全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類(lèi)解析匯編70

（最新最全）2012年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)解析匯編（按

章節(jié)考點(diǎn)整理）第二十三章特殊的平行四邊形

（2012湖南益陽(yáng)，7,4分）如圖，點(diǎn)4是直線/外一點(diǎn)，在/上取兩點(diǎn)8、C,分別以A、

C為圓心，BC、AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)。，分別連結(jié)AB、A。、CD,則四邊形ABCR

._4________，力

A.平行四邊形B.矩形；!

C.菱形D.梯形號(hào)

【解析】從題目中（BC、48長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)。,）可以得到四邊形ABC。的兩

組對(duì)邊分別相等，所以得到四邊形48C。是平行四邊形。

【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)尺規(guī)作圖得到對(duì)邊相等，只要考生記住兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊

形這一定義，就可以得到答案，難度不大。

23.1矩形

（2012湖北襄陽(yáng)，9,3分）如圖4,ABCD是正方形，G是BC上（除端點(diǎn)外）的任意一

點(diǎn)，DE_LAG于點(diǎn)E,BF〃DE,交AG于點(diǎn)F.下列結(jié)論不一定成立的是

A.AAED^ABFAB.DE-BF=EF

C.ABGF^ADAED.DE-BG=FG

圖4

【解析】由ABCD是正方形，得AD=BA,NBAD=NABG=90°,；./DAE+NBAF

=90°.XVDE1AG,BF/7DE,ABFIAG,ZBAF+ZABF=90".二NDAE=NABF.而

/AED=NBFA=90°,AAAED^ABFA.；.DE=AF,AE=BF..-.DE-BF=AF-AE

=EF.山AD〃BC得/DAE=/BGF及NAED=NGFB=90°,可知△BGFs/\DAE.可

見(jiàn)A,B,C三選項(xiàng)均正確，只有D選項(xiàng)不能確定.

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】此題是由人教課標(biāo)版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第104頁(yè)的第15題改編而成，并將

九年級(jí)下冊(cè)第48頁(yè)練習(xí)2融合進(jìn)來(lái)，源于教材而又高于教材，綜合考查了正方形的性質(zhì)、

全等三角形、相似三角形知識(shí)，是一道不可多得的基礎(chǔ)好題.

（2012山東泰安，9,3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,對(duì)角線AC的垂直平

分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O,連接CE,則CE的長(zhǎng)為（）

A.3B,3.5C,2.5D.2.8

【解析】設(shè)CE的長(zhǎng)為x,因?yàn)镋0垂直平分AC,所以AE=CE=x，所以ED=4-x,在RtACED

中，由勾股定理得CD2+ED2=CE2,22+（4-x）2=x：解得x=2.5.

【答案】C.

【點(diǎn)評(píng)】本題在矩形中綜合考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，用方程的思想

解幾何問(wèn)題是一種行之有效的思想方法。

（2012安徽，14,5分）如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD,得到

△PAB、APBC.APCD>APDA,設(shè)它們的面積分別是S?S2>S3、S4,給出如下結(jié)論：

1）S]+S2=$3+54（2）S2+S4=S|+S3

③若S3=2S|,則S4=2S2④若S1=S2，則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上

其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上）.

第14題圖

解析：過(guò)點(diǎn)P分別向AD、BC作垂線段，兩個(gè)三角形的面積之和§2+S4等于矩形面積的一半,

同理，過(guò)點(diǎn)P分別向AB、CD作垂線段，兩個(gè)三角形的面積之和M+S3等于矩形面積的一半.

=

S]+SyS2+S4,=$2，則SZ+S3=5]+S4=~SABCD,所以④一定成立

答案：②④.

點(diǎn)評(píng)：本題利用三角形的面積計(jì)算，能夠得出②成立，要判斷④成立，在這里充分利用所給

條件，對(duì)等式進(jìn)行變形.不要因?yàn)檫x出②，就認(rèn)為找到答案了，對(duì)每個(gè)結(jié)論都要分析，當(dāng)然

感覺(jué)不一定對(duì)的，可以舉反例即可.對(duì)于④這一選項(xiàng)容易漏選.

（2012江蘇鹽城，15,3分）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB〃DC,AB=DC,在不添加任

何輔助線的前提下，要想該四邊形為矩形，只需加上的一個(gè)條件是（填上你認(rèn)為正

確的一個(gè)答案即可）.

【解析】本題考查了矩形的判定.掌握矩形的定義和判定方法是關(guān)鍵.由四邊形ABCD的兩組

對(duì)邊AB=DC,AD=BC知：四邊形ABCD是平行四邊形，而“有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等”的

平行四邊形的矩形，故可填的條件是：四邊形ABCD內(nèi)有一個(gè)直角或AC=BD.

【答案】答案不唯一,如NA=90°或AC=BD,等.

【點(diǎn)評(píng)】本例考查平行四邊形和矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和矩形的判

定方法，及其相互關(guān)系.

（2012湖南湘潭，20,6分）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的?段，再砌三面墻，圍

成一個(gè)矩形花園A8CO（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25加），現(xiàn)在已備足可以砌50加長(zhǎng)的墻的材

料，試設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為300m2.

?--------------------25m---------------------

MADN

B1------------------1c

【解析】要利用條件確定矩形的長(zhǎng)和寬，設(shè)矩形的長(zhǎng)為X,寬為迎,

X

根據(jù)條件要求：0VXW25且0<X+刨W50,且X2迎,

XX

從而確定20WXW25,再設(shè)計(jì)一種具體砌法，若X取20,則迎=15,

X

矩形花園A6CD的BC長(zhǎng)20米，AB長(zhǎng)15米。若X取25,則迎=12,矩形花園48co的

X

BC長(zhǎng)25米，AB氏12米。等等。

【答案】設(shè)矩形的長(zhǎng)為X,寬為出，

X

根據(jù)條件要求：0VXW25且0VX+網(wǎng)W50,且X、迎,

XX

從而確定20WXW25,再設(shè)計(jì)一種具體砌法，如，

矩形花園ABCD的BC長(zhǎng)20米，AB長(zhǎng)15米。或矩形花園ABCD的BC長(zhǎng)25米，AB長(zhǎng)

12米。等等。

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形的面積和不等式的解集。根據(jù)限制條件列不等式，確定矩形的長(zhǎng)和

寬的取值范圍，

并由矩形面積選取矩形的長(zhǎng)和寬的具體值。

（2012浙江省紹興，15,5分）如圖，在矩形A8CO中，點(diǎn)、E,F分別在BC,C￡）上，將4

A8E沿折疊，使點(diǎn)8落在4C上的點(diǎn)8'處，又將尸沿EF折疊，使點(diǎn)C落在直線

EB'與AD的交點(diǎn)C'處.則BC：AB的值為▲.

第15題困

【解析】連接CC',根據(jù)題意可知/AEF=90°,又C、C'關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，所以CC'1EF,

所以AE〃CC',又AC'〃EC,所以四邊形AECC'是平行四邊形，又/B=/AB'E=90°,

所以四邊形AECC'是菱形，所以NEAC=NECA,又NEAC=/BAE,所以NEAC=NECA=

/BAE=30°,在RtZ\ABC中，BC：AB=V5:1.

【答案】V3

【點(diǎn)評(píng)】解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵是利用折疊前后其中相等的邊和相等的角之間的等量關(guān)系..

（2012湖南湘潭，19,6分）如圖，矩形ABC。是供一輛機(jī)動(dòng)車(chē)停放的車(chē)位示意圖，已知

BC=2m,

CD=5Am,ZDCF=30°,請(qǐng)你計(jì)算車(chē)位所占的寬度E尸約為多少米？

（V3?1.73,結(jié)果保留兩位有效數(shù)字.）

【解析】運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系或三角函數(shù)值求出DE和DF的長(zhǎng)。

【答案】在直角三角形CDF中，ZDCF=30\DF=-CD=2.7,ZADE=90°-ZCDF=ZDCF=30°,

2

在直角三角形ADE中，DE=ADcosNADE=2X1二=百，F(xiàn)E=DE+DE=2.7+百、4.43.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了矩形和直角三角形邊角關(guān)系及三角函數(shù)值的運(yùn)用。

23.2菱形

（2012四川成都，9,3分）如圖.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0,下列說(shuō)法第

那的是（）

解析：本題考查的是菱形的性質(zhì)，菱形是特殊的平行四邊形，所以四邊形具有的性質(zhì)，菱形

都有，所以選項(xiàng)A、D都是對(duì)的；另外菱形還有自己特殊的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直等

等，所以選項(xiàng)C也是對(duì)的。所以，根據(jù)排除法可知，選項(xiàng)B是錯(cuò)誤。

答案：選B

點(diǎn)評(píng)：平行四邊形及各種特殊的平行四邊形的性質(zhì)，是一個(gè)重要的考點(diǎn)，同學(xué)們要能結(jié)合圖

形熟練掌握它們的性質(zhì)和判定。

（2012山東省臨沂市，17,3分）如圖，CD與BE互相垂直平分，AD±DB,ZBDE=70°,

貝I」NCAD=

（第

【解析】：CD與BE互相垂直平分，...四邊形BDEC是菱形，又?..AD1.DB,ZBDE=70°,

ZADE=20°,NDEF=55°,AZDAE=35°,NCAD=70°.

【答案】70°

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生對(duì)線段垂直平分線及菱形的性質(zhì)和判定的理解及運(yùn)用.菱形的

特性是：對(duì)角線互相垂直、平分，四條邊都相等.

（2012山東省聊城，19,8分）矩形ABCD對(duì)角線相交與O,DE//AC,CE//BD.

求證：四邊形OCED是菱形.

第19題圖

解析：可以先證四邊形0CED是平行四邊形，再找一組鄰邊相等.

解：因?yàn)镈E〃AC,CE//BD,所以四邊形0CED是平行四邊形.

又因?yàn)樵诰匦蜛BCD,BD、AC是對(duì)角線，

所以AC=BD,OC=OD=—AC=—BD.

22

所以四邊形OCED是菱形.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握菱形判斷方法是解題的關(guān)鍵.

（2012湖北襄陽(yáng)，23,7分）如圖10,在梯形ABCD中，AD〃BC,E為BC的中點(diǎn)，BC

=2AD,EA=ED=2,AC與ED相交于點(diǎn)F.

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當(dāng)AB與AC具有什么位置關(guān)系時(shí)，四邊形AECD是菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出

此時(shí)菱形AECD的面積.

圖10

【解析】（1）通過(guò)證明ADEC絲Z\AEB,得AB=CD.（2）運(yùn)用”?組對(duì)邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形”易發(fā)現(xiàn)四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，從而有

AB〃DE,然后結(jié)合菱形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)AB需與AC垂直，接著發(fā)現(xiàn)4ABE是等邊三角形即

可解決問(wèn)題.

【答案】解：（1）證明：：AD〃BC,

AZDEC=ZEDA,ZBEA=ZEAD.

又；EA=ED,；./EAD=/EDA.

AZDEC=ZAEB.

又：EB=EC,/.△DEC^AAEB.

.\AB=CD.二梯形ABCD是等腰梯形.

（2）當(dāng)AB_LAC時(shí)，四邊形AECD是菱形.

證明：VAD//BC,BE=EC=AD,

四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形.

；.AB=ED.

VAB1AC,；.AE=BE=EC.

四邊形AECD是菱形.

過(guò)A作AGJ_BE于點(diǎn)G,?.?AE=BE=AB=2,

.,.△ABE是等邊三角形，NAEB=60°.；.AG=G.

??AECD=ECAG=2XG=.

【點(diǎn)評(píng)】第（1）問(wèn)簡(jiǎn)單，第（2）問(wèn)屬于條件開(kāi)放探究性問(wèn)題，解答時(shí)，可以“執(zhí)果索

因”，從題目的結(jié)論出發(fā)逆向追索，再通過(guò)綜合分析推理而獲得結(jié)果.

（2012浙江省溫州市，19,8分）如圖,Z\ABC中，NB=90°,AB=6cm,BC=8cm。將4

ABC沿射線BC方向平移10cm,得到ADEF,A.B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D,E,F,連結(jié)AD。

求證：四邊形ACFD是菱形。

【解析】把握平移的特征：平移不改變圖形的形狀和大小，對(duì)應(yīng)線段相等，平行（或在同一

條直線上.菱形判定方法：鄰邊相等的平行四邊形；四條邊相等的四邊形。

【答案】證法一：；NB=90°,AB=6cm,BC=8cm,

AC=10cm.

由平移變換的性質(zhì)得

CF=AD=1Ocm,DF=AC,

/.AD=CF=AC=DF,

,?四邊形ACFD是菱形.

證法二：由平移變換的性質(zhì)得AD〃CF,AD=CF=10cm,

...四邊形ACFD是平行四邊形.

VZB=90°,AB=6cm,BC=8cm,

/.AC=10cm.

.".AC=CF,

，AD=CF=AC=DF,

...ACFD是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考察了平移及菱形的判定方法，難度不大.

（2012浙江省嘉興市，19,8分）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E,

使BE=AB,連結(jié)CE.

⑴求證:BD=EC;

（2）若NE=50。，求NBAO的大小.

第19題

【解析】（1）證得四邊形BECD是平行四邊形即可；（2）先證NABO=NE=50。.再證NBAO

=90°—/ABO=40。.

【答案】（1）；菱形ABCD,，AB=CD,AB〃CD,又；BE=AB,...四邊形BECD是平行四邊

形，；.BD=EC.

（2）,?8EC￡>,，BD〃CE,.?.NABO=NE=50。.又：菱形ABCD,AAC±BD,.\ZBAO=

900-ZABO=40°

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)生的邏輯推理能力，要求能靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判

定、性質(zhì)進(jìn)行推理論證.中檔題.

本市若干天空氣質(zhì)量情況條形統(tǒng)計(jì)圖

（2012北京，19,5）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)E,

Z.BAC=90°,ZCED=45°,ZDCE=30°,Z)E=夜，

BE=272.求CO的長(zhǎng)和四邊形ABC。的面積.

【解析】利用特殊的度數(shù)解直角三角形，并求其面積。

【答案】過(guò)點(diǎn)。作。凡LAC

VZC￡￡>=45°,DFLEC,DE=C

：.EF=DF=l

XVZDCE=30°

：.DC=2

VZAEB=45°,ZBAC=90°,BE=6

C

：.AE=2

；.AC=2+1+百=3+百

?"?5wiuiBABCD=~2x（3+V3）+—x1x（3+V3）=---——

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了已知特殊角（如45。、30。）和其鄰邊的長(zhǎng)度，利用這些條件構(gòu)造直角三

角形，求出其它邊的長(zhǎng)度。

（2012湖南婁底，23,9分）如圖11,在矩形4BCD中，M、N分別是月。、BC的中點(diǎn)，P、

。分別是8M、ON的中點(diǎn).

（1）求證：ZXMBA絲△M9C；

(2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，利用SAS判定aMBA名△NDC；

(2)四邊形MPNQ是菱形，連接AN,有(1)可得至IJBM=CN,再有中點(diǎn)得到PM=NQ,

再通過(guò)證明△MQD絲ZXNPB得到MQ=PN,從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三

角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ,進(jìn)而證明四邊形MQNP是菱形.

【答案】證明：(1)I?四邊形ABCD是矩形，；AB=CD,AD=BC,ZA=ZC=90",1?在

矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，.\AM=-AD,CN=-BC,；.AM=CN,

22

在aMAB且ZXNDC,*?AB=CD,NA=NC=90°,AM=CN,AAMAB^ANDC；

(2)四邊形MPNQ是菱形，理由如下：連接AN,易證：ZXABN名△BAM,；.AN=BM,

VAMAB^ANDC,ABM=DN,；P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)，，PM=NQ,；DM=BN,

DQ=BP,ZMDQ=ZNBP,AAMQD^ANPB.四邊形MPNQ是平行四邊形，VM是

AB中點(diǎn)，Q是DN中點(diǎn)，AMQ=-AN,.,.MQ=-BM,/.MP=-BM,；.MP=MQ,.,.四

222

邊形MQNP是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定與矩形的判定，靈活地應(yīng)用矩形與菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)

題的關(guān)鍵.

23.(2012江蘇鹽城，23,10分)如圖所示，在梯形ABCD中，AD〃BC,ZBDC=90°,E為

BC上一點(diǎn)，ZBDE=ZDBC.

(1)求證：DE=EC.

(2)若AD=」BC,試判斷四邊形ABED的形狀，并說(shuō)明理由.

2

第23題圖

【解析】本題考查了平行四邊形、菱形的性質(zhì)與判定.掌握判定的方法是關(guān)鍵.(1)根據(jù)條

件可用等角對(duì)等邊來(lái)證明(2)先證四邊形BCDE是平行四邊形，然后再證它是菱形.

【答案】(1)：NBDC=90'>,...NBDE+NCDE=90",ZB+ZC=90°,由：NBDE=NDBC,；.NCDE=

ZC,.\DE=EC.

(2)VZBDE=ZDBC,，BE=DE,，BE=EC,XVAD=-BC,.\AD=BE,又：AD〃BC,二四邊形

2

ABED是平行四邊形，又：BE=DE,.?.四邊形ABED是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理.

（2011山東省濰坊市，題號(hào)22,分值10）22、（本題滿分10分）如圖，己知平行四邊形ABCD,

過(guò)A作AM_LBC與M,交BD于E,過(guò)C作CN_LAD于N,交BD于F,連結(jié)AF、CE.

（I）求證：四邊形AECF為平行四邊形：

（2）當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求AB：AE的值。

考點(diǎn)：平行四邊形的判定，菱形的判定

解答：（I）證明：因?yàn)锳E_LBC,所以/AMB=90°,

因?yàn)镃N_LAD,所以NCNA=90°

又因?yàn)锽C〃AD,所以/BCN=90°

所以AE〃CF

又由平行得/ADE=/CBD,AD=BC

所以4ADE絲ZXBCF,所以AE=CF

因?yàn)锳E〃CF,AE=CF所以四邊形AECF為平行四邊形.

（2）當(dāng)平行四邊形AECF為菱形時(shí)，連結(jié)AC交BF于點(diǎn)O,

則AC與EF互相垂直平分，

又OB=OD,

所以AC與BD互相垂直平分

所以，四邊形ABCD為菱形

所以AB=BC

因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，AM1BC,

所以aABM絲ZXCAM,

所以AB=AC

為等邊三角形，

所以NABC=60°,ZCBD=30°

?人士V3

在RTABCF中，CF:BC=tanZCBF=—,

3

又AE=CF,AB=BC,

所以AB：AE=V3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解直角三角形的有關(guān)知識(shí)。解決此類(lèi)綜

合問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知圖形，聯(lián)想到它的性質(zhì)，選擇其中的部分性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明。

（2012重慶，24,10分）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對(duì)角線AC

交于點(diǎn)M,過(guò)M作MELCD于點(diǎn)E,

（1）若CE=1,求BC的長(zhǎng)；（2）求證AM=DF+ME,

BA

CED

解析：延長(zhǎng)DF,BA交于G,可證ACEM絲△CFM,ZXCDF絲△BGF,通過(guò)線段的簡(jiǎn)單運(yùn)算，即可

求得。

答案：(1)VHWABCD^W.,.CB^D.AB^CD/.Zl=ZACD,VZ1=Z2AZ2-ZACD/.

MC=MDVME±CD；.CD=2CE=2ABC=CD=2

(2)延長(zhǎng)DF,BA交于G,:四邊形ABCD是菱形.,./BCA=NDCA,VBC=2CF,CD=2CE；.CE=CF

VCM^MAACEM^ACFM,AME=MFVABCDAZ2=ZG,ZGBF=ZBCDVCF=BFAACDF^△

BGF.".DF=GFVZ1=Z2,ZG=Z2AZ1=ZGAM=GM=MF+GF=DF+ME

點(diǎn)評(píng)：利用三角形全等來(lái)解決線段的有關(guān)問(wèn)題是常見(jiàn)的思考方法，遇到中點(diǎn)延長(zhǎng)一倍，是常

見(jiàn)的輔助性做法。

G?＞：；■.................-----------------]

CED

(2012山東省臨沂市，22,7分)如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別

在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE,/A=/D,AF=DC.

(1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)若NABC=90°,AB=4,BC=3,當(dāng)AF為何值時(shí)，四邊形BCEF是菱形。

(第22期EB)

【解析】(1)證明aABC絲ZiDEF,即可得到，BC=EF,BC〃EF,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的

四邊形是平行四邊形即可判斷；

(2)假設(shè)四邊形BCEF是菱形，連接BE,當(dāng)/ABC=90°,AB=4,BC=3時(shí)，應(yīng)用勾股定

理可求得AC=^AB2+BC2="+32=5，可求得△ABCS/\BGC,應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)

求得AF=(,所以當(dāng)AF=(時(shí)，四邊形BCEF是菱形.

解：(1)讀圖分析線段FC是公共部分，???AF=DC,

；.AF+FC=DC+FC,即AC=DF,

又AB=DE,NA=ND,二△ABC烏ZXDEF,

BC=EF,NACB=/DFE.

...BC〃EF,.?.四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)若四邊形BCEF是菱形，連接BE,交CF于點(diǎn)G,

.".BE1CF,FG=CG,

VZABC=90°,AB=4,BC=3,由勾股定理得，

AC=>IAB2+BC2=V42+32=5,

VZBGC=ZABC=90°,ZACB=ZBCG,

/.△ABC^ABGC,

A—=—,BP-=—,CG=-,FC=2CG=—.

ACBC5355

.,.AF=AC-FC=5--=-.

55

.?.當(dāng)AF=N時(shí)，四邊形BCEF是菱形。

5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的判定以及菱形的判定方法，正確掌握判定定理是解題

的關(guān)鍵.

23.3正方形

(2012貴州銅仁，18,4分以邊長(zhǎng)為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線,

分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的最小值是

【解析】如圖???四邊形CDEF是正方形，

.,.ZOCD=ZODB=45",NCOD=90°,OC=OD,

VAO±OB,

.,.ZAOB=90°,

.".ZCOA+ZAOD=90°,ZAOD+ZDOB=90\

.\ZCOA=ZDOB,

"Z0CA=Z0DB

?.,在△COA和ADOB中，OC=OD，

,ZAOC=ZDOB

.?.△COA絲△DOB,

，OA=OB,

VZAOB=90",

.?.△AOB是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AB=^QA2+OB2=V20A,

要使AB最小，只要OA取最小值即可，

根據(jù)垂線段最短，OALCD時(shí)，OA最小，

?.?正方形CDEF,

AFCICD,OD=OF,

；.CA=DA,

.\OA=1CF=1,

2_

/.AB=^/2OA=A/2

【解答】V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜

邊上的中線、等知識(shí)，題目具有代表性，有一定的難度。解答本題關(guān)鍵是判斷AB=2OA時(shí)，

AB最小，即0A與0B分別與正方形邊長(zhǎng)垂直時(shí)AB有最小值。

（2012年浙江省寧波市,12,3）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》

中，就有“若勾三，股四，則弦五”記載，如圖1是由邊長(zhǎng)相等的小正形和直角三角形構(gòu)成

的可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理。圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，Z

BAC=90°,AB=3,AC=4,D,E,F,GH,I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為

(A)90(B)100(C)110(D)⑵

【解析】如圖，延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P,

所以，四邊形AOLP是正方形，

邊長(zhǎng)AO=AB+AC=3+4=7,

所以，KL=3+7=10,LM=4+7=1L

因此，矩形KLMJ的面積為10X11=110.

故選C.

【答案】C

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵.

（2012四川內(nèi)江，21,9分）如圖11,四邊形ABCD是矩形，E是BD上的一點(diǎn)，ZBAE

=/BCE,NAED=/CED,點(diǎn)G是BC、AE延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，AG與CD相交于點(diǎn)F.

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）當(dāng)AE=2EF時(shí)，判斷FG與EF有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

【解析】（1）四邊形ABCD是矩形，只需證得一組鄰邊相等即可說(shuō)明它是正方形.接

下來(lái)通過(guò)證明4AED絲4CED得AD=CD解決問(wèn)題.（2）由（1）中全等三角形得AE=CE,

ZDAE=ZDCE,再由BG〃AD得NG=NEAD,從而NDCE=NG,這樣就可證明4CEG

s/XFEC,由它產(chǎn)生相似比并結(jié)合AE=2EF即可得解.

【答案】解：（1）證明：?.?四邊形ABCD是矩形，.?.NBAD=/BCD=90°.

；/BAE=NBCE,/.ZBAD-ZBAE=ZBCD-ZBCE,即/EAD=/ECD.

：/AED=/CED,ED=ED,.,.△AED絲Z\CED.AAD=CD.

...矩形ABCD是正方形.

（2）FG=3EF.

理由：：BG〃AD,.\ZG=ZEAD.

由于NEAD=/ECD,.*.NG=NECD.

CFFG

VZCEG-ZFEC,.,.△CEG^AFEC..

EFCE

由（1）知CE=AE,而AE=2EF,故CE=2EF.

，EG=2CE=4EF,即EF+FG=4EF.

；.FG=3EF.

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了矩形、正方形、全等三角形、相似三角形知識(shí)，題目條件簡(jiǎn)潔

明了，突出了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、核心知識(shí)的交叉考查，是?道中檔好題.解決問(wèn)題（2）,還可通

過(guò)證明Z\AEB烏△FED,Z\ADFs/iGCF解決.

（2012貴州貴陽(yáng)，21,10分）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E,F分

別在BC和CD上.

（1）求證：CE=CF；

（2）若等邊三角形AEF的邊長(zhǎng)為2,求正方形ABCD的周長(zhǎng).

第21題圖

解析：（1）可證RtAABE^RtAADF；（2）可得AEFC是等腰直角三角形，由等邊三

角形AEF的邊長(zhǎng)為2,可得EF=2,解直角三角形可得正方形ABCD的邊長(zhǎng).

解：（1）證明：?.,四邊形ABCD正方形，.,.ZB=ZD=90°,AB=AD.

AAEF是等邊三角形，AE=AF.

ARtAABE^RtAADF,.?.BE=DF,

?；BC=CD,；.CE=CF.

（2）在Rt^EFC中，CE=CF=2Xsin45°=JL

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x,則x?+（x-拒）2=2?.解得，x=、士\（舍負(fù)），正方形

2

ABCD的周長(zhǎng)為4X°+瓜=2叵+2屈.

2

點(diǎn)評(píng)：直線型問(wèn)題主要有兩種形式，一種是證明，一種是計(jì)算，主要考查學(xué)生的邏輯推

理能力以及空間觀念.計(jì)算時(shí)一般考慮勾股定理、特殊角等的運(yùn)用，列方程求解是常用方法.

23.4梯形

（2012廣州市，5,3分）如圖2,在等腰梯形ABCD中，BC〃AD,AD=5,DC=4,DE

〃AB交BC于點(diǎn)E,且EC=3,則梯形ABCD的周長(zhǎng)是（）

A.26B.25C.21D.20

【解析】由題意知，四邊形ABED為平行四邊形，可知BE=AD=5,從而得到BC的長(zhǎng)，

【答案】梯形ABCD的周長(zhǎng)為AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21.答案為C0

【點(diǎn)評(píng)】本題主要用到梯形常用的輔助線，把等腰梯形分為平行四邊形和等腰三角形。關(guān)鍵

是求出下底的長(zhǎng)。

（2012山東省臨沂市，11,3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,對(duì)角線AC、BD

相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.AC=BDB.OB=OCC.ZBCD=ZBDCD./ABD=/ACD

【解析】：四邊形ABCD是梯形,AD〃BC,；.AC=BD,ZABC=ZDCB,AAODBOC,A

OB=OC,ZOBC=ZOCB,ZABD=ZDCA.

【答案】選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)?解此題的關(guān)鍵是注意數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用與排除法的應(yīng)用.

（2012四川內(nèi)江，16,5分）如圖8,四邊形ABCD是梯形，BD=AC且BD_LAC,若AB

【解析】如下圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE〃AC,與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,BF1DE于F.接

下來(lái)，可證得4BDE是等腰直角三角形，BF=-DE=-（DC+CE）=-（DC+AB）=-（2+

2222

【答案】9

【點(diǎn)評(píng)】在等腰梯形問(wèn)題中，如果有對(duì)角線互相垂直條件，將其中一條對(duì)角線進(jìn)行平移

產(chǎn)生輔助線是常用解題思路.事實(shí)上，對(duì)角線互相垂直的等腰梯形的高等于其上、下底和的

一半.解決此題，還可以證明aAOB和aCOD是等腰直角三角形，在求得AC、BC長(zhǎng)后，

利用S?nBABCD=aACD+4ACB=lAC?BD解答.

2

（2012四川省南充市,17,6分）如圖,等腰梯形ABCD中,AD〃BC,點(diǎn)E是AD延長(zhǎng)線上的

一點(diǎn)，且CE=CD.

求證：ZB=ZE.

解析：先利用等腰三角形等邊對(duì)等角推得NCDE=NE。根據(jù)AD〃BC,可得/CDE=NDCB,

等量代換得到/E=NDCB,再根據(jù)等腰梯形性質(zhì)可知/B=/DCB,從而證得/B=/E。

答案：證明：：CE=CD,

ZCDE=ZE.

：AD〃BC,

ZCDE=ZDCB.

ZE=ZDCB.

VAB-DC,

.\ZB=ZDCB.

.\ZB=ZE.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，及平行線性質(zhì)。對(duì)于等腰梯

形、等腰三角形內(nèi)的角度問(wèn)題，要充分利用底角相等的特點(diǎn)，再利用等量代換的方法即可探

尋到所要求證角的相等關(guān)系。

（20H江蘇省無(wú)錫市，8,3Z）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,AD=3,AB=5,

BC=9,CD的垂直平分線交BC于E,連接DE,則四邊

形ABED的周長(zhǎng)等于（）

A.17B.18

C.19D.20

【解析】利用垂直平分線的性質(zhì)可以知道DE=EC,把求四邊形ABED的周長(zhǎng)問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為求已知三條線段的和。四邊形ABED的周長(zhǎng)等于

AD+AB+DE+BE=AD+AB+BE+EC=AD+AB+BC=3+5+9=17.

［答案］A

評(píng)】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩

端的距離相等，也考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。

（2012山東省濱州，11,3分）菱形的周長(zhǎng)為8cm,高為1cm,則該菱形兩鄰角度數(shù)比為（）

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

【解析】如圖所示，根據(jù)已知可得到菱形的邊長(zhǎng)為2cm,從而可得到高所對(duì)的角為30°,

相鄰的角為150°,則該菱形兩鄰角度數(shù)比為5：1.

【答案】選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)；此菱形含30度角的直角三角形，便可推出它的相鄰內(nèi)角分

另」130°,150°.

（2012北海,6,3分）6.如圖，梯形ABCD中AD//BC,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,若

AO：CO=2：3,AD=4,則BC等于：（）

第6題圖

A.12B.8C.7D.6

【解析】根據(jù)AD〃BC易知△AODs/\cOB,相似比為2:3,所以當(dāng)AD=4時(shí)，BC=6.

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是梯形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單幾何題型。

（2012江蘇蘇州，6,3分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,CE〃BD,

DE//AC,若AC=4,則四邊形CODE的周長(zhǎng)（）

A.4B.6C.8D.10

分析：首先由CE〃BD,DE〃AC,可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD

是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=2,即可判定四邊形CODE是菱形，繼而

求得答案.

解答：解：VCE/7BD,DE〃AC,

四邊形CODE是平行四邊形，

?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AC=BD=4,OA=OC,OB=OD,

.,.OD=OC=AAC=2,

2

二四邊形CODE是菱形，

，四邊形CODE的周長(zhǎng)為：40c=4x2=8.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì).此題難度不大，注意證得四邊形

CODE是菱形是解此題的關(guān)鍵.

（2012廣東肇慶，13,3）菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為

▲.

【解析】菱形的對(duì)角線互相垂直平分，結(jié)合勾股定理可求得邊長(zhǎng)為5.菱形的四條邊相等,

故周長(zhǎng)為20.

【答案】20

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)與勾股定理的綜合運(yùn)用，難度中等.

（2012貴州省畢節(jié)市，17,5分）我們把順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫甲

點(diǎn)四電手?，F(xiàn)有一個(gè)對(duì)角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點(diǎn)四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)

是.

解析：順次連接這個(gè)菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，且矩形的邊長(zhǎng)分別是菱形對(duì)角線的

一半，問(wèn)題得解.

答案：解：???順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)所得的圖形是矩形；

理由如下：；E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，EF〃GH〃DB,EF=GH=-DB,

2

EH=FG」AC,EH〃FG〃AC.

2

VDB1AC,r.EFlEH,四邊形EFGH是矩形，VEH=-￡>S=3cm,EF=-AC=4cm.

22

HF=^EH2+EF2=5cm.故答案為：5cm.

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的四邊相等，對(duì)角線互相垂直，連接菱形各邊的中點(diǎn)得到

矩形，且矩形的邊長(zhǎng)是菱形對(duì)角線的一半以及勾股定理的運(yùn)用.

（2012年四川省巴中市,19,3）如圖4,在等腰梯形ABCD中,AD〃BC,BDJ_DC,點(diǎn)E是BC

的中點(diǎn)且DE〃AB,則NBCD的度數(shù)是

【解析】?/AD//BC,DE//AB,四邊形ABED是平行四邊形

圖4

，AB=DE,在等腰梯形ABCD中,AB=DC,，DE=DC

VBD1DC,/.NBDC=90°,又點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

：.DE=EC=DC,即4DEC是等邊三角形，故NBCD=60°

【答案】60°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)有平行四邊形的判定、等邊

三角形的判定等腰梯形及直角三角形的性質(zhì)，

是比較綜合的題目。

（2012呼和浩特,8,3分）已知:在等腰梯形48CD中，AD//BC,AC±BD,AD=3,BC=7,

則梯形的面積是

A25B.50C.25V2D.-~-

4

【解析】作。E〃4C,交BC的延長(zhǎng)線于E,作。F_LBE于凡

?.?四邊形ABC。是等腰梯形

：.AD//CE,AC=BD

又；OE〃AC,AC1BD

：.四邊形ACED是平行四邊形，BDLDE

:.DE=AC,AO=CE=3

??.△8DE是等腰直角三角形

又

：.BF=EF=DF=LBE=~(BC+CE)=-(BC+AD)=-(1+3)=5

2222

；.S梯形ABCD=~(A￡>+8C>OF=,(3+7)x5=25

【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形作輔助線的方法，見(jiàn)對(duì)角線互相垂直，則平移對(duì)角線，利用平移后

形成的直角三角形求解。此題關(guān)鍵是做輔助線的方法。

（2012黑龍江省綏化市，10,3分）如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別

過(guò)此正方形的頂點(diǎn)B、D作BFla于點(diǎn)F、DE±a于點(diǎn)E,若DE=8,BF=5,則EF的長(zhǎng)

為.

a

E

%10a圖

【解析】解：用三角形全等的判定方法AAS或ASA易證△ABFgZ\DAE得AE=BF=5,

AF=DE=8,故EF=AE+AF=5+8=13.

【答案】13.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定方法及性質(zhì)、正方形的性質(zhì).考生在做此題時(shí)

主要是不能快速挖掘出三角形全等時(shí)關(guān)鍵的邊等：AB=DA,而浪費(fèi)較多時(shí)間，難度中等.

（2012陜西7,3分）如圖，在菱形ABCO中，對(duì)角線AC與8。相交于

點(diǎn)。，OEVAB,垂足為E,若NA0C=13O。，則NAOE的大小為（）

A.75°B.65°C.55°D.50°

【解析】由菱形的對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角，又ES

OELAB'可得：^DAO=ZOAE,ZDOA=ZOEA

：.ZAOE=ZADO=-xZADC=ix130°=65°.選B.

22

【答案】B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理.難度中等.

（2012貴州黔西南州，20,3分）把一張矩形紙片（矩形ABCD）按如圖7方式折疊，使頂點(diǎn)B

和點(diǎn)D重合，折痕EF,若AB=3cm,BC=5cm,則重疊部分4DEF的面積是cm2.

【解析】設(shè)BF=x,貝IJCF=5-x.在RtZ\C3尸中，山勾股定理得六=（5-*[+32,解得x=3.4,

所以CF=1.6.

3X]6

連接BE,則4ABE絲ADCF,ABEF^ADFE,所以S^DEF=5（3X5-：2*2）=5」.

【答案】5.1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，在許多涉及運(yùn)用勾股定理的計(jì)算問(wèn)題中,

設(shè)未知數(shù)列方程是一種很好的方法.

（2012山西，11,2分）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC.BD的長(zhǎng)分別為6cm、8cm,

AE_LBC于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)是（）

A__________D

A.W^cirB.2A/5CIT「4824

J-TTCirD.-7TCir

55

【解析】解：：四邊形ABCD是菱形，

.*.C0」AC=3cm,B0」BD=4cm,AO_LBO,

22

居舒=5cm,

S菱形ABCD—BDA。一.Ix6x8=24cm2,

22

,「S菱形ABCD=BCXAD，

ABCxAE=24,

???AAEC--2-4cm，

5

故選D.

【答案】D

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的對(duì)角線互相平分且相互垂直的性質(zhì)、勾股定理及三角形中等

積法的運(yùn)用.解決本題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形的問(wèn)題，再

利用直角三角形的特性勾股定理解決問(wèn)題.難度中等.

（2012湖北咸寧，15,3分）如圖，在梯形43CC中，AD//BC,ZC=90°,BE平分NA8C

且交CO于E,E為C。的中點(diǎn)，EF//BC交AB于F,EG〃AB交BC于G,當(dāng)40=2,

（第15題）

BC=l2時(shí)，四邊形BGEF的周長(zhǎng)為—.

【解析】先依條件“EF〃BC交AB于F,EG〃AB交BC于G”得出四邊形BGEF是平行

四邊形，再由“BE平分/ABC且交CD于E”得出NFBE=/EBC,由EF〃BC可知，Z

EBC=NFEB,故NFBE=FEB,進(jìn)一步判斷出四邊形BGEF是菱形，后根據(jù)E為CD的中

點(diǎn)，AD=2,BC=12,可求出EF的長(zhǎng).

【答案】28

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了梯形中位線定理及菱形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于判斷出四邊形

BGEF是菱形.

（2012四川達(dá)州，8,3分）如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

則下列結(jié)論：