2020-2021學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2020-2021學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，那么A∩B＝（）A．{0，1} B．{x|0≤x＜2} C．{﹣1，0} D．{0，1，2}2．（4分）在等差數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2+a4＝10，則a20＝（）A．35 B．37 C．39 D．413．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．4．（4分）若函數(shù)f（x）＝，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢．[0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，1）5．（4分）若關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無(wú)解，則a＝（）A．2 B． C．1 D．6．（4分）下列函數(shù)中，同時(shí)滿足①對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）；②存在區(qū)間D，f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A．y＝sinx B．y＝x3 C． D．y＝lnx7．（4分）已知{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，那么“a1＞0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）某校實(shí)行選科走班制度（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)為必選科目，此外學(xué)生需在物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治六科中任選三科）．根據(jù)學(xué)生選科情況，該校計(jì)劃利用三天請(qǐng)專家對(duì)九個(gè)學(xué)科分別進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，每天依次安排三節(jié)課，每節(jié)課一個(gè)學(xué)科．語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)只排在第二節(jié)；物理、政治排在同一天，化學(xué)、地理排在同一天，生物、歷史排在同一天，則不同的排課方案的種數(shù)為（）A．36 B．48 C．144 D．2889．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是直線x+y＝m上的兩點(diǎn)，且|AB|＝10．若對(duì)于任意點(diǎn)P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，則m的最大值為（）A． B．4 C． D．810．（4分）為了預(yù)防某種病毒，某商場(chǎng)需要通過(guò)噴灑藥物對(duì)內(nèi)部空間進(jìn)行全面消毒．出于對(duì)顧客身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過(guò)0.25毫克/立方米時(shí)，顧客方可進(jìn)入商場(chǎng)．已知從噴灑藥物開始，商場(chǎng)內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝（a為常數(shù)），函數(shù)圖象如圖所示．如果商場(chǎng)規(guī)定10：00顧客可以進(jìn)入商場(chǎng)，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是（）A．9：40 B．9：30 C．9：20 D．9：10二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y＝0上，則實(shí)數(shù)a＝．12．（5分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y＝x，那么該雙曲線的離心率為．13．（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，那么＝；若，則x+y＝．14．（5分）函數(shù)的最小正周期T＝，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象．若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的最大值為2，則φ的值可以為．15．（5分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為||PQ||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點(diǎn)A，B，C滿足||AC||+||CB||＝||AB||，給出下列四個(gè)結(jié)論：①A，B，C三點(diǎn)可能共線；②A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成銳角三角形；③A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成直角三角形；④A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成鈍角三角形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分別為BB1，AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BE∥平面A1CD；（Ⅱ）求直線B1E與平面A1CD所成角的正弦值．17．（13分）在△ABC中，已知b＝5，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：；條件②：a＝4．18．（14分）全社會(huì)厲行勤儉節(jié)約，反對(duì)餐飲浪費(fèi)．某市為了解居民外出就餐有剩余時(shí)是否打包，進(jìn)行了一項(xiàng)“舌尖上的浪費(fèi)”的調(diào)查，對(duì)該市的居民進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，將獲得的數(shù)據(jù)按不同年齡段整理如表：男性女性打包不打包打包不打包第1段250650450650第2段300600550550第3段600400750250第4段850350650150假設(shè)所有居民外出就餐有剩余時(shí)是否打包相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該市男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率，該市女性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率；（Ⅱ）從該市男性居民中隨機(jī)抽取1人，女性居民中隨機(jī)抽取1人，記這2人中恰有X人外出就餐有剩余時(shí)打包，求X的分布列；（Ⅲ）假設(shè)每年齡段居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率與表格中該段居民外出就餐有剩余時(shí)打包的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k段居民外出就餐有剩余時(shí)打包，“ξk＝0”表示第k段居民外出就餐有剩余時(shí)不打包（k＝1，2，3，4），寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4的大小關(guān)系．（只需寫出結(jié)論）19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，且f（x）+a≤0對(duì)于x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍．20．（15分）已知橢圓過(guò)A（0，2），B（﹣3，﹣1）兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）直線AB與x軸交于點(diǎn)M（m，0），過(guò)點(diǎn)M作不垂直于坐標(biāo)軸且與AB不重合的直線l，l與橢圓W交于C，D兩點(diǎn)，直線AC，BD分別交直線x＝m于P，Q兩點(diǎn)，求證：為定值．21．（15分）已知{an}是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An，最小值記為Bn，令．（Ⅰ）若an＝2n（n＝1，2，3，…），寫出b1，b2，b3的值；（Ⅱ）證明：bn+1≥bn（n＝1，2，3，???）；（Ⅲ）若{bn}是等比數(shù)列，證明：存在正整數(shù)n0，當(dāng)n≥n0時(shí)，an，an+1，an+2，…是等比數(shù)列．

2020-2021學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，那么A∩B＝（）A．{0，1} B．{x|0≤x＜2} C．{﹣1，0} D．{0，1，2}【分析】可求出集合B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥0}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）在等差數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2+a4＝10，則a20＝（）A．35 B．37 C．39 D．41【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求d，進(jìn)而可求．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2+a4＝2a1+4d＝10，所以d＝2，則a20＝a1+19d＝1+38＝39．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的表面積．【解答】解：根據(jù)三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為四棱柱體．如圖所示：所以＝11+2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的表面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）若函數(shù)f（x）＝，則函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋ǎ〢．[0，1） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，0）∪（0，1） D．（﹣∞，1）【分析】根據(jù)分段函數(shù)f（x）的解析式即可求出每段上f（x）的范圍，然后即可得出f（x）的值域．【解答】解：∵x≥0時(shí)，﹣x2≤0；x＜0時(shí)，0＜2x＜1，∴f（x）的值域?yàn)椋海ī仭蓿?）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)值域的定義及求法，分段函數(shù)值域的求法，二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)值域的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）若關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無(wú)解，則a＝（）A．2 B． C．1 D．【分析】由方程組無(wú)解得到直線4x+2y+1＝0與直線2x+ay+1＝0平行，再由直線與直線平行的性質(zhì)能求出a．【解答】解：∵關(guān)于x，y的方程組（a∈R）無(wú)解，∴直線4x+2y+1＝0與直線2x+ay+1＝0平行，∴，解得a＝1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線與直線平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（4分）下列函數(shù)中，同時(shí)滿足①對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）；②存在區(qū)間D，f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A．y＝sinx B．y＝x3 C． D．y＝lnx【分析】由基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性逐一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，y＝sinx為奇函數(shù)，滿足①，且在區(qū)間（，π）上單調(diào)遞減，滿足②，故A符合題意；對(duì)于B，y＝x3為奇函數(shù)，滿足①，但在R上單調(diào)遞增，不滿足②，故B不符合題意；對(duì)于C，y＝為偶函數(shù)，不滿足①，故C不符合題意；對(duì)于D，y＝lnx為非奇非偶函數(shù)，不滿足①，故D不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7．（4分）已知{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，那么“a1＞0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可知前n項(xiàng)和的單調(diào)性與首項(xiàng)和公比有關(guān)，結(jié)合充分條件必要條件的定義進(jìn)行判定即可．【解答】解：當(dāng)a1＞0時(shí)，若q＜0，因?yàn)槿鬭n＞0則an+1＜0，即Sn＞Sn+1，顯然{Sn}不是遞增函數(shù)；若數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列，則Sn﹣Sn﹣1＞0，Sn+1﹣Sn＞0，即an＞0，an+1＞0，所以，而，所以“a1＞0”是“數(shù)列{Sn}為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的求和，以及充分條件、必要條件的判定，解題的關(guān)鍵是弄清等比數(shù)列前n項(xiàng)和的單調(diào)性與什么有關(guān)．8．（4分）某校實(shí)行選科走班制度（語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)為必選科目，此外學(xué)生需在物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治六科中任選三科）．根據(jù)學(xué)生選科情況，該校計(jì)劃利用三天請(qǐng)專家對(duì)九個(gè)學(xué)科分別進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，每天依次安排三節(jié)課，每節(jié)課一個(gè)學(xué)科．語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)只排在第二節(jié)；物理、政治排在同一天，化學(xué)、地理排在同一天，生物、歷史排在同一天，則不同的排課方案的種數(shù)為（）A．36 B．48 C．144 D．288【分析】根據(jù)題意，對(duì)于6門小科，將物理、政治看成一組，將化學(xué)、地理看成一組，將生物、歷史看成一組，分3步進(jìn)行分析3天的安排方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于6門小科，將物理、政治看成一組，將化學(xué)、地理看成一組，將生物、歷史看成一組，分3步進(jìn)行分析：①在語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)中任選1節(jié)，安排在第一天的第二節(jié)，在三組小科中任選1組，安排在第一天的其他兩節(jié)，有3×3×2＝18種選，②在剩下的兩門主科中任選1節(jié)，安排在第二天的第二節(jié)，在剩下的2組小科中任選1組，安排在第二天的其他兩節(jié)，有2×2×2＝8種選，③將最后的一門主科安排在第三天的第二節(jié)，最后的一組小科安排在第三天的其他兩節(jié)，有2種情況，則有18×8×2＝288種排課方法，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，A，B是直線x+y＝m上的兩點(diǎn)，且|AB|＝10．若對(duì)于任意點(diǎn)P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，則m的最大值為（）A． B．4 C． D．8【分析】由題意可得點(diǎn)P在單位圓O：x2+y2＝1上，圓O上的點(diǎn)到直線x+y＝m的最大距離不能超過(guò)5，即d+1≤5，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得m的最大值．【解答】解：由已知可得點(diǎn)P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π）在單位圓O：x2+y2＝1上，因?yàn)椤螦PB＝90°，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，因?yàn)閨AB|＝10．所以半徑為5，所以點(diǎn)P到AB中點(diǎn)C的距離為5，所以圓O上任意點(diǎn)P，總能找到一點(diǎn)C，使|CP|＝5，且點(diǎn)C在直線x+y＝m上，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝m，所以m為直線x+y＝m在y軸上的截距，m最大，即直線x+y＝m的截距最大，直線越往上，因?yàn)閷?duì)于任意點(diǎn)P（cosθ，sinθ）（0≤θ＜2π），存在A，B使∠APB＝90°成立，所以圓O上的點(diǎn)到直線x+y＝m的最大距離不能超過(guò)5，而圓O上的點(diǎn)到直線x+y＝m的最大距離為圓心O到直線x+y＝m的距離d加圓O的半徑1，即d+1≤5，d≤4，所以≤4，所以m≤4，所以m的最大值為4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．10．（4分）為了預(yù)防某種病毒，某商場(chǎng)需要通過(guò)噴灑藥物對(duì)內(nèi)部空間進(jìn)行全面消毒．出于對(duì)顧客身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過(guò)0.25毫克/立方米時(shí)，顧客方可進(jìn)入商場(chǎng)．已知從噴灑藥物開始，商場(chǎng)內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）與時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為y＝（a為常數(shù)），函數(shù)圖象如圖所示．如果商場(chǎng)規(guī)定10：00顧客可以進(jìn)入商場(chǎng)，那么開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是（）A．9：40 B．9：30 C．9：20 D．9：10【分析】由圖象可知當(dāng)t＝10時(shí)y＝1，代入求出a的值，再令≤0.25，即可求出t的取值范圍．【解答】解：由圖象可知，當(dāng)t＝10時(shí)，y＝1，∴＝1，解得a＝1，∴y＝，令≤0.25，得：，解得t≥30，所以開始噴灑藥物的時(shí)間最遲是9點(diǎn)30分，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a+i）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y＝0上，則實(shí)數(shù)a＝1．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a+i）＝﹣1+ai對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，a）在直線x+y＝0上，∴﹣1+a＝0，解得a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y＝x，那么該雙曲線的離心率為．【分析】由題意可得＝，即a2＝4b2，結(jié)合a2+b2＝c2，可得＝，開方可得e＝的值．【解答】解：由題意可得雙曲線的漸近線方程為y＝x，故可得＝，即a2＝4b2，又a2+b2＝c2，故，＝，解得e＝＝故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及離心率的求解，屬中檔題．13．（5分）已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，那么＝﹣；若，則x+y＝4．【分析】可畫出圖形，根據(jù)圖形可得出∠BAF＝120°，AB＝AF＝1，從而求出的值；然后得出，進(jìn)而可求出x+y的值．【解答】解：如圖，∠BAF＝120°，AB＝AF＝1，∴，又，∴根據(jù)平面向量基本定理，x＝2，y＝2，∴x+y＝4．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的特點(diǎn)，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，平面向量基本定理，向量數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）函數(shù)的最小正周期T＝π，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象．若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的最大值為2，則φ的值可以為．【分析】由題意利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：函數(shù)的最小正周期T＝＝π，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）＝sin（2x+2φ+）的圖象．若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）＝sin（2x+）﹣sin（2x+2φ+）的最大值為2，則當(dāng)sin（2x+）＝1時(shí)，sin（2x+2φ+）＝﹣1，則2φ＝（2k﹣1）?π，k∈Z．令k＝1，可得φ＝，故答案為：π；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．15．（5分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），定義它們之間的一種“距離”為||PQ||＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．已知不同三點(diǎn)A，B，C滿足||AC||+||CB||＝||AB||，給出下列四個(gè)結(jié)論：①A，B，C三點(diǎn)可能共線；②A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成銳角三角形；③A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成直角三角形；④A，B，C三點(diǎn)可能構(gòu)成鈍角三角形．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【分析】不妨設(shè)C（0，0），A（1，0），B（x1，y1），則||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，討論x1，y1的值即可判定．【解答】解：不妨設(shè)C（0，0），A（1，0），B（x1，y1），則||AC||＝1，||CB||＝|x1|+|y1|，||AB||＝|x1﹣1|+|y1|，當(dāng)y1＝0，x1＜0時(shí)，此時(shí)A，B，C三點(diǎn)共線，||AC||+||CB||＝x1+1＝||AB||成立，故①正確；由||AC||+||CB||＝||AB||，可知1+|x1|＝|x1﹣1|，當(dāng)x1＝0，y1≠0時(shí)1+|x1|＝|x1﹣1|成立，此時(shí)△ABC為直角三角形，故③正確；當(dāng)x1＞0時(shí)，無(wú)解，故②錯(cuò)；當(dāng)x1＜0時(shí)，此時(shí)∠BCA為鈍角，且1+|x1|＝|x1﹣1|成立，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了以命題的真假為載體，考查新定義，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時(shí)考查了學(xué)生的推理能力．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。16．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1和BCC1B1都是正方形，平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，D，E分別為BB1，AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BE∥平面A1CD；（Ⅱ）求直線B1E與平面A1CD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取A1C中點(diǎn)F，連接DF，EF，證明EF∥AA1，BD∥EF，說(shuō)明四邊形BEFD為平行四邊形．推出BE∥DF．然后證明BE∥平面A1CD．（Ⅱ）建立平面直角坐標(biāo)系B﹣xyz．如圖，求出平面A1CD的法向量，設(shè)直線B1E與平面A1CD所成的角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解直線與平面的處境的直線函數(shù)值即可．【解答】（Ⅰ）證明：取A1C中點(diǎn)F，連接DF，EF，在△AA1C中，E，F(xiàn)分別是AC，A1C的中點(diǎn)，所以EF∥AA1，．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1B1B為正方形，D為BB1中點(diǎn)，所以BD∥AA1，．所以BD∥EF，BD＝EF．所以四邊形BEFD為平行四邊形．所以BE∥DF．因?yàn)镈F?平面A1CD，BE?平面A1CD，所以BE∥平面A1CD．（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫鍭BB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，AB?平面ABB1A1，正方形ABB1A1中AB⊥BB1，所以AB⊥平面BCC1B1．所以AB⊥BC．正方形BCC1B1中BC⊥BB1．如圖建立平面直角坐標(biāo)系B﹣xyz．不妨設(shè)AB＝BC＝BB1＝2，則B（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B1（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，1，0），E（1，0，1）．所以，，．設(shè)平面A1CD的法向量＝（x，y，z），則，即．令x＝1，則y＝2，z＝﹣1．于是＝（1，2，﹣1）．設(shè)直線B1E與平面A1CD所成的角為θ，所以．所以直線B1E與平面A1CD所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．17．（13分）在△ABC中，已知b＝5，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（Ⅰ）求sinA；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①：；條件②：a＝4．【分析】若選擇條件①：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，sinC的值，利用兩角和的正弦公式即可求解sinA的值．（Ⅱ）由正弦定理可求a的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．若選擇條件②：（Ⅰ）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，利用正弦定理可求sinA的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得2c2﹣9c﹣18＝0，解得c的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【解答】解：若選擇條件①：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．所以．所以．（Ⅱ）由正弦定理得．所以．若選擇條件②：（Ⅰ）由，可得．由正弦定理得．（Ⅱ）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得．即2c2﹣9c﹣18＝0，解得c＝6，（舍）．所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18．（14分）全社會(huì)厲行勤儉節(jié)約，反對(duì)餐飲浪費(fèi)．某市為了解居民外出就餐有剩余時(shí)是否打包，進(jìn)行了一項(xiàng)“舌尖上的浪費(fèi)”的調(diào)查，對(duì)該市的居民進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，將獲得的數(shù)據(jù)按不同年齡段整理如表：男性女性打包不打包打包不打包第1段250650450650第2段300600550550第3段600400750250第4段850350650150假設(shè)所有居民外出就餐有剩余時(shí)是否打包相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該市男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率，該市女性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率；（Ⅱ）從該市男性居民中隨機(jī)抽取1人，女性居民中隨機(jī)抽取1人，記這2人中恰有X人外出就餐有剩余時(shí)打包，求X的分布列；（Ⅲ）假設(shè)每年齡段居民外出就餐有剩余時(shí)打包的概率與表格中該段居民外出就餐有剩余時(shí)打包的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k段居民外出就餐有剩余時(shí)打包，“ξk＝0”表示第k段居民外出就餐有剩余時(shí)不打包（k＝1，2，3，4），寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4的大小關(guān)系．（只需寫出結(jié)論）【分析】（Ⅰ）設(shè)該市男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包為事件A；設(shè)該市女性居民外出就餐有剩余時(shí)打包為事件B．求出男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的人數(shù)，男性居民外出就餐有剩余時(shí)不打包的人數(shù)，然后求解概率．女性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的人數(shù)，女性居民外出就餐有剩余時(shí)不打包的人數(shù)，然后求解概率．（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2．求出概率即可得到分布列．（Ⅲ）寫出Dξ4＜Dξ3＜Dξ1＜Dξ2．【解答】（Ⅰ）解：設(shè)該市男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包為事件A；設(shè)該市女性居民外出就餐有剩余時(shí)打包為事件B．男性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的有250+300+600+850＝2000人，男性居民外出就餐有剩余時(shí)不打包的有650+600+400+350＝2000人，被調(diào)查的男性居民有2000+2000＝4000人，所以．女性居民外出就餐有剩余時(shí)打包的有450+550+750+650＝2400人，女性居民外出就餐有剩余時(shí)不打包的有650+550+250+150＝1600人，被調(diào)查的女性居民有2400+1600＝4000人，所以．（Ⅱ）解：X的所有可能取值為0，1，2．由題設(shè)知，事件A與B相互獨(dú)立，且，．所以，，．所以X的分布列為X012P（Ⅲ）解：Dξ4＜Dξ3＜Dξ1＜Dξ2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及方程的求法，古典概型概率的求法，是中檔題．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，且f（x）+a≤0對(duì)于x∈[0，1]恒成立，求a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解切線方程．（Ⅱ）求出f'（x）＝（x﹣a+1）ex，通過(guò)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，得到1＜a＜2．利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合f（x）+a≤0對(duì)于x∈[0，1]恒成立，得到不等式（1﹣a）e+a≤0，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，因?yàn)閒（x）＝（x﹣1）ex，所以f'（x）＝xex．因?yàn)閒（1）＝0，f'（1）＝e，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝e（x﹣1），即ex﹣y﹣e＝0．（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）＝（x﹣a+1）ex，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，所以0＜a﹣1＜1．所以1＜a＜2．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x0（0，a﹣1）a﹣1（a﹣1，1）1f'（x）﹣0+f（x）﹣a↘f（a﹣1）↗（1﹣a）e因?yàn)閒（x）+a≤0對(duì)于x∈[0，1]恒成立，所以f（0）+a≤0，且f（1）+a≤0．所以（1﹣a）e+a≤0，即．因?yàn)?＜a＜2，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線方程的求法，函數(shù)的對(duì)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20．（15分）已知橢圓過(guò)A（0，2），B（﹣3，﹣1）兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓W的方程；（Ⅱ）直線AB與x軸交于點(diǎn)M（m，0），過(guò)點(diǎn)M作不垂直于坐標(biāo)軸且與AB不重合的直線l，l與橢圓W交于C，D兩點(diǎn)，直線A