第四講趨勢(shì)外推法

趨勢(shì)外推法

一、趨勢(shì)外推法概念：如果通過對(duì)時(shí)間序列的分析和計(jì)算,能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)變量y關(guān)于時(shí)間t的變化和趨勢(shì),那么當(dāng)有理由相信這種規(guī)律和趨勢(shì)能夠延伸到未來時(shí),便可用此模型對(duì)該社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測(cè),這就是趨勢(shì)外推法。

目前一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)趨勢(shì)外推法的兩個(gè)假定：（1）社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進(jìn)的,沒有跳躍式突變；（2）社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來與過去的發(fā)展變化規(guī)律基本一致。

目前二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)二、趨勢(shì)模型的種類多項(xiàng)式曲線外推模型：一次（線性）預(yù)測(cè)模型：二次（二次拋物線）預(yù)測(cè)模型：三次（三次拋物線）預(yù)測(cè)模型：一般形式：目前三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：一般形式：

修正的指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：目前四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)對(duì)數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：生長(zhǎng)曲線趨勢(shì)外推法：皮爾曲線預(yù)測(cè)模型：龔珀茲曲線預(yù)測(cè)模型：

目前五頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

三、趨勢(shì)模型的選擇方法經(jīng)驗(yàn)法:數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)分析結(jié)合,選定模型圖形識(shí)別法：

這種方法是通過繪制散點(diǎn)圖來進(jìn)行的，即將時(shí)間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時(shí)間t為橫軸，時(shí)序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為合適的模型。有時(shí)所繪圖形與幾種數(shù)學(xué)模型的曲線相近,可試算,計(jì)算回溯擬合值,選擇均方差最小的模型。目前六頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)差分法：

利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。差分法可分為普通差分法和廣義差分法兩類。一階、二階、k階差分

廣義差分法就是先計(jì)算時(shí)間序列的廣義差分(時(shí)間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分,以及相鄰項(xiàng)的比率或差分的比率等),然后,根據(jù)算得的時(shí)間序列差分的特點(diǎn),選擇適宜的數(shù)學(xué)模型。目前七頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)差分法識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型環(huán)比相等或大致相等指數(shù)曲線模型一階差分比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型目前八頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

多項(xiàng)式趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型及應(yīng)用

特別:直線(一元時(shí)間回歸)模型參數(shù)估計(jì)的簡(jiǎn)捷算法

套用參數(shù)估計(jì)公式,注意到,yt一般都是等間隔的時(shí)期或時(shí)點(diǎn)指標(biāo)值,它與時(shí)間t并無嚴(yán)格的因果關(guān)系。時(shí)間t的取值只起到一種標(biāo)明事物發(fā)展先后次序的作用,只要保持t的等間隔性及其先后次序,我們可以給t賦以任何數(shù)值。通常讓t的T個(gè)取值以原點(diǎn)為對(duì)稱,從而有化簡(jiǎn)公式為

目前九頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)例1:某市最近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如下表所列,試預(yù)測(cè)1999年該市的工業(yè)總產(chǎn)值。年份199019911992199319941995199619971998t值-4-3-2-101234工業(yè)總產(chǎn)值yt5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一階差分_0.60.50.70.60.80.60.80.8目前十頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)解:若畫出散點(diǎn)圖,看出,時(shí)間序列呈明顯的線性趨勢(shì)。計(jì)算一階差分,基本上接近一個(gè)常數(shù),其波動(dòng)范圍在0.5～0.8之間。因此,可配一元線性時(shí)間回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。利用如上公式,易得回歸模型為

1999年對(duì)應(yīng)的t=5

預(yù)測(cè)該年的工業(yè)總產(chǎn)值

目前十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

指數(shù)曲線趨勢(shì)外推法一、常見的指數(shù)曲線模型指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型：修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型:

目前十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)二、模型的選擇

廣義差分法

對(duì)于指數(shù)曲線,一階差比率(也稱環(huán)比)為常數(shù)

對(duì)修正的指數(shù)曲線,一階差分比率

當(dāng)時(shí)間序列算得的一階差分比率大致相等時(shí),就可以配修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。目前十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用對(duì)指數(shù)曲線模型取對(duì)數(shù),作變換,轉(zhuǎn)化為直線模型。為計(jì)算方便,仍然約定于是目前十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)例2:某自行車廠最近幾年產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下表所列,試預(yù)測(cè)該廠1999年的產(chǎn)量。指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型:預(yù)測(cè)1999年的產(chǎn)量年份199319941995199619971998t值-5-3-1135產(chǎn)量yt

(萬輛)8.710.613.316.520.626.0環(huán)比_1.21.31.21.21.3目前十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

曲線的擬合優(yōu)度分析實(shí)際的預(yù)測(cè)對(duì)象往往無法通過圖形直觀確認(rèn)某種模型，而是與幾種模型接近。這時(shí)，一般先初選幾個(gè)模型，待對(duì)模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。評(píng)判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標(biāo)準(zhǔn)誤差來作為優(yōu)度好壞的指標(biāo)：例3:下表是我國1952年到1983年社會(huì)商品零售總額(按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算），分析預(yù)測(cè)我國社會(huì)商品零售總額。目前十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)年份時(shí)序（t）總額（yt

）年份時(shí)序（t）總額（

yt

）年份時(shí)序（t）總額（

yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7目前十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)（1）對(duì)數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會(huì)商品零售總額為

y軸，年份為x軸。目前十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)（2）從圖形可以看出大致的曲線增長(zhǎng)模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個(gè)模型能更好地?cái)M合該曲線，則我們將分別對(duì)該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。

適用的二次曲線模型為：

適用的指數(shù)曲線模型為：目前十九頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)（3）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列，得到估計(jì)模型為：其中調(diào)整的，，則方程通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7。

(4)進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對(duì)模型兩邊取對(duì)數(shù)：產(chǎn)生序列，之后進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)該模型,最終得到估計(jì)模型為：目前二十頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

其中調(diào)整的，，則方程通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程：進(jìn)行預(yù)測(cè)將會(huì)取得較好的效果。目前二十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用對(duì)于修正指數(shù)曲線模型一般0<B<1,y=K為其漸進(jìn)線水平。用三段總和法來估計(jì)參數(shù),設(shè)時(shí)間序列的數(shù)據(jù)為于是得A、B、K的估計(jì)式為目前二十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型

1）模型的形式

目前二十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)2）模型的識(shí)別目前二十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)例4

我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)人員總數(shù)如表4.13所示，試預(yù)測(cè)2003年我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)。解:繪制散點(diǎn)圖，如圖4.13所示。目前二十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)目前二十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)得:目前二十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

所以我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)修正指數(shù)曲線模型為:

將代入模型,得到2003年我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)的預(yù)測(cè)值:目前二十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)例5:某商品1991年投放市場(chǎng)以來,社會(huì)總需求量統(tǒng)計(jì)資料如下表所列,試預(yù)測(cè)2000年的社會(huì)總需求量。解:描散點(diǎn)圖,初步確定模型;計(jì)算一階差分比率,進(jìn)一步驗(yàn)證選用修正指數(shù)曲線模型是否合適;

估計(jì)模型參數(shù)。所求修正指數(shù)曲線預(yù)測(cè)模型:預(yù)測(cè)2000年的社會(huì)總需求量:年份199119921993199419951996199719981999總需求量50.060.068.069.671.171.772.372.873.2一階差分_1081.61.50.60.60.50.4一階差分比率__0.80.20.940.41.00.830.8目前二十九頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)此例反映了這樣的時(shí)間序列變化規(guī)律:初期迅速增加,一段時(shí)期后增長(zhǎng)量逐漸降低,而逐增長(zhǎng)量的環(huán)比速度又大體上一致,最后發(fā)展水平趨向于某一正的常數(shù)極限,那么,這種時(shí)間序列的發(fā)展趨勢(shì)就適宜用修正指數(shù)曲線來描述和預(yù)測(cè)。目前三十頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)

生長(zhǎng)曲線趨勢(shì)外推法一般產(chǎn)品(或技術(shù))的發(fā)展,基本上都要經(jīng)歷一個(gè)萌芽、發(fā)展、成熟、衰落的過程。這里介紹兩種能夠較好地描述產(chǎn)品或技術(shù)生命周期規(guī)律的典型S型生長(zhǎng)曲線模型:皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。一、皮爾曲線模型及其應(yīng)用皮爾(Pearl)是美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家,提出了著名的S型生長(zhǎng)曲線模型:其中,參數(shù)L、a、b為正數(shù)。目前三十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)與預(yù)測(cè);尤其適合處于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì)分析與預(yù)測(cè)。

模型的識(shí)別:倒數(shù)的一階差分比率為模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用:令則有于是,可套用修正指數(shù)曲線的估計(jì)參數(shù)公式。注意,L是生長(zhǎng)曲線的上限,有時(shí)通過定性分析或?qū)＜易稍兯ǖ腖值往往比由公式計(jì)算得到的L值更接近實(shí)際,預(yù)測(cè)效果更好。

目前三十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)例6:吉林省1966～1983年年度人口數(shù)如下表所列,試預(yù)測(cè)該省1984年以后年度人口數(shù)。年份t值人口年份t值人口年份t值人口196601679.3197261962.71978122149.3196711722.1197372007.91979132184.6196821766.3197482034.51980142210.7196931808.2197592063.91981152230.9197041860.41976102092.61982162257.6197151915.21977112117.91983172269.5目前三十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)解:人口的數(shù)量變動(dòng)一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。通過計(jì)算時(shí)間序列數(shù)據(jù)倒數(shù)的一階差分比率,確定選用該模型。所求皮爾曲線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為:通過計(jì)算回溯擬合值與觀察擬合誤差,發(fā)現(xiàn)所建模型對(duì)1987年以前歷史數(shù)據(jù)的擬合效果相當(dāng)好。但是1988年以后,預(yù)測(cè)誤差越來越大。通過調(diào)整吉林省2010年人口的上限值L,重新計(jì)算模型中相應(yīng)的參數(shù)a,修正皮爾曲線模型。對(duì)照模型調(diào)整后的人口預(yù)測(cè)值與實(shí)際值,計(jì)算預(yù)測(cè)誤差,發(fā)現(xiàn)1992年開始,修正模型的預(yù)測(cè)效果大大優(yōu)于原先的模型。故吉林省人口趨勢(shì)宜用兩個(gè)皮爾曲線模型刻畫,分時(shí)間段使用。目前三十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點(diǎn)二、龔珀茲曲線預(yù)測(cè)模型及應(yīng)用龔珀茲曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式是:其中參數(shù):0<a<1