第6章剛體運(yùn)動(dòng)的合成

1運(yùn)動(dòng)學(xué)篇第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2

動(dòng)畫

例題第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)3

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)4

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)5

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)6

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)7

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)偶8

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)歐拉角的定義9

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)歐拉定理10

動(dòng)畫第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的角速度端圖與角加速度11

例題第6章

剛體運(yùn)動(dòng)的合成剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)12

外嚙合行星齒輪機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA繞軸O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)齒輪Ⅱ沿固定齒輪Ⅰ的齒面滾動(dòng)。已知定齒輪和動(dòng)齒輪的節(jié)圓半徑分別是r1和r2，曲柄OA在某瞬時(shí)的角速度是ω0

，試求齒輪Ⅱ?qū)τ谇SOA的相對(duì)角速度ω2r以及它的絕對(duì)角速度ω2。例題1

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題ωOⅠⅡOAMPω2r1r213例題1

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題ωOⅠⅡOAMPω2r1r214

齒輪Ⅱ上與固定齒輪Ⅰ的嚙合點(diǎn)P是齒輪Ⅱ的速度瞬心。將動(dòng)系固連于曲柄OA上，輪Ⅱ的牽連角速度ωe等于曲柄的角速度ω0

，即

由于速度瞬心P在平行轉(zhuǎn)軸O和A的內(nèi)側(cè)，所以可知輪Ⅱ在繞兩平行軸作同向轉(zhuǎn)動(dòng)。故有

從而可得輪Ⅱ?qū)τ谇鶲A繞軸A轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)角速度

(逆鐘向)解：例題1

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題(逆鐘向)由繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動(dòng)合成公式求得齒輪Ⅱ的絕對(duì)角速度ωOⅠⅡOAMPω2r1r215

行星齒輪減速機(jī)構(gòu)如圖所示，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的齒輪Ⅰ，同嚙合于固定內(nèi)齒輪Ⅲ的行星齒輪Ⅱ，帶動(dòng)系桿Ⅳ(OA)轉(zhuǎn)動(dòng)。已知各齒輪的齒數(shù)分別是z1，z2和z3。假定齒輪Ⅰ角速度的大小是ω1

，轉(zhuǎn)向沿逆鐘向，試求系桿Ⅳ即OA的角速度ω4

。ω1ⅠⅡOAω4ⅢⅣω1ω4例題2

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題16例題2

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題ω1ⅠⅡOAω4ⅢⅣω1ω417

已知齒輪Ⅰ的絕對(duì)角速度ω1，故如能求出它對(duì)于系桿的相對(duì)角速度ω1r，就可以求出牽連角速度ω4

。ω

3r=ω4解：

把動(dòng)系固連于系桿OA上，則牽連角速度ωe就是待求的角速度ω4

，即ωe=

ω4

。

輪系對(duì)于動(dòng)系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是定軸輪系傳動(dòng)，這時(shí)內(nèi)齒輪Ⅲ以與系桿OA相反的角速度ω4繞定軸順鐘向轉(zhuǎn)動(dòng)，即有ω3r=ω4

。例題2

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題ω1ⅠⅡOAω4ⅢⅣω1ω418由此可得齒輪Ⅰ的相對(duì)角速度根據(jù)剛體繞兩平行軸同向轉(zhuǎn)動(dòng)合成公式，求得齒輪Ⅰ的絕對(duì)角速度(逆鐘向)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)應(yīng)用定軸系的傳動(dòng)比公式，有例題2

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題(逆鐘向)ω1ⅠⅡOAω4ⅢⅣω1ω4ω2rω

3r=ω419最后可求得系桿Ⅳ角速度的大小。

(逆鐘向)例題2

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題因?yàn)樗驭?ⅠⅡOAω4ⅢⅣω1ω4ω2rω

3r=ω420

截頭圓錐O1在水平圓錐環(huán)形固定支座上滾動(dòng)而不滑動(dòng)如圖所示，設(shè)圓錐O1的半徑O1A等于R=10cm，頂角2α=90o，又圓錐底面中心O1的速度vo1=20cm·s－1，試求圓錐O1的鉛直直徑兩端A和B的加速度。O1ABOO2α例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題21例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題O1ABOO2α22

圓錐O1滾動(dòng)而不滑動(dòng)，與固定支座相接觸點(diǎn)A的速度等于零，即vA=0。因此，通過定點(diǎn)O與點(diǎn)A的直線OA就是圓錐O1的瞬軸，如圖所示。圓錐O1繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢ω也是沿OA，指向如圖，大小等于

常數(shù)

矢端的速度大小等于半徑ωcosφ與桿OO1角速度vo1／OO1的乘積。這速度等于即圓錐O1的角加速度；考慮到得圓錐O1繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度大小解：例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題O1ABOO2CφvBvO1ω23

求得了ω和α后，點(diǎn)A和B的加速度即如下可求出。A是瞬軸上的點(diǎn)，vA=0，因而向軸加速度aA2=ω×vA

?？梢姡珹點(diǎn)的加速度等于它的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度，即其大小

yxzOCABO1αωαvO1例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題它在平面Oyz內(nèi)，且垂直于母線OA。aAO1ABOO2CφvBvO1ω24例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題yxzOCABO1αωαvO1aAO1ABOO2CφvBvO1ω25zyxOCABO1αωαvO1aAB點(diǎn)到瞬軸的距離為2Rcosφ

，故其速度大小為vB=2

ωRcosφ

。B點(diǎn)的加速度可分解為它在平面Oyz內(nèi)，且垂直于母線OB，向軸加速度aB2的大小為其中，轉(zhuǎn)動(dòng)加速度aB1的大小

aB1aB2aB例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題方向垂直于瞬軸OA，并指向這軸。O1ABOO2CφvBvO1ω26代入題設(shè)數(shù)據(jù)，則得所求圓錐O1的鉛直直徑兩端A和B的加速度大小

因?yàn)閍B1和aB2這兩個(gè)加速度分量的交角為，由平行四邊形法則可得B點(diǎn)的加速度大小例題3

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題O1ABOO2CφvBvO1ωzyxOCABO1αωαvO1aAaB1aB2aB27

行星錐齒輪的軸OA以勻角速度ω1繞鉛直軸OB轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，設(shè)OA=l，AC=r，求行星錐齒輪上M點(diǎn)的速度和加速度。ω1ABOθEMC例題4

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題28ω1ABOθEMC例題4

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題29ABOθEMCω1βω

行星錐齒輪的運(yùn)動(dòng)是繞定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)。因?yàn)榇簖X輪固定不動(dòng)，所以行星錐齒輪的嚙合點(diǎn)C的速度等于零，于是O與C兩點(diǎn)的連線為其瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)軸。設(shè)行星錐齒輪繞瞬軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則齒輪中心點(diǎn)A的速度為另一方面，A點(diǎn)繞定點(diǎn)O在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，所以有vA于是，行星錐齒輪繞瞬軸OC轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小為常量它沿著OC，指向如圖。解：例題4

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題30行星錐齒輪上M點(diǎn)的速度大小為它的方向垂直于平面OMC，指向如圖。行星錐齒輪的角加速度為vM因?yàn)棣刂桓淖兎较虿桓淖兇笮?，而且它和z軸間夾角β的大小保持不變，所以它的矢端曲線是水平的圓周，有。α沿此圓周的切線，指向ω1轉(zhuǎn)動(dòng)的一方，α的大小為ABOθβωEMCvAω11.求M點(diǎn)的速度。例題4

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題a31vMABOθβωEMCvAω1轉(zhuǎn)動(dòng)加速度α1大小為它垂直于由α和OM形成的平面，指向如圖。向軸加速度的大小為它的方向自M指向E（在鉛直平面OAC內(nèi)）2.計(jì)算M點(diǎn)的加速度。例題4

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題aa1a2aθ32由圖中幾何關(guān)系可得將a1，a2值代入上式，并注意到所以行星錐齒輪上M點(diǎn)的加速度大小為根據(jù)例題4

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題vMABOθβωEMCvAω1aa1a2aθ33

行星錐齒輪Ⅱ與固定錐齒輪Ⅰ相嚙合，并繞動(dòng)軸OO2轉(zhuǎn)動(dòng)，而動(dòng)軸以角速度ωe繞定軸OO1轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。設(shè)在C點(diǎn)處輪Ⅰ的半徑為r1，輪Ⅱ的半徑為r2，求行星錐齒輪Ⅱ相對(duì)于動(dòng)軸的角速度ωr

。例題5

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題ⅡⅠOO1O2ωeωrr2r1C34ⅡⅠOO1O2ωeωrCr2r1

由圖可見，角速度平行四邊形與矩形OO2CO1相似，于是有由此可得行星錐齒輪Ⅱ相對(duì)于動(dòng)軸的角速度解：

因?yàn)閮升X輪嚙合點(diǎn)C的速度等于零，可知O，C兩點(diǎn)的連線為行星錐齒輪Ⅱ的瞬軸。

已知相對(duì)角速度ωr沿著動(dòng)軸OO2，牽連角速度矢ωe的大小已知，方向如圖所示。于是可畫出如圖所示以絕對(duì)角速度ωa為其對(duì)角線的平行四邊形。例題5

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題解法一ωa35

兩齒輪相對(duì)于動(dòng)軸OO2的角速度分別為ωr2和ωr1，傳動(dòng)比為

將ωr1=ωr2代入上式可得行星錐齒輪Ⅱ相對(duì)于動(dòng)軸的角速度ⅡⅠOO2ωr2ωr1ⅡⅠOO1O2ωeωrCωar2r1

研究齒輪Ⅰ和Ⅱ相對(duì)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)，如圖所示。例題5

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題解法二36

如圖所示為圓錐差動(dòng)齒輪機(jī)構(gòu)的一部分。齒輪Ⅰ和齒輪Ⅱ的半徑各為r1和r2并彼此相等。兩輪可以彼此無關(guān)地分別以角速度ω1和ω2繞鉛直軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)。半徑為r3的齒輪Ⅲ同時(shí)與前兩個(gè)齒輪嚙合，其軸OO3本身也可繞鉛直軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)。試求齒輪Ⅲ的角速度ω3及其瞬軸的位置。假定自上向下看，齒輪Ⅰ和Ⅱ都是沿逆鐘向轉(zhuǎn)動(dòng)，且ω1

>

ω2

。

OO2ⅠⅡO1ω2ω1ω3rO3ⅢAB例題6

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題37OO2ⅠⅡO1ω2ω1ω3rO3ⅢAB例題6

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題38

齒輪Ⅲ的運(yùn)動(dòng)可以分解為：繞自身軸OO3的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，以及隨同OO3軸繞鉛直固定軸O1O2的牽連轉(zhuǎn)動(dòng)；故可令動(dòng)系O

x'y'z'固連于軸OO3，如圖所示。1.應(yīng)用速度合成定理求解。

齒輪Ⅲ上的點(diǎn)A和B的速度可以直接求得，其大小分別是

且vA>vB，方向都是沿Ox'軸的負(fù)方向。

OO2ⅠⅡO1ω2ω1ω3rx'O3Ⅲy'z'ABvAvB解：例題6

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題39

因?yàn)関A>vB

，故齒輪Ⅲ的相對(duì)角速度矢ω3r沿Oy'軸的負(fù)向，牽連角速度矢ωe沿Oz'軸的正向。因而點(diǎn)A和B相對(duì)速度與牽連速度的大小分別是αO1z'y'O2O3ω1ω2ω3eω3rω3PBAO或者寫成

x'z'O3ABω3rvAvB由速度合成定理，A點(diǎn)和B的絕對(duì)速度的大小分別等于

OO2ⅠⅡO1ω2ω1ω3rx'O3Ⅲy'z'ABvAvO3vB例題6

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題40從而求得

αO1z'y'O2O3ω1ω2ω3eω3rω3PBAOOO2ⅠⅡO1ω2ω1ω3rx'O3Ⅲy'z'ABvAvO3vB故齒輪Ⅲ絕對(duì)角速度ω3的大小為瞬軸OP與鉛直固定軸O1O2所成交角α由下式確定

齒輪Ⅲ絕對(duì)角速度的大小為

2.應(yīng)用剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理求解。

例題6

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題x'z'O3ABω3rvAvB41圓錐齒輪Ⅰ

，Ⅱ?qū)τ趧?dòng)系的相對(duì)角速度分別為由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)是定軸輪系傳動(dòng)，考慮到ω1r和ω2r的轉(zhuǎn)向應(yīng)相反（ω2r應(yīng)沿Oz'的負(fù)向），所以相對(duì)角速度大小之比可分別寫成即可解得

從而牽連角速度ωe的大小

O1z'y'O2O3ω1rω2rBAOω3r可得齒輪Ⅲ對(duì)于動(dòng)系的角速度ω3r的大小例題6

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題42

如圖所示，框架K和軸A一起以角速度ω繞軸Ⅰ-Ⅱ轉(zhuǎn)動(dòng)。半徑為r1和r2彼此相固結(jié)的兩個(gè)傘齒輪B和C可在軸A上自由轉(zhuǎn)動(dòng)。傘齒輪B與軸Ⅰ上半徑為R1的傘齒輪D相嚙合；傘齒輪C與軸Ⅱ上半徑為R2的傘齒輪E相嚙合。已知軸Ⅰ的角速度ωⅠ和軸Ⅱ的角速度ωⅡ

，求框架的角速度ω和齒輪B相對(duì)框架的角速度ωBr。KCBADEωⅠωⅡⅠⅡω例題7

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題43例題7

剛體運(yùn)動(dòng)的合成及定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

例題KCBADEωⅠωⅡⅠⅡω44Ⅰ

在圖中，已畫出軸Ⅰ和Ⅱ的角速度ωⅠ和ωⅡ的實(shí)際方向。設(shè)框架的角速度ω的轉(zhuǎn)向與它們相同，則軸Ⅰ和Ⅱ相對(duì)于框架的角速度分別為ωⅠr=ωⅠ-ωωⅡr=ωⅡ

-ω