26May1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov1754inLondon,England目前二十一頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23March1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5March1827inParis,France目前二十二頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)例3試分別用切比謝夫不等式和中心極限定理確定當(dāng)擲一枚均勻硬幣時(shí)，需投多少次，才能保證使正面出現(xiàn)的頻率在0.4與0.6之間的概率不少于90%.解法1(切比謝夫不等式)設(shè)需投擲n次，目前二十三頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)目前二十四頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)由切比謝夫不等式，得解得目前二十五頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)解法2(德莫佛－拉普拉斯定理)注兩種結(jié)果相比較，按切比謝夫不等式估計(jì)要多做182次試驗(yàn)！目前二十六頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言,來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相互獨(dú)立,且服從同一分布.(1)求參加會(huì)議的家長數(shù)X超過450的概率;(2)求有1名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.解例4目前二十七頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)根據(jù)定理4.6目前二十八頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)目前二十九頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)由德莫佛－拉普拉斯定理知,目前三十頁\總數(shù)三十四頁\編于十七點(diǎn)一船舶在某海區(qū)航行,已知每遭受一次海浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問其中有29500～30500次縱搖角大于3o的概率是多少？解將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗(yàn),并假設(shè)各次試驗(yàn)是獨(dú)立的,在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3o的次數(shù)