復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案(全)

..------------------------------------精心整理..------------------------------------頁腳內(nèi)容精心整理頁腳內(nèi)容復(fù)變函數(shù)課后習(xí)題答案(全)習(xí)題一答案求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、模、幅角主值及共軛復(fù)數(shù)：（1）（2）（3）（4）解：（1），因此：，（2），因此，，（3），因此，，（4）因此，，將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式：（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）設(shè)試用三角形式表示與解：，所以，解下列方程：（1）（2）解：（1）由此，（2），當(dāng)時，對應(yīng)的4個根分別為：證明下列各題：（1）設(shè)則證明：首先，顯然有；其次，因固此有從而。（2）對任意復(fù)數(shù)有證明：驗(yàn)證即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。（3）若是實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個根，那么也是它的一個根。證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實(shí)數(shù)，并且根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則，，由此得到：由此說明：若為實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的一個根，則也是。結(jié)論得證。（4）若則皆有證明：根據(jù)已知條件，有，因此：，證畢。（5）若，則有證明：，，因?yàn)椋?，，因而，即，結(jié)論得證。7．設(shè)試寫出使達(dá)到最大的的表達(dá)式，其中為正整數(shù)，為復(fù)數(shù)。解：首先，由復(fù)數(shù)的三角不等式有，在上面兩個不等式都取等號時達(dá)到最大，為此，需要取與同向且，即應(yīng)為的單位化向量，由此，，8．試用來表述使這三個點(diǎn)共線的條件。解：要使三點(diǎn)共線，那么用向量表示時，與應(yīng)平行，因而二者應(yīng)同向或反向，即幅角應(yīng)相差或的整數(shù)倍，再由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則知應(yīng)為或的整數(shù)倍，至此得到：三個點(diǎn)共線的條件是為實(shí)數(shù)。9．寫出過兩點(diǎn)的直線的復(fù)參數(shù)方程。解：過兩點(diǎn)的直線的實(shí)參數(shù)方程為：，因而，復(fù)參數(shù)方程為：其中為實(shí)參數(shù)。10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中為實(shí)參數(shù)）（1）（2）（3）解：只需化為實(shí)參數(shù)方程即可。（1），因而表示直線（2），因而表示橢圓（3），因而表示雙曲線11．證明復(fù)平面上的圓周方程可表示為，其中為復(fù)常數(shù)，為實(shí)常數(shù)證明：圓周的實(shí)方程可表示為：，代入，并注意到，由此，整理，得記，則，由此得到，結(jié)論得證。12．證明：幅角主值函數(shù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。證明：首先，在原點(diǎn)無定義，因而不連續(xù)。對于，由的定義不難看出，當(dāng)由實(shí)軸上方趨于時，，而當(dāng)由實(shí)軸下方趨于時，，由此說明不存在，因而在點(diǎn)不連續(xù)，即在負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)，結(jié)論得證。13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？解：對于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得，因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得即表示一個圓周。對于，其方程可表示為代入映射函數(shù)中，得因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得，表示一半徑為的圓周。14．指出下列各題中點(diǎn)的軌跡或所表示的點(diǎn)集，并做圖：解：（1），說明動點(diǎn)到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。（2）是由到的距離大于或等于的點(diǎn)構(gòu)成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點(diǎn)集。（3）說明動點(diǎn)到兩個固定點(diǎn)1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個橢圓。代入化為實(shí)方程得（4）說明動點(diǎn)到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點(diǎn)的與軸正向夾角為的射線。15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。（1），以原點(diǎn)為心，內(nèi)、外圓半徑分別為2、3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通（2），頂點(diǎn)在原點(diǎn)，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通（3），顯然，并且原不等式等價(jià)于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3連線的垂直平分線即2.5左邊部分除掉2后的點(diǎn)構(gòu)成的集合，是一無界，多連通區(qū)域。（4），顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實(shí)方程為，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應(yīng)為上述雙曲線左邊一支的左側(cè)部分，是一無界單連通區(qū)域。（5），代入，化為實(shí)不等式，得所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。習(xí)題二答案指出下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點(diǎn)，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。（1）（2）（3）（4）解：根據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)性法則（可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商仍為可導(dǎo)函數(shù)，商時分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導(dǎo)一定解析，由此得到：（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點(diǎn)為，即，（4）的奇點(diǎn)為，判別下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，何處解析，并求出可導(dǎo)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。（1）（2）（3）（4）解：根據(jù)柯西—黎曼定理：（1），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程解得：，因此，函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，，函數(shù)處處不解析。（2），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程解得：，因此，函數(shù)在直線上可導(dǎo)，，因可導(dǎo)點(diǎn)集為直線，構(gòu)不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。（3），四個一階偏導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，并且處處滿足柯西—黎曼方程因此，函數(shù)處處可導(dǎo)，處處解析，且導(dǎo)數(shù)為（4），，，，因函數(shù)的定義域?yàn)?，故此，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導(dǎo)，處處不解析。當(dāng)取何值時在復(fù)平面上處處解析？解：，由柯西—黎曼方程得：由（1）得，由（2）得，因而，最終有證明：若解析，則有證明：由柯西—黎曼方程知，左端右端，證畢。證明：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則在D內(nèi)一定為常數(shù)。（1）在D內(nèi)解析，（2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)，（4）（5）證明：關(guān)鍵證明的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0！（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得------------------------（1）而由的解析性，又有------------------------（2）由（1）、（2）知，，因此即為常數(shù)（2）設(shè)，那么由柯西—黎曼方程得，說明與無關(guān)，因而，從而為常數(shù)。（3）由已知，為常數(shù)，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得----------------------------（1）因解析，所以又有-------------------------（2）求解方程組（1）、（2），得，說明皆與無關(guān)，因而為常數(shù)，從而也為常數(shù)。（4）同理，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有（5）同前面一樣，兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得考慮到柯西—黎曼方程，仍有，證畢。計(jì)算下列各值（若是對數(shù)還需求出主值）（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2），為任意整數(shù)，主值為：（3），為任意整數(shù)主值為：（4）（5），為任意整數(shù)（6），當(dāng)分別取0，1，2時得到3個值：，，求和解：，因此根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，，（為任意整數(shù)）設(shè)，求解：，因此解下列方程：（1）（2）（3）（4）解：（1）方程兩端取對數(shù)得：（為任意整數(shù)）（2）根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，應(yīng)有（3）由三角函數(shù)公式（同實(shí)三角函數(shù)一樣），方程可變形為因此即，為任意整數(shù)（4）由雙曲函數(shù)的定義得，解得，即，所以，為任意整數(shù)10．證明羅比塔法則：若及在點(diǎn)解析，且，則，并由此求極限證明：由商的極限運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)定義知，由此，用對數(shù)計(jì)算公式直接驗(yàn)證：（1）（2）解：記，則（1）左端，右端，其中的為任意整數(shù)。顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。（2）左端右端其中為任意整數(shù)，而不難看出，對于左端任意的，右端取或時與其對應(yīng)；反之，對于右端任意的，當(dāng)為偶數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)，而當(dāng)為奇數(shù)時，左端可取于其對應(yīng)。綜上所述，左右兩個集合中的元素相互對應(yīng)，即二者相等。證明證明：首先有，因此，第一式子證畢。同理可證第二式子也成立。證明（即）證明：首先，，右端不等式得到證明。其次，由復(fù)數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中的單調(diào)性方法可以證明時，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。設(shè)，證明證明：由復(fù)數(shù)的三角不等式，有，由已知，，再主要到時單調(diào)增加，因此有，同理，證畢。已知平面流場的復(fù)勢為（1）（2）（3）試求流動的速度及流線和等勢線方程。解：只需注意，若記，則流場的流速為，流線為，等勢線為，因此，有（1）流速為，流線為，等勢線為（2）流速為，流線為，等勢線為（3）流速為，流線為，等勢線為習(xí)題三答案計(jì)算積分，其中為從原點(diǎn)到的直線段解：積分曲線的方程為，即，，代入原積分表達(dá)式中，得計(jì)算積分，其中為（1）從0到1再到的折線（2）從0到的直線解：（1）從0到1的線段方程為：，從1到的線段方程為：，代入積分表達(dá)式中，得；（2）從0到的直線段的方程為，，代入積分表達(dá)式中，得，對上述積分應(yīng)用分步積分法，得積分，其中為（1）沿從0到（2）沿從0到解：（1）積分曲線的方程為，，代入原積分表達(dá)式中，得（2）積分曲線的方程為，，代入積分表達(dá)式中，得計(jì)算積分，其中為（1）從1到+1的直線段（2）從1到+1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得（2）的方程為，代入，得估計(jì)積分的模,其中為+1到-1的圓心在原點(diǎn)的上半圓周。解：在上，=1，因而由積分估計(jì)式得的弧長用積分估計(jì)式證明：若在整個復(fù)平面上有界，則正整數(shù)時其中為圓心在原點(diǎn)半徑為的正向圓周。證明：記，則由積分估計(jì)式得，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得，證畢。通過分析被積函數(shù)的奇點(diǎn)分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。（1）（2）（3）（4）（5）解：各積分的被積函數(shù)的奇點(diǎn)為：（1），（2）即，（3）（4）為任意整數(shù)，（5）被積函數(shù)處處解析，無奇點(diǎn)不難看出，上述奇點(diǎn)的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)解析，因此根據(jù)柯西基本定理，以上積分值都為0。計(jì)算下列積分：（1）（2）（3）解：以上積分皆與路徑無關(guān)，因此用求原函數(shù)的方法：（1）（2）（3）計(jì)算，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)為，根據(jù)其與的位置分四種情況討論：（1）皆在外，則在內(nèi)被積函數(shù)解析，因而由柯西基本定理（2）在內(nèi)，在外，則在內(nèi)解析，因而由柯西積分公式：（3）同理，當(dāng)在內(nèi)，在外時，（4）皆在內(nèi)此時，在內(nèi)圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：注：此題若分解，則更簡單！計(jì)算下列各積分解：（1），由柯西積分公式（2），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點(diǎn)，故此同上題一樣：‘;（3）在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點(diǎn)1，故此（5），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點(diǎn)，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復(fù)合閉路原理得：（6）為正整數(shù)，由高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算積分，其中為（1）（2）（3）解：（1）由柯西積分公式（2）同理，由高階導(dǎo)數(shù)公式（3）由復(fù)合閉路原理，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。積分的值是什么？并由此證明解：首先，由柯西基本定理，，因?yàn)楸环e函數(shù)的奇點(diǎn)在積分曲線外。其次，令，代入上述積分中，得考察上述積分的被積函數(shù)的虛部，便得到，再由的周期性，得即，證畢。設(shè)都在簡單閉曲線上及內(nèi)解析，且在上，證明在內(nèi)也有。證明：由柯西積分公式，對于內(nèi)任意點(diǎn)，，由已知，在積分曲線上，，故此有再由的任意性知，在內(nèi)恒有，證畢。設(shè)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，且，證明在內(nèi)；對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有證明：（1）顯然，因?yàn)槿粼谀滁c(diǎn)處則由已知，矛盾?。ㄒ部芍苯幼C明：，因此，即，說明）既然，再注意到解析，也解析，因此由函數(shù)的解析性法則知也在區(qū)域內(nèi)解析，這樣，根據(jù)柯西基本定理，對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有，證畢。15．求雙曲線（為常數(shù)）的正交（即垂直）曲線族。解：為調(diào)和函數(shù)，因此只需求出其共軛調(diào)和函數(shù)，則便是所要求的曲線族。為此，由柯西—黎曼方程，因此，再由知，，即為常數(shù)，因此，從而所求的正交曲線族為（注：實(shí)際上，本題的答案也可觀察出，因極易想到解析）16．設(shè)，求的值使得為調(diào)和函數(shù)。解：由調(diào)和函數(shù)的定義，因此要使為某個區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須，即。17．已知，試確定解析函數(shù)解：首先，等式兩端分別對求偏導(dǎo)數(shù)，得----------------------------------（1）-------------------------------（2）再聯(lián)立上柯西—黎曼方程------------------------------------------------------（3）----------------------------------------------------（4）從上述方程組中解出，得這樣，對積分，得再代入中，得至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中為任意實(shí)常數(shù)。注：此題還有一種方法：由定理知由此也可很方便的求出。18．由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)解：（1），由柯西—黎曼方程，，對積分，得，再由得，因此，所以，因，說明時，由此求出，至此得到：，整理后可得：（2），此類問題，除了上題采用的方法外，也可這樣：，所以，其中為復(fù)常數(shù)。代入得，，故此（3）同上題一樣，，因此，其中的為對數(shù)主值，為任意實(shí)常數(shù)。（4），，對積分，得再由得，所以為常數(shù)，由知，時，由此確定出，至此得到：，整理后可得19．設(shè)在上解析，且，證明證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計(jì)式，得，證畢。20．若在閉圓盤上解析，且，試證明柯西不等式，并由此證明劉維爾定理：在整個復(fù)平面上有界且處處解析的函數(shù)一定為常數(shù)。證明：由高階導(dǎo)數(shù)公式及積分估計(jì)式，得，柯西不等式證畢；下證劉維爾定理：因?yàn)楹瘮?shù)有界，不妨設(shè)，那么由柯西不等式，對任意都有，又因處處解析，因此可任意大，這樣，令，得，從而，即，再由的任意性知，因而為常數(shù)，證畢。習(xí)題四答案考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．（1）解：因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在，由定?.1知，數(shù)列不收斂．（2）解：，其中，則．因?yàn)?，，所以由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．（3）解：因?yàn)?，，所以由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．（4）解：設(shè)，則，因?yàn)?，都不存在，所以不存在，由定?.1知，數(shù)列不收斂．

下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂?(1)解：，由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．(2)解：，因?yàn)槭墙诲e級數(shù)，根據(jù)交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級數(shù)收斂，同樣可知，

也收斂，故級數(shù)是收斂的．又，因?yàn)榘l(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，從而級數(shù)條件收斂．(3)解：，因級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．(4)解：，由正項(xiàng)正項(xiàng)級數(shù)比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．試確定下列冪級數(shù)的收斂半徑．(1)解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．(2)解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．(3)解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．(4)解：令，則，故冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，即，從而冪級?shù)的收斂域?yàn)椋諗堪霃綖椋O(shè)級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．證明：在點(diǎn)處，，因?yàn)槭諗浚允諗?，故由阿貝爾定理知，時，收斂，且為絕對收斂，即收斂．時，，因?yàn)榘l(fā)散，根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較準(zhǔn)則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，由定理4.6，的收斂半徑也為1．如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn)處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂．證明：時，由阿貝爾定理，絕對收斂．時，，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對收斂．將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．（1）解：由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．根據(jù)例4.2的結(jié)果，可以得到．將上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得所要求的展開式=．（2）解：=1\*GB3①時，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．===．=2\*GB3②時，由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．==．（3）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．．（4）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．（5）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．=．（6）解：由于函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復(fù)平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．===．求下列函數(shù)展開在指定點(diǎn)處的泰勒展式，并寫出展式成立的區(qū)域．（1）解：，，．由于函數(shù)的奇點(diǎn)為，所以這兩個展開式在內(nèi)處處成立．所以有：．（2）解：由于所以．（3）解：=．展開式成立的區(qū)域：，即（4）解：，，，……，，，……，故有因?yàn)榈钠纥c(diǎn)為，所以這個等式在的范圍內(nèi)處處成立。將下列函數(shù)在指定的圓域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．(1)解：,,故有(2)解：=1\*GB3①在內(nèi)=2\*GB3②在內(nèi)(3)解：=1\*GB3①在內(nèi)，=2\*GB3②在內(nèi)(4)解：在內(nèi)(5)解：在內(nèi)故有將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．解：因?yàn)楹瘮?shù)的奇點(diǎn)為，所以它以點(diǎn)為心的去心鄰域是圓環(huán)域．在內(nèi)又故有10．函數(shù)能否在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)？為什么？答：不能。函數(shù)的奇點(diǎn)為,，所以對于，內(nèi)都有的奇點(diǎn)，即以為環(huán)心的處處解析的圓環(huán)域不存在，所以函數(shù)不能在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)．習(xí)題五答案求下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，說明其類型，如果是極點(diǎn)，指出它的級．（1）解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因由性質(zhì)5.2知，是函數(shù)的1級極點(diǎn)，均是函數(shù)的2級極點(diǎn)．（2）解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因，由極點(diǎn)定義知，是函數(shù)的2級極點(diǎn)．（3）解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，因，由性質(zhì)5.1知，是函數(shù)可去奇點(diǎn)．（4）解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是,=1\*GB3①，即時，因所以是的3級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的3級極點(diǎn)=2\*GB3②，時，令，，因，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點(diǎn)（5）解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是,令，，=1\*GB3①時，，，，由定義5.2知，是的2級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的2級極點(diǎn)，故是的2級極點(diǎn)．=2\*GB3②時，，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點(diǎn)，故是的１級極點(diǎn)．（６）解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)是，令，，=1\*GB3①時，因，所以是的2級零點(diǎn)，從而它是的2級極點(diǎn)．=2\*GB3②時，，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，由性質(zhì)5.5知，它是的１級極點(diǎn)．指出下列各函數(shù)的所有零點(diǎn)，并說明其級數(shù)．（1）解：函數(shù)的零點(diǎn)是，記，=1\*GB3①時，因，故是的2級零點(diǎn)．=2\*GB3②時，，，由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)．（2）解：函數(shù)的零點(diǎn)是，因，所以由性質(zhì)5.4知，是的2級零點(diǎn)．（3）解：函數(shù)的零點(diǎn)是，，，，記，=1\*GB3①時，是的1級零點(diǎn)，，的1級零點(diǎn)，的2級零點(diǎn)，所以是的4級零點(diǎn)．=2\*GB3②，時，，，由定義5.2知，，是的1級零點(diǎn)．=3\*GB3③，時，，，由定義5.2知，，是的1級零點(diǎn)．是函數(shù)的幾級極點(diǎn)？答：記，則，，，，，將代入，得：，，由定義5.2知，是函數(shù)的5級零點(diǎn)，故是的10級極點(diǎn)．證明：如果是的級零點(diǎn)，那么是的級零點(diǎn)．證明：因?yàn)槭堑募壛泓c(diǎn)，所以，，即，，由定義5.2知，是的級零點(diǎn)．求下列函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)．（1）解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，且均是其1級極點(diǎn)．由定理5.2知，，．（2）解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，且是函數(shù)的3級極點(diǎn)，由定理5.2，，．（3）解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因所以由定義5.5知，．（4）解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因所以由定義5.5知，．（5）解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是，因所以由定義5.5知，．（6）解：函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是．=1\*GB3①，即，因?yàn)樗允堑?級極點(diǎn)．由定理5.2，．=2\*GB3②時，記，則，因?yàn)?，所以由定義5.2知，是的1級零點(diǎn)，故它是的1級極點(diǎn)．由定理5.3，．利用留數(shù)計(jì)算下列積分（積分曲線均取正向）．（1）解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為2級極點(diǎn)，由定理5.2，，

由定理5.1知，．（2）解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為1級極點(diǎn)，所以由定理5.1及定理5.2，．（3）解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，因?yàn)?，所以由性質(zhì)5.1知是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，從而由定理5.1，，由定理5.1，．（4）解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，且為2級極點(diǎn)，由定理5.2，，由定理5.1，．（5）解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)，由性質(zhì)5.6知是函數(shù)的1級極點(diǎn)，由定理5.1，．（6）解：被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點(diǎn)為：，由定理5.3，這些點(diǎn)均為的1級極點(diǎn)，且由定理5.1，．計(jì)算積分，其中為正整數(shù)，．解：記，則的有限孤立奇點(diǎn)為，且為級極點(diǎn)，分情況討論如下：=1\*GB3①時，均在積分區(qū)域內(nèi)，由定理5.1，故有．=2\*GB3②時，均不在積分區(qū)域內(nèi)，所以．=3\*GB3③時，在積分區(qū)域內(nèi)，不在積分區(qū)域內(nèi)，所以習(xí)題五8．判斷是下列各函數(shù)的什么奇點(diǎn)？求出在的留數(shù)。

解：（1）因?yàn)樗?，是的可去奇點(diǎn)，且。（2）因?yàn)樗杂谑?，是的本性奇點(diǎn)，且。（3）因?yàn)樗匀菀卓闯?，展式中由無窮多的正冪項(xiàng)，所以是的本性奇點(diǎn)。。（4）因?yàn)樗允堑目扇テ纥c(diǎn)。。9．計(jì)算下列積分：

解：（1）（2）從上式可知，所以。10．求下列各積分之值：（1）解：設(shè)則，。于是（2）解：設(shè)則，。于是（3）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有一個奇點(diǎn)，且為2級極點(diǎn)。于是（4）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有和二個奇點(diǎn)，且都為1級極點(diǎn)。于是所以（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個奇點(diǎn)，且為1級極點(diǎn)。于是（6）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)，在上半平面內(nèi)只有一個奇點(diǎn)，且為1級極點(diǎn)。于是11．利用對數(shù)留數(shù)計(jì)算下列積分：解：（1），這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。（2）這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)；為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。(3)這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。(4)這里為函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)，為在內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。12．證明方程有三個根在環(huán)域內(nèi)

證明：令，。因?yàn)楫?dāng)時，有所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。又當(dāng)時，有所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。綜合上述得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。13．討論方程在與內(nèi)各有幾個根。

解：令，。因?yàn)楫?dāng)時，有所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。又當(dāng)時，有所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。根據(jù)上述還可以得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。14．當(dāng)時，證明方程與在單位圓內(nèi)有n個根。證明：令，。因?yàn)楫?dāng)時，有所以，當(dāng)時，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即n個。習(xí)題七答案試證：若滿足傅氏積分定理的條件，則有

證明：根據(jù)付氏積分公式，有求下列函數(shù)的傅氏變換：

（1）（2）

（3）（4）

解：（1）

f(t)(2)(3)(4)由于所以求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。

(1)證明

(2)證明。

解：(1)由傅氏積分公式，當(dāng)時所以，根據(jù)傅氏積分定理(2)

由傅氏積分公式所以，根據(jù)傅氏積分定理求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)(2)

(3)(4)

解：（1）(2)(3)由于所以(4)由于所以證明：若其中為一實(shí)函數(shù)，則

其中為的共軛函數(shù)。

證明：由于所以于是有7．若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。

證明：由于所以對上述積分作變換，則8．證明下列各式：

(1)（為常數(shù)）；

(2)

證明：（1）（2）9．計(jì)算下列函數(shù)和的卷積：(1)(2)

(2)(2)

解:(1)顯然，有當(dāng)時，由于=0，所以；當(dāng)時，（2）顯然，有所以，當(dāng)或或時，皆有=0。于是當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。又所以從而當(dāng)時，當(dāng)時，總結(jié)上述，得。10．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)(2)

(3)(4)

解：（1）由于根據(jù)位移性質(zhì)

（2）（3）根據(jù)位移性質(zhì)再根據(jù)像函數(shù)的位移性質(zhì)（4）由于根據(jù)微分性質(zhì)再根據(jù)位移性質(zhì)。習(xí)題八求下列函數(shù)的拉氏變換：(1)解：由拉氏變換的定義知：(2)解：由拉氏變換的定義以及單位脈動函數(shù)的篩選性質(zhì)知：求下列函數(shù)的拉氏變換：(1)解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：(2)解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：(3)解：法一：利用位移性質(zhì)。由拉氏變換的位移性質(zhì)知：法二：利用微分性質(zhì)。令則由拉氏變換的微分性質(zhì)知：即(4)解：因?yàn)楣视衫献儞Q的位移性知：(5)解：故(6)解：因?yàn)榧矗汗?7)解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。法二：利用微分性質(zhì)。令則由拉氏變換的微分性質(zhì)知：又因?yàn)樗?8)解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。因?yàn)楣史ǘ豪梦⒎中再|(zhì)。令，則故由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故3.利用拉氏變換的性質(zhì)計(jì)算下列各式：(1)求解：因?yàn)樗杂衫献儞Q的位移性質(zhì)知：(2)求解：設(shè)則由拉氏變換的積分性質(zhì)知：再由微分性質(zhì)得：所以4.利用拉氏變換的性質(zhì)求(1)解：法一：利用卷積求解。設(shè)則而由卷積定理知：法二：利用留數(shù)求解。顯然在內(nèi)有兩個2級極點(diǎn)。