2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x≤4}，則A∪B＝（）A．（0，3） B．（﹣1，4） C．（0，4] D．（﹣1，4]2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），則z＝（）A．2 B．﹣2i C． D．2i3．（4分）已知f（x）為奇函數(shù)，其局部圖象如圖所示，那么（）A．f（2）＝2 B．f（2）＝﹣2 C．f（2）＞﹣2 D．f（2）＜﹣24．（4分）已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三點(diǎn)共線，則y的值為（）A．4 B．5 C．6 D．75．（4分）已知雙曲線的焦距等于實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則其漸近線的方程為（）A． B．y＝±2x C． D．6．（4分）已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)（1，0），其圓心到直線3x﹣4y+12＝0的距離的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．37．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x，x∈[a，b]，則“”是“f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（4分）被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s；W為信道帶寬，單位為Hz；為信噪比．香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用．當(dāng)＝99，W＝2000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C1；當(dāng)＝9999，W＝3000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C2，則為（）A．1 B． C． D．39．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)c∈D，使得f（c）+g（c）＝0，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在D上具有性質(zhì)P．現(xiàn)有三組函數(shù)：①f（x）＝x，g（x）＝x2；②f（x）＝2﹣x，g（x）＝﹣ex；③f（x）＝﹣x2，g（x）＝2x．其中具有性質(zhì)P的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（4分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP⊥CN，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn) B．線段MP的最大值為 C．點(diǎn)P的軌跡是正方形 D．點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）（x﹣2）5的展開式中x的系數(shù)是．12．（5分）數(shù)列{an}是公差為﹣2的等差數(shù)列，記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a1＝；Sn＝．13．（5分）一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為．14．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（﹣1，4）作y軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)A，且滿足|AF|＝|AM|，則拋物線C的方程為；設(shè)直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．15．（5分）炎炎夏日，冰激凌成為非常受歡迎的舌尖上的味道．某商店統(tǒng)計(jì)了一款冰激凌6月份前6天每天的供應(yīng)量和銷售量，結(jié)果如表：6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供應(yīng)量901009010090100銷售量809085809085記V（t）為6月t日冰激凌的供應(yīng)量，W（t）為6月t日冰激凌的銷售量，其中t＝1，2，…，30．用銷售指數(shù)，（n≥1，n∈N）來評(píng)價(jià)從6月t日開始連續(xù)n天的冰激凌的銷售情況．當(dāng)n＝1時(shí)，P（t，1）表示6月t日的日銷售指數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在6月1日至6日這6天中，P（4，1）最小，P（5，1）最大；②在6月1日至6日這6天中，日銷售指數(shù)越大，說明該天冰激凌的銷售量越大；③P（1，3）＝P（4，3）；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供應(yīng)量和銷售量與6月1日至6日每天的供應(yīng)量和銷售量對(duì)應(yīng)相等，則對(duì)任意t∈{1，2，3，4，5，6，7}，都有P（t，6）＝P（1，12）．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于點(diǎn)E，D為CC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BE⊥平面AB1C；（Ⅱ）求二面角C﹣AB1﹣D的余弦值．17．（13分）已知△ABC的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）b和c的值；（Ⅱ）sin（A﹣B）的值．條件①：a＝6，；條件②：A＝C，．18．（14分）防洪工程對(duì)防洪減災(zāi)起著重要作用，水庫(kù)是我國(guó)廣泛采用的防洪工程之一，既有滯洪作用又有蓄洪作用．北京地區(qū)2010年至2019年每年汛末（10月1日）水庫(kù)的蓄水量數(shù)據(jù)如表：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量（億立方米）11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1（Ⅰ）從2010年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年的數(shù)據(jù)，求這兩年蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值小于1億立方米的概率；（Ⅱ）從2014年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩年的數(shù)據(jù)，設(shè)X為蓄水量超過33億立方米的年份個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)判斷從哪年開始連續(xù)三年的水庫(kù)蓄水量方差最大？（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，x∈（0，π），試判斷t（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．20．（15分）已知橢圓C：＝1．（Ⅰ）求橢圓C的離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；（Ⅱ）已知直線y＝kx+2與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，P為x軸上一點(diǎn)．是否存在實(shí)數(shù)k，使得△PAB是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21．（15分）對(duì)于數(shù)列{an}，定義an*＝，設(shè){an*}的前n項(xiàng)和為Sn*．（Ⅰ）設(shè)an＝，寫出a1*，a2*，a3*，a4*；（Ⅱ）證明：“對(duì)任意n∈N*，有Sn*＝an+1﹣a1”的充要條件是“對(duì)任意n∈N*，有|an+1﹣an|＝1”；（Ⅲ）已知首項(xiàng)為0，項(xiàng)數(shù)為m+1（m≥2）的數(shù)列{an}滿足：①對(duì)任意1≤n≤m且n∈N*，有an+1﹣an∈{﹣1，0，1}；②Sm*＝am．求所有滿足條件的數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)．

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x≤4}，則A∪B＝（）A．（0，3） B．（﹣1，4） C．（0，4] D．（﹣1，4]【分析】直接進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|0＜x≤4}，∴A∪B＝（﹣1，4]．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣1），則z＝（）A．2 B．﹣2i C． D．2i【分析】由已知求得z，進(jìn)一步得到，則答案可求．【解答】解：由題意，z＝1﹣i，∴＝1+i，∴z＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．（4分）已知f（x）為奇函數(shù)，其局部圖象如圖所示，那么（）A．f（2）＝2 B．f（2）＝﹣2 C．f（2）＞﹣2 D．f（2）＜﹣2【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象可得f（﹣2）＜f（﹣1）＝2，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，f（﹣2）＜f（﹣1）＝2，則有﹣f（﹣2）＞﹣f（﹣1）＝﹣2，又由f（x）為奇函數(shù)，則f（2）＝﹣f（﹣2），則有f（2）＞f（1）＝﹣2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知A（4，8），B（2，4），C（3，y）三點(diǎn)共線，則y的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由題意可得∥，再利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，求得y的值．【解答】解：∵A（4，8），B（2，4），C（3，y）三點(diǎn)共線，∴＝（﹣2，﹣4），＝（﹣1，y﹣8），∥，∴＝，求得y＝6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三點(diǎn)共線問題，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）已知雙曲線的焦距等于實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則其漸近線的方程為（）A． B．y＝±2x C． D．【分析】利用雙曲線方程列出方程，推出a，b的關(guān)系，即可得到漸近線方程．【解答】解：雙曲線的焦距等于實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，可得，所以b＝a，其漸近線的方程為：y＝x．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．6．（4分）已知半徑為2的圓經(jīng)過點(diǎn)（1，0），其圓心到直線3x﹣4y+12＝0的距離的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求出（1，0）到直線的距離，結(jié)合圓的半徑，判斷求解即可．【解答】解：點(diǎn)（1，0）到直線3x﹣4y+12＝0的距離為：＝3，因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過點(diǎn)（1，0），所以圓心到直線3x﹣4y+12＝0的距離的最小值為：3﹣2＝1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．7．（4分）已知函數(shù)f（x）＝sin2x，x∈[a，b]，則“”是“f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義及正弦函數(shù)性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：首先考慮充分性，函數(shù)f（x）＝sin2x，x∈[a，b]，，舉反例如下：取a＝0，b＝，滿足，，但是，f（x）的值域?yàn)閇0，1]，不是[﹣1，1]，所以，“”不是“f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]”的充分條件，所以AC不對(duì)；再考慮必要性，由“f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]”推出“”，用反證法證明：假設(shè)b﹣a＜，由于f（x）＝sin2x在R上，最小正周期為T＝，半周期為，因?yàn)閎﹣a＜，所以f（x）的值域不是[﹣1，1]，舉例如下：a＝0，b＝，b﹣a＜，但是，f（x）的值域是[0，1]，所以“”是“f（x）的值域?yàn)閇﹣1，1]”的必要條件，所以B對(duì)，D不對(duì)；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了充分條件與必要條件概念及其判斷，屬于中檔題．8．（4分）被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著名的公式：，其中C為最大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/s；W為信道帶寬，單位為Hz；為信噪比．香農(nóng)公式在5G技術(shù)中發(fā)揮著舉足輕重的作用．當(dāng)＝99，W＝2000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C1；當(dāng)＝9999，W＝3000Hz時(shí)，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C2，則為（）A．1 B． C． D．3【分析】利用“香農(nóng)公式”分別求出C1，C2的值，即可求出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)＝99，W＝2000Hz時(shí)，C1＝2000log2（1+99）＝2000log2100＝4000log210，當(dāng)＝9999，W＝3000Hz時(shí)，C2＝3000log2（1+9999）＝3000log210000＝12000log210，∴＝＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．9．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)c∈D，使得f（c）+g（c）＝0，則稱函數(shù)f（x）和g（x）在D上具有性質(zhì)P．現(xiàn)有三組函數(shù)：①f（x）＝x，g（x）＝x2；②f（x）＝2﹣x，g（x）＝﹣ex；③f（x）＝﹣x2，g（x）＝2x．其中具有性質(zhì)P的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】在選項(xiàng)①②③中分別判斷方程f（x）+g（x）＝0是否有非零實(shí)數(shù)解，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)閒（x）＝x，g（x）＝x2，所以f（x）+g（x）＝x+x2，則f（﹣1）+g（﹣1）＝﹣1+1＝0，符合題意，故選項(xiàng)①正確；因?yàn)閒（x）＝2﹣x，g（x）＝﹣ex，所以f（x）+g（x）＝2﹣x+﹣ex＝0，可得，即（2e）x＝1，解得x＝0，不符合題意，故選項(xiàng)②不正確；因?yàn)閒（x）＝﹣x2，g（x）＝2x，所以f（x）+g（x）＝﹣x2+2x，則f（2）+g（2）＝﹣22+22＝0，符合題意，故選項(xiàng)③正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂題意，理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運(yùn)算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答即可．10．（4分）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP⊥CN，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)P可以是棱BB1的中點(diǎn) B．線段MP的最大值為 C．點(diǎn)P的軌跡是正方形 D．點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，從而得到MP的最大值，即可判斷選項(xiàng)B，通過分析判斷可得點(diǎn)P不可能是棱BB1的中點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)A，又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，可判斷選項(xiàng)C和選項(xiàng)D．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為1，M，N分別為BD1，B1C1的中點(diǎn)，則D（0，0，0），，所以，設(shè)P（x，y，z），則，因?yàn)镸P⊥CN，所以，當(dāng)x＝1時(shí)，z＝，當(dāng)x＝0時(shí)，z＝，取，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，則，，所以四邊形EFGH為矩形，則，即EF⊥CN，EH⊥CN，又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，所以CN⊥平面EFGH，又，所以M為EG的中點(diǎn)，則M∈平面EFGH，所以為使MP⊥CN，必有點(diǎn)P∈平面EFGH，又點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P的軌跡為四邊形EFGH，因此點(diǎn)P不可能是棱BB1的中點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又EF＝GH＝1，EH＝FG＝，所以EF≠EH，則點(diǎn)P的軌跡不是正方形，且矩形EFGH的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；因?yàn)?，，又MP⊥CN，則，所以，點(diǎn)P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則，解得，且0≤y≤1，所以MP＝，故當(dāng)或z＝，y＝0或1時(shí)，MP取得最大值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，對(duì)于空間中的一些長(zhǎng)度問題，經(jīng)常會(huì)選用空間向量來求解，關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出所需各點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）（x﹣2）5的展開式中x的系數(shù)是80．【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)即可求解．【解答】解：（x﹣2）5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝（﹣2）rx5﹣r，令5﹣r＝1，可得r＝4，所以展開式中x的系數(shù)是（﹣2）4＝80．故答案為：80．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，特定項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）數(shù)列{an}是公差為﹣2的等差數(shù)列，記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a1＝8；Sn＝﹣n2+9n．【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列性質(zhì)能求出首項(xiàng)a1的值．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為﹣2的等差數(shù)列．其a1，a3，a4成等比數(shù)列，所以a32＝a1a4，即（a1﹣4）2＝a1（a1﹣6），解得a1＝8，所以Sn＝8n+×（﹣2）＝﹣n2+9n．故答案為：8，﹣n2+9n．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為．【分析】首先把三視圖和直觀圖形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng)．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為三棱錐體；如圖所示：所以AB＝2，BC＝CD＝2，BD＝，AD＝，所以最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三視圖和直觀圖形之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的棱長(zhǎng)的運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（﹣1，4）作y軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)A，且滿足|AF|＝|AM|，則拋物線C的方程為y2＝4x；設(shè)直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為﹣1．【分析】由題意及拋物線的性質(zhì)可得M在拋物線的準(zhǔn)線上，所以可得p的值，求出拋物線的方程，進(jìn)而可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和A的坐標(biāo)，求出直線AF的方程，與拋物線聯(lián)立求出B的橫坐標(biāo)，再打擾拋物線的方程可得B的縱坐標(biāo)．【解答】解：由題意和拋物線的性質(zhì)|AF|＝|AM|，可得M在拋物線的準(zhǔn)線上，即﹣＝﹣1，所以p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，所以焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為：x＝﹣1，且由題意可得A（xA，4），代入拋物線的方程可得42＝4?xA，所以xA＝4，所以A（4，4），設(shè)B的橫坐標(biāo)xB，直線AF的斜率k＝＝，所以直線AF的方程為：y＝（x﹣1），代入拋物線的方程整理可得：4x2﹣17x+4＝0，解得x＝或x＝4，可得xB＝，代入拋物線的方程可得y2＝4×＝1，所以y＝±1，由題意可知B在x軸的下方，所以y＝﹣1，故答案為：y2＝4x；﹣1【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程的求法及拋物線的性質(zhì)，及兩點(diǎn)式求直線方程的方法，屬于中檔題．15．（5分）炎炎夏日，冰激凌成為非常受歡迎的舌尖上的味道．某商店統(tǒng)計(jì)了一款冰激凌6月份前6天每天的供應(yīng)量和銷售量，結(jié)果如表：6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供應(yīng)量901009010090100銷售量809085809085記V（t）為6月t日冰激凌的供應(yīng)量，W（t）為6月t日冰激凌的銷售量，其中t＝1，2，…，30．用銷售指數(shù)，（n≥1，n∈N）來評(píng)價(jià)從6月t日開始連續(xù)n天的冰激凌的銷售情況．當(dāng)n＝1時(shí)，P（t，1）表示6月t日的日銷售指數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①在6月1日至6日這6天中，P（4，1）最小，P（5，1）最大；②在6月1日至6日這6天中，日銷售指數(shù)越大，說明該天冰激凌的銷售量越大；③P（1，3）＝P（4，3）；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供應(yīng)量和銷售量與6月1日至6日每天的供應(yīng)量和銷售量對(duì)應(yīng)相等，則對(duì)任意t∈{1，2，3，4，5，6，7}，都有P（t，6）＝P（1，12）．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④．【分析】直接求出6天的銷售指數(shù)的最大值與最小值判斷①；舉例說明②錯(cuò)誤；求解P（1，3）與P（4，3）的值判斷③；由銷售指數(shù)的周期可得P（t，6）＝P（1，12）判斷④．【解答】解：對(duì)于①，P（t，1）＝，最大值為P（5，1）＝，最小值為P（4，1）＝，故①正確；對(duì)于②，由①，6月2日和6月5日日銷售指數(shù)不同，但銷售量相同，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，P（4，3）＝，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，P（t，6）＝，P（1，12）＝，∵V（t）以2為周期，W（t）以3為周期，又6＝2×3，可知銷售指數(shù)的周期為6，故P（t，6）＝P（1，12），④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AA1＝4，AB⊥AC，BE⊥AB1交AA1于點(diǎn)E，D為CC1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BE⊥平面AB1C；（Ⅱ）求二面角C﹣AB1﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）證明AA1⊥AC．AC⊥BE，結(jié)合BE⊥AB1，即可證明BE⊥平面AB1C．（Ⅱ）建立如圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．求出平面AB1C的一個(gè)法向量，平面AB1D的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角C﹣AB1﹣D的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1為直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AC．……………（1分）因?yàn)锳C⊥AB，AB∩AA1＝A，所以AC⊥平面AA1B1B．……………（3分）因?yàn)锽E?平面AA1B1B，所以AC⊥BE．……………（4分）因?yàn)锽E⊥AB1，AC∩AB1＝A，所以BE⊥平面AB1C．……………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB，AC，AA1兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz．則A（0，0，0），B1（2，0，4），D（0，2，2），B（2，0，0）．……………（7分）設(shè)E（0，0，a），所以＝（0，2，2），＝（2，0，4），＝（﹣2，0，a），因?yàn)椋?a﹣4＝0，即a＝1．……………（8分）所以平面AB1C的一個(gè)法向量為＝（﹣2，0，1）．……………（9分）設(shè)平面AB1D的法向量為＝（x，y，z），所以所以即……………（10分）令x＝﹣1，則x＝2，y＝1，所以平面AB1D的一個(gè)法向量為＝（2，1，﹣1）．……………（11分）所以cos＝＝＝﹣．……………（12分）由已知，二面角C﹣AB1﹣D為銳角，所以二面角C﹣AB1﹣D的余弦值為．……………（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．17．（13分）已知△ABC的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）b和c的值；（Ⅱ）sin（A﹣B）的值．條件①：a＝6，；條件②：A＝C，．【分析】若選擇條件①：（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC的值，利用三角形的面積公式可求a，b的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理可求c的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinA，sinB的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA，cosB的值，進(jìn)而根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解sin（A﹣B）的值．若選擇條件②：（Ⅰ）由題意可得a＝c，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用三角形的面積公式可求a，c的值，根據(jù)余弦定理可求b的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinA，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA，利用兩角差的正弦公式即可求解sin（A﹣B）的值．【解答】解：若選擇條件①：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)閏osC＝﹣，所以C，sinC＝＝，因?yàn)?，a＝6，所以b＝2，由余弦定理，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝48，所以．（Ⅱ）由正弦定理，可得，所以，，因?yàn)椋?，，所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝，若選擇條件②：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)锳＝C，所以a＝c．因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB＝64，所以b＝8，（Ⅱ）由正弦定理得，所以，因?yàn)椋?，所以sin（A﹣B）＝sinAcosB﹣cosAsinB＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理，兩角差的正弦公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）防洪工程對(duì)防洪減災(zāi)起著重要作用，水庫(kù)是我國(guó)廣泛采用的防洪工程之一，既有滯洪作用又有蓄洪作用．北京地區(qū)2010年至2019年每年汛末（10月1日）水庫(kù)的蓄水量數(shù)據(jù)如表：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量（億立方米）11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1（Ⅰ）從2010年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年的數(shù)據(jù)，求這兩年蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值小于1億立方米的概率；（Ⅱ）從2014年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩年的數(shù)據(jù)，設(shè)X為蓄水量超過33億立方米的年份個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)判斷從哪年開始連續(xù)三年的水庫(kù)蓄水量方差最大？（結(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）設(shè)事件A為“連續(xù)兩年的蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值小于1億立方米”，推出從2010年到2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年共有9種可能，求出事件A包含的數(shù)目，然后求解概率即可．（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，求出概率，得到隨機(jī)變量X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅲ）直接判斷從2016年開始連續(xù)三年的水庫(kù)蓄水量方差最大．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)事件A為“連續(xù)兩年的蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值小于1億立方米”，從2010年到2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年共有9種可能，…（2分）由圖表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”．……（3分）所以．……………（4分）（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的樣本數(shù)據(jù)中，蓄水量超過33億立方米有2年，蓄水量不超過33億立方米有4年．隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2．……………（5分），，．……………（8分）所以隨機(jī)變量X的分布列為：X012P……………（9分）所以．……………（11分）（Ⅲ）從2016年開始連續(xù)三年的水庫(kù)蓄水量方差最大．……………（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率的求法，離散型隨機(jī)變量分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．19．（15分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣x．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，x∈（0，π），試判斷t（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（Ⅱ）根據(jù)f'（x）＞0和f'（x）＜0，求函數(shù)的單調(diào)遞增和遞減區(qū)間，根據(jù)極值的定義求極值；（Ⅲ）首先方程等價(jià)于x2﹣1﹣2sinx＝0，設(shè)函數(shù)g（x）＝x2﹣1﹣2sinx，x∈（0，π），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'（x）＝2x﹣2cosx，分和兩個(gè)區(qū)間討論函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理說明函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝x3﹣x，得f'（x）＝3x2﹣1．∵f（1）＝0，f'（1）＝2，∴曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y＝2x﹣2．（Ⅱ）令f'（x）＝0，得3x2﹣1＝0，解得或．當(dāng)x變化時(shí)，f（x）和f'（x）變化情況如下表：xf'（x）+0﹣0+f（x）↗↘↗∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，；f（x）在處取得極大值，在處取得極小值．（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，令t（x）＝0，可得，∴x2﹣1﹣2sinx＝0．設(shè)g（x）＝x2﹣1﹣2sinx，x∈（0，π），則g′（x）＝2x﹣2cosx．①當(dāng)時(shí)，gr（x）＞0，g（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，g（π）＝π2﹣1＞0，∴g（x）在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，設(shè)h（x）＝g'（x）＝2x﹣2cosx．h'（x）＝2+2sinx＞0，∴g'（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增．又g'（0）＝﹣2＜0，，∴存在，使得g'（x0）＝0．∴當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．又g（0）＝﹣1＜0，，∴g（x）在區(qū)間上無零點(diǎn)．綜上，函數(shù)t（x）在定義域內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，單調(diào)性和極值，零點(diǎn)存在性定理，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．20．（15分）已知橢圓C：＝1．（Ⅰ）求橢圓C的離心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；（Ⅱ）已知直線y＝kx+2與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，P為x軸上一點(diǎn)．是否存在實(shí)數(shù)k，使得△PAB是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（Ⅰ）利用橢圓方程求解a，c，即可推出結(jié)果．（Ⅱ）聯(lián)立消y整理得：（2k2+1）x2+8kx+4＝0，通過Δ＞0，求出k的范圍，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)AB中點(diǎn)G（x0，y0），利用韋達(dá)定理，求出G的坐標(biāo)，假設(shè)存在k和點(diǎn)P（m，0），使得△PAB是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則PG⊥AB，故kPG?kAB＝﹣1，求出P的坐標(biāo)，通過＝0．轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意：a2＝4，b2＝2，所以a＝2．……………（1分）因?yàn)閍2＝b2+c2，所以c2＝2，c＝，……………（2分）所以．……………（3分）所以橢圓C離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．……………（4分）（Ⅱ）聯(lián)立消y整理得：（2k2+1）x2+8kx+4＝0．……………（5分）因?yàn)橹本€與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，故Δ＞0，解得k2．……………（6分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝．……………（8分）設(shè)AB中點(diǎn)G（x0，y0），則，，故．……………（9分）假設(shè)存在k和點(diǎn)P（m，0），使得△PAB是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則PG⊥AB，故kPG?kAB＝﹣1，所以，解得m＝，故．…………（10分）又因?yàn)椤螦PB＝，所以＝0．所以（x1﹣m，y