概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章隨機變量及其分布詳解演示文稿

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章隨機變量及其分布詳解演示文稿目前一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點優(yōu)選概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章隨機變量及其分布目前二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點為了更方便地從數(shù)量方面研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)實數(shù)對應起來，將隨機試驗結果數(shù)量化。律，引入隨機變量的概念，即將隨機試驗的結果與目前三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點第一節(jié)隨機變量隨機變量概念的產生引入隨機變量的意義隨機變量的分類目前四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點一、隨機變量概念的產生在實際問題中，隨機試驗的結果可以用數(shù)量來表示，由此就產生了隨機變量的概念.目前五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點1.有些試驗結果本身與數(shù)值有關（本身就是一個數(shù)）.例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；四月份哈爾濱的最高溫度；每天進入一號樓的人數(shù)；昆蟲的產卵數(shù)；目前六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點2.在有些試驗中，試驗結果看來與數(shù)值無關，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結果.也就是說，把試驗結果數(shù)值化.正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應關系.

目前七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點這種對應關系數(shù)學上理解為定義了一種實值單值函數(shù).e.X(e)R定義1設隨機試驗的樣本空間在Ω上的實值單值函數(shù)，稱是定義為隨機變量。隨機變量的定義(簡記為r.v.)

把樣本點發(fā)生的概率轉化為隨機變量取得某個數(shù)字的概率，一般事件發(fā)生的概率轉化為數(shù)字集合的概率。樣本點←→數(shù)字目前八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點隨機變量定義在樣本空間Ω上,定義域可以是數(shù)也可以不是數(shù)；而普通函數(shù)是定義在實數(shù)域上的。2.隨機變量函數(shù)的取值在試驗之前無法確定,有一定的概率；而普通函數(shù)卻沒有。隨機變量函數(shù)和普通函數(shù)的區(qū)別1.定義域不同這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學中大家接觸到的函數(shù)不一樣！目前九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點

而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母

x,y,z,u,v,w等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z,U,V,W等表示目前十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點

有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.二、引入隨機變量的意義如：單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}{X1}{X=0}

目前十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點隨機變量非離散型隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量其它三、隨機變量的分類我們將研究兩類隨機變量：如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.目前十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.學習時請注意它們各自的特點和描述方法.目前十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例1對一均勻硬幣拋一次，觀察正反面情況。設為隨機變量。即事件A：結果出現(xiàn)正面，樣本空間同理目前十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例2測量某工廠一天生產燈泡的壽命。樣本空間設，其中，則X為隨機變量。壽命表示一事件A，例如例3某戰(zhàn)士射擊命中率為

,設首次擊中目標所需射擊

次數(shù)為,則隨機變量目前十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解例4一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回.設X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.當0.15X<1000×0.1時，報童賠錢故{報童賠錢}{X666}{報童賠錢}{賣出的報紙錢不夠成本}目前十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點隨機變量概念的產生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律目前十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點第二節(jié)離散型隨機變量及其分布一、離散型隨機變量的定義二、常用的離散型隨機變量目前十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點

從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量.(1)X可能取的值是0,1,2;

(2)取每個值的概率分別為看一個例子：一、離散型隨機變量分布律的定義定義1若隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,則稱X為離散型隨機變量.目前十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）定義2設

xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X

的分布律.用這兩條性質判斷一個函數(shù)是否是分布律目前二十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解依據(jù)分布律的性質P{X=k}≥0,

a≥0,從中解得即例2設隨機變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.目前二十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點離散型隨機變量表示方法（1）公式法（2）列表法X目前二十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例1某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解X的可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：

X這就是X的分布律.目前二十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例2

設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過三盞信號燈，每盞信號燈以概率允許汽車通過,變量表示汽車停車次數(shù)(設各信號燈的工作是相互獨立的）,求的分布律。解由題意可知的分布律為，則目前二十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點將帶入可得的分布律為目前二十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例3設一均勻的硬幣拋三次為一次試驗，為正面出現(xiàn)的次數(shù)，求隨機變量的分布律。解Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}則目前二十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例4設X為離散型隨機變量，其分布律為：Xp-1011/21-2qq2解

目前二十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，解顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak={第k次命中}，k=1,2,…，設于是已知他每發(fā)命中的概率是p，求射擊次數(shù)X的分布列.例5

目前二十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點可見這就是所求射擊次數(shù)X的分布律.若隨機變量X的分布律如上式，不難驗證:幾何分布.則稱X服從目前二十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點Ⅰ.(0—1)分布定義1.如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的(0—1)分布。即或二、常用的離散型隨機變量及其分布（0—1）分布的分布律也可寫成目前三十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點

注

服從（0—1）分布的隨機變量很多，如果涉及的試驗只有兩個互斥的結果：，都可在樣本空間上定義一個服從（0—1）分布的隨機變量：目前三十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點下面我們將介紹一個重要的離散型隨機變量的分布---------二項分布目前三十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點1.伯努利概型（概率論中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理論上一些重要的結果也由它推導）①n重獨立試驗在相同的條件下對試驗E重復做n次，若n次試驗中各結果是相互獨立的，則稱這n次試驗是相互獨立的。Ⅱ.二項分布“重復”是指這n次試驗中P(A)=p保持不變.“獨立”是指各次試驗的結果互不影響.目前三十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點②伯努利概型設隨機試驗E只有兩種可能結果，且將試驗E獨立地重復進行n次，則稱這n次試驗為n重伯努利試驗，或稱n重伯努利概型。擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”抽驗產品：“是正品”，“是次品”一般地，設在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結果：A

或.這樣的試驗E稱為伯努利試驗

.目前三十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點2.二項分布引例：某人打靶單發(fā)命中率為現(xiàn)獨立重復射擊3次，求恰好命中2發(fā)的概率。解表示“第i次命中”表示“恰好命中兩次”由此可得：n重伯努利試驗中,“事件恰好發(fā)生k次”,即的概率為目前三十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點定義2如果隨機變量的分布律為則稱服從參數(shù)為的二項分其中布，記為容易驗證二項式定理特別,當時,二項分布為這就是（0-1）分布，常記為目前三十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點3.二項分布的分布形態(tài)若，則由此可知，二項分布的分布律(右圖)先是隨著到其最大值后再隨著的增大而減小.這個使得達到其最大值的稱為該二項分布的最可能次數(shù)。的增大而增大,達目前三十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點當(n+1)p不為整數(shù)時，二項概率P{X=k}在k=[(n+1)p]達到最大值；n=10,p=0.7kpk當(n+1)p為整數(shù)時，二項概率P{X=k}在

k=(n+1)p和

k=(n+1)p-1處達到最大值.n=13,p=0.5pkk0目前三十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點二項分布的取值情況設.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當

時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8目前三十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點設.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當時，分布取得最大值0.22?目前四十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點目前四十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點表示所取的3個中的次品數(shù)，，于是所求概率為解設注若將本例中的“有放回”改為“無放回”，那么各次試驗條件就不同了，不是伯努利概型，此時只能用古典概型求解.例4已知100個產品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求所取3個中恰有2個次品的概率。目前四十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點古典概型與伯努利概型不同，有何區(qū)別？請思考：伯努利概型對試驗結果沒有等可能的要求，（1）每次試驗條件相同；（2）每次試驗只考慮兩個互逆結果且（3）各次試驗相互獨立.但有下述要求：目前四十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例5一大批產品中一級品率為0.2，現(xiàn)隨機抽查20只，問20只元件中恰好有為一級品的概率為多少？解設表示20只元件中為一級品的只數(shù)，這個試驗可以看作伯努利試驗。目前四十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例6某人射擊命中率為0.02，獨立射擊400次，試求至少擊中2次的概率？解

設表示擊中的次數(shù)，則所以分布律則所求概率本例題的實際意義：目前四十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點①

不可忽視小概率事件，小概率事件雖不易發(fā)生，但重復次數(shù)多了，就成大概率事件.②反過來看，如果一個人射擊400次，擊中竟不到兩次，由于很小，故懷疑“命中率0.02”是否為真，即他的命中率不到0.02。目前四十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例如：設發(fā)行的彩票中獎率是0.001，假定發(fā)行的彩票數(shù)量巨大，以至于不論別人是否中獎均不會改變你抽獎時的中獎率。求買n張彩票能中獎的概率pn。此外由于中獎率是千分之一，問買1000張彩票中獎概率是否接近于1？彩票中獎問題解

設表示n張彩票中中獎的票數(shù)，則即目前四十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點則n張彩票能中獎的概率為n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993買3000張彩票中獎率已達到95%，再多買2000張中獎的概率僅增加了4.3%！目前四十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例如：保險公司有10000人參加人身意外保險。該公司規(guī)定：每人每年付公司120元，若意外死亡，公司將賠償10000元。若每人每年意外死亡率為0.006，試討論該公司是否會虧本，其利潤狀況如何。人身保險問題分析：公司收入為120×10000=120萬元解設表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司虧本意味著：死亡人數(shù)超過了120人。目前四十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點則公司虧本的概率為解設表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司幾乎不會虧本!！目前五十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點該公司利潤不少于40萬元的概率為公司的利潤狀況解設表示10000人中意外死亡的人數(shù)，則即公司盈利幾乎是必然的!！目前五十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點由此可見日常生活中“提高警惕,防火防盜”的重要性.由于時間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用驚慌.同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正?，F(xiàn)象,大可不必怨天尤人,更不要想不開。目前五十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例780臺同類型設備，各臺工作相互獨立，發(fā)生故障的概率，有兩種配備維修工人的方法：①4個人每人負責20臺；②3個人共同負責80臺。問那種方案好?(比較發(fā)生故障而不能及時維修的概率)解

設表示“第一個人維護的20臺中同時發(fā)生故障的臺數(shù)”，表示“第i個人維護的20臺中發(fā)生故障而不能及時維修”，由題意可得目前五十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點①第一個人維護的20臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為4個人維護的80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率目前五十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點②設表示“80臺同時發(fā)生故障的臺數(shù)”則3人維護的80臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率總之即第②種方案的工作效率高。目前五十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點定理1（泊松Poisson定理)設是一常數(shù)，n是正整數(shù)，若，則對任一固定的非負整數(shù)證由得目前五十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點對于任意固定的故有目前五十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點注：①②麥克勞林級數(shù)目前五十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點定義1設隨機變量所有可能取的值為0,1,2,…,而且概率分布為：Ⅲ.泊松分布其中，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記注

二項分布是最重要的離散型概率分布之一，當時，即為（0—1）分布；當時，二項分布近似于泊松分布。目前五十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點泊松分布的圖形特點：目前六十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點當n

很大，p很小時，泊松定理表明

泊松分布是二項分布的極限分布，參數(shù)=np的泊松分布二項分布就可近似看成是目前六十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點在實際計算中,當n

20,p0.05時,可用上述公式近似計算;而當n

100,np10時,精度更好

00.3490.3580.3690.366

0.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015按二項分布Possion

公式

k

n=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1

目前六十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為的泊解由題意,求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.例1目前六十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例2某城市有1%色盲者，問從這個城市里選出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于0.95？解設選出n個人，n人中色盲患者為則兩邊取對數(shù)所以得目前六十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點有產品15000件，其中次品150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法1

超幾何分布解法2

二項分布為次品率，X~b(100,0.01)解法3

泊松分布例3目前六十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點近數(shù)十年來，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一。泊松分布在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都占有重要的地位。泊松分布的應用目前六十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點在某個時段內：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個容器中的細菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點個數(shù)；⑥⑦⑧應用場合放射性物質發(fā)出的粒子數(shù)；目前六十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解

(1)設需要配備N個維修工人,設X為90臺設備中發(fā)生故障的臺數(shù)，則X~b(90,0.01)

設同類型設備90臺，每臺工作相互獨立，每臺設備發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下，一臺設備發(fā)生故障可由一個人獨立維修，每人同時也只能維修一臺設備.問至少要配備多少維修工人，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?(2)問3個人共同負責90臺還是3個人各自獨立負責30臺設備發(fā)生故障不能及時維修的概率低？附例目前六十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點令則查附表3得N=4目前六十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點三個人共同負責90臺設備發(fā)生故障不能及時維修的概率為目前七十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點設30臺設備中發(fā)生故障的臺數(shù)為

Y

~b(30,0.01)設每個人獨立負責30臺設備，第i個人負責的30臺設備發(fā)生故障不能及時維修為事件Ai

則三個人各獨立負責30臺設備發(fā)生故障不能及時維修為事件故

三個人共同負責90臺設備比各自負責好！目前七十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點作業(yè)P57：4,5，6目前七十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質第三節(jié)隨機變量的分布函數(shù)

目前七十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點為X的分布函數(shù)。記作設X是一個隨機變量，定義1是任意實數(shù)，稱函數(shù)的值就表示X落在區(qū)間上的概率.分布函數(shù)一、分布函數(shù)的概念目前七十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點

由定義，對任意實數(shù)上的概率，用F(x)刻畫隨機點落在功能式區(qū)間由于得同理，還可以寫出目前七十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.目前七十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學的工具來研究隨機變量.目前七十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點當

x<0時，{X

x}=，故

F(x)=0例1設隨機變量X的分布律為當0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解X求X的分布函數(shù)F(x).目前七十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點當1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當

x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1目前七十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.目前八十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點的分布函數(shù)圖目前八十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解

(1)①當時，②當時，則例2設隨機變量X的分布律為求(1)X

的分布函數(shù)；(2)目前八十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點③當時，則④當時，為必然事件，則所以離散型的分布函數(shù)為階梯函數(shù)；xk為間斷點；目前八十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點(2)目前八十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點一般地，設離散型隨機變量的分布律為由概率的可列可加性得的分布函數(shù)為目前八十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點二、分布函數(shù)的性質⑴單調不減性：⑶右連續(xù)性：對任意實數(shù)⑵歸一性：對任意實數(shù)，且，則具有上述三個性質的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質是分布函數(shù)的充分必要性質。目前八十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點試說明F(x)能否是某個r.v

的分布函數(shù).例2

設有函數(shù)

F(x)

解

注意到函數(shù)

F(x)在

上下降，不滿足性質(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(2)，可見F(x)也不能是r.v

的分布函數(shù).或者目前八十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解例3已知，求A、B。所以目前八十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例4

已知離散型隨機變量X

的分布函數(shù)為求X的分布律。解

X的可能取值為3，4，5。目前八十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點所以X的分布律為目前九十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例5

已知X

表示彈著點與靶心的距離，⑴擊中靶上任一同心圓盤上點的概率與該圓盤面積成正比；⑵靶子半徑是2米；⑶每次射擊都中靶。求X的分布函數(shù)F(x)。解因為當時，不可能發(fā)生，當時，X目前九十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點由當時，總之X的分布函數(shù)為目前九十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點引出連續(xù)型隨機變量的特點：⑴F(x)是連續(xù)函數(shù)；⑵存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)x點有例如在上例中目前九十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點對任意實數(shù)x有顯然目前九十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點作業(yè)P58：8,10目前九十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其分布

一、連續(xù)型隨機變量的定義二、常用的連續(xù)型隨機變量目前九十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例：測試燈泡的壽命，用X表示燈泡的壽命；引例例：測試上課遲到情況,用X表示你到達教室的時間.特點：X的取值充滿一個區(qū)間[a,b]或[a,+∞)X的取值無法一一列出；這類問題，人們關心的重點是什么？？目前九十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點

例題人們對產品的了解是，壽命不超過500小時的概率為0.71，壽命在500到800小時之間的概率是0.22，在800到1000小時之間的概率為0.07.可畫圖示意，用矩形的面積表示相應的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000為了更精確，無限細分下去，…，得到一條曲線目前九十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點f(x)x圖中“曲邊梯形”（陰影區(qū)域）的面積即為X落在區(qū)間[a,b]上的概率.該曲線稱為隨機變量X的分布密度曲線.曲線對應的函數(shù)稱為隨機變量X的分布密度函數(shù)，記為f(x).分布密度函數(shù)f(x)完全描述了隨機變量X的規(guī)律.目前九十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點一、連續(xù)型隨機變量的定義定義1.

設F(x)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負，使對任意實數(shù)x,有則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。常記為函數(shù)1.概率密度目前一百頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點2.概率密度的性質⑴非負性⑵歸一性由于可由下圖表示f(x)x面積為1這兩條性質是判定一個函是否為某隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件。數(shù)目前一百零一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑶對于任意實數(shù)，有這是因為這里事件并非不可能事件，但可見由，不一定能推出由，不一定能推出稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件.目前一百零二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑷對于任意的數(shù)有f(x)x連續(xù)型隨機變量X落在某區(qū)間上的概率在該區(qū)間上的改變量在該區(qū)間上的積分(與端點是否在內無關)圖中陰影部分目前一百零三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑸分布函數(shù)上連續(xù)，且密度函數(shù)不唯一（在個別點的值可不同）。⑹概率密度在點處連續(xù)，則有即目前一百零四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點如果把概率理解為質量，故X

的密度上的概率與區(qū)間長度之比的極限。這里，相當于線密度。區(qū)間在這一點的值，恰好是X落在這表示X落在小區(qū)間上的概率近似地等于若不計高階無窮小，有：在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。目前一百零五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點的高度反映了隨機點集中在該點附近的密集程度.要注意的是:密度函數(shù)并不是的概率.但是這個高度越大，則X取附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線f(x)0x1在某點處

的高度目前一百零六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解例1求下列函數(shù)是否為概率密度函數(shù)是顯然的；故f(x)可以作為密度函數(shù)。目前一百零七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解例2目前一百零八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例3設X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為求⑴常數(shù)A；⑵；⑶X的分布函數(shù)。解

⑴由得則目前一百零九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑵⑶當時，當時，目前一百一十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點得當時，所以由于f(x)是分段表達的，求F(x)時注意分段求.目前一百一十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例5設隨機變量X的概率密度函數(shù)為：求隨機變量X的分布函數(shù)。解根據(jù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的積分表示得目前一百一十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點目前一百一十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點綜上得分布函數(shù)為：目前一百一十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點概率密度函數(shù)圖形：稱為山形函數(shù)目前一百一十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點分布函數(shù)的圖形目前一百一十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點練習

已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)r.v.,其密度函數(shù)為(1)求常數(shù)c(2)計算解(1)令c=1000目前一百一十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點(2)

目前一百一十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點作業(yè)P58：12,14目前一百一十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點二、幾種常用的連續(xù)型隨機變量1.均勻分布定義

若隨機變量X的概率密度為：則稱X

服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作目前一百二十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點均勻分布的密度函數(shù)的驗證設，其中是其概率密度，則有由此可知確是概率密度。目前一百二十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點均勻分布的分布函數(shù)當時，由于當時，當時，則分布函數(shù)為目前一百二十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點xf(x)abxF(x)ba目前一百二十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點因為均勻分布的概率背景說明：X取值在（a，b）中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比。與小區(qū)間的位置無關。這正是幾何概型的情形目前一百二十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解依題意，

X～U[0,30]

以7:00為起點0，以分為單位隨機變量，例1

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻試求他候車時間少于5分鐘的概率.目前一百二十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3。目前一百二十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⒉指數(shù)分布若隨機變量X的概率密度為：指數(shù)分布。為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為其中的概率密度的圖形指數(shù)分布的分布函數(shù)為目前一百二十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點1xF(x)0xf(x)0目前一百二十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點密度函數(shù)的驗證目前一百二十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點對于任意的0<a<b,應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似目前一百三十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩.電子元件的壽命X(年）服從λ＝3的指數(shù)分布例2(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。年的概率為多少？由已知得X的概率密度為目前一百三十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點由⑴、⑵結果得：指數(shù)分布具有無記憶性，即目前一百三十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題目前一百三十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解(1)例3

假定一大型設備在任何長為t的時間內發(fā)生故障的次數(shù),求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;設備已正常運行８小時的情況下，再正常運行10小時的概率.目前一百三十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”目前一百三十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解由題意知，其中現(xiàn)在X的概率密度為例4假設顧客在某銀行窗口等待服務的時間(單位:分鐘)X服從指數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時間超過10分鐘，則他離開，假設他一個月內要來銀行5次。以Y表示一個月內他沒有等到服務而離開窗口的次數(shù)，求Y的分布律及至少有一次沒有等到服務的概率目前一百三十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點因此所以Y的分布律為于是目前一百三十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例5

設隨機變量X服從[1，6]上的均勻分布，求一元二次方程有實根的概率。解因為當時，方程有實根，故所求概率為而X的概率密度為從而目前一百三十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⒊正態(tài)分布例：在大量重復試驗中，得到一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)雖然有波動，但總是以某個常數(shù)為中心。偏離中心越近的數(shù)據(jù)越多；偏離中心越遠的數(shù)據(jù)越少。取值呈“中間大、兩頭小”的格局，即取值具有對稱性。此隨機變量是一個服從正態(tài)分布的隨機變量。目前一百三十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點正態(tài)分布的重要性⑶正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．⑴大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布。⑵正態(tài)分布有許多良好的性質.正態(tài)分布在十九世紀前葉由高首次露面。德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項分布概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的斯加以推廣和應用，所以通常稱為高斯分布。德莫佛高斯目前一百四十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點德國1993年10馬克高斯在他于1809年發(fā)表的“最小二乘法”的基礎上建立的正態(tài)分布方程，是概率統(tǒng)計中一個非常重要的工具，廣泛應用于數(shù)學、物理學等領域。目前一百四十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點Ⅰ.正態(tài)分布的定義定義1設連續(xù)型隨機變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為定義2當時，X的概率密度為目前一百四十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點則稱X服從標準正態(tài)分布，記為的圖形如下圖所示以上鐘形曲線叫做正態(tài)曲線，故滿足以下特性。x0目前一百四十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點Ⅱ.正態(tài)分布概率密度的幾何形態(tài)（性質）⑴證？目前一百四十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點計算（利用高數(shù)知識）令，則設，故，故代入得可以直接引用目前一百四十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑵

曲線關于對稱，，有（如下圖）這表明對于任意⑶

當時，f(x)取得最大值x離μ越遠，f(x)的值就越小。目前一百四十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑷

曲線在處有拐點；曲線以軸為漸近線，⑸

若σ固定，而改變μ的值，則f(x)的圖形沿x軸平行移動，但不改變其形狀，因此定。（如右圖）的圖形的位置完全由參數(shù)μ所決目前一百四十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點決定了圖形中峰的陡峭程度，正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。稱σ為形狀參數(shù)。目前一百四十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點Ⅲ.正態(tài)分布的分布函數(shù)設，X的分布函數(shù)是目前一百四十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點而，即X服從標準正態(tài)分布的分布的分布函數(shù)為目前一百五十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點x0x-x當x≥０時,可直接查表求當x<０時

,如右圖可得

227頁目前一百五十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例1解設隨機變量，試求⑵.⑶.⑴.目前一百五十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點Ⅳ.正態(tài)分布標準化一般地，若，我們只要通過一個線性變換就能將它化成標準正態(tài)分布。定理1若隨機變量，則證要求的分布函數(shù)目前一百五十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點標準正態(tài)分布的分布函數(shù)所以目前一百五十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點結論①若，則它的分布函數(shù)可以寫成②若目前一百五十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點解例2設隨機變量，試求：⑴，⑵⑴目前一百五十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例2設隨機變量，試求：⑴，⑵解目前一百五十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點已知，求解例3查表得查表得目前一百五十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的.設男子身高X～N(170,62),問車門高度應如何確定?解設車門高度為hcm,按設計要求即因為X～N(170,62)，0.99故查表得例4即設計車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機會不超過0.01。目前一百五十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點3σ準則時，可以認為，Y的取值幾乎全部集中在的區(qū)間內。這在統(tǒng)計學上稱為準則”當由3準則知，當目前一百六十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例5設解

由圖形可得目前一百六十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例6.在電壓不超過200伏,在200-240伏和超過240伏三種情況下,某種元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設電壓求:1)該元件損壞的概率2)該元件損壞時,電壓在200-240伏的概率解:設分別表示電壓不超過200伏,在200-240伏,超過240伏＝“元件損壞”目前一百六十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點由題意由全概公式目前一百六十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點由題意由全概公式2)由貝葉斯公式例6.目前一百六十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點0因為由圖可知所以查表可得故則稱點為標準正態(tài)分布的上α分位點。定義設，若滿足條件目前一百六十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)0目前一百六十六頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點作業(yè)P59：15,16,17目前一百六十七頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點第七節(jié)隨機變量的函數(shù)的分布

一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布目前一百六十八頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點本節(jié)的任務：已知隨機變量X的分布，并且已知Y=g(X),要求隨機變量Y的分布(分布律或分布密度)一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布當X為離散型隨機變量時，Y=g(X)也是離散型隨機變量，并且在X分布律已知的情況下，求Y的分布律是很容易的。目前一百六十九頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例1已知X

的分布律為求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴故Y的分布律為目前一百七十頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點⑵故Z的分布律為目前一百七十一頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點注意⒈設互不相等時，則由可得⒉當，則把那些相等的值合并，并根據(jù)概率的可加性把對應的概率相加得到Y的分布律。目前一百七十二頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例2設某工程隊完成某項工程所需時間為X(天)近似服從參數(shù)為的正態(tài)分布，獎金方法規(guī)定，若在100天內完成，則得超產獎10000元；若在若在100天至115天內完成，則得超產獎1000元；若完成時間超過115天，則罰款5000元。求該工程隊在完成這項工程時，獎金額Y的分布律。解依題意目前一百七十三頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點可見Y是X的函數(shù)，且是離散型隨機變量。則Y的分布律為目前一百七十四頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點Ⅰ.分布函數(shù)法（一般的函數(shù)都適用）⑴

先求的分布函數(shù)⑵

再利用的分布函數(shù)與概率密度之間的關系求的概率密度為三、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布目前一百七十五頁\總數(shù)一百九十六頁\編于十五點例3已知X的密度函數(shù)為為常數(shù)，且a0