北京科迪實驗中學 2022-2023學年高三數學理期末試題含解析

北京科迪實驗中學2022-2023學年高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線的漸近線方程為（）A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】把雙曲線，其漸近線方程是，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：雙曲線，其漸近線方程，整理得y=±．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，令標準方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．2.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：C3.已知集合，，則=A.

B.

C.

D.參考答案：D4.若，其中a、b∈R，i是虛數單位，則 A． B． C． D．參考答案：C略5.設函數f(x)定義在實數集R上，f(2-x)=f(x),且當x≥1時，f(x)=lnx,則有A.

B.C.

D.參考答案：B略6.如圖是函數在區(qū)間上的圖象，為了得到這個函數的圖象，只需將y=sinx的圖象A．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變B．向左平移至個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變C．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變D．向左平移個長度單位，再把所得各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變參考答案：A7.函數的最大與最小值分別為M、N，則（

） A． B． C． D．參考答案：D略8.設是雙曲線的右焦點，雙曲線兩條漸近線分別為，過作直線的垂線，分別交于、兩點，且向量與同向．若成等差數列，則雙曲線離心率的大小為A．2

B．

C．

D．參考答案：D設=m?d，=m，=m+d，由勾股定理，得(m?d)2+m2=(m+d)2．解得m=4d．設∠AOF=，則cos2=．cos=，所以，離心率e=.選D.9.在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在線段AC，AD=kAC（k為常數，且0＜k＜1），BD=l為定長，則△ABC的面積最大值為（）A． B． C． D．參考答案：C考點：正弦定理．專題：解三角形．分析：判斷出AB=AC，以B為原點、BD為x軸建立平面直角坐標系，設A（x，y），y＞0，根據題意得到AD=kAC，利用兩點間的距離公式列出關系式，化簡后表示出y2，利用二次函數的性質求出y的最大值，求出△ABD面積的最大值，由AD=kAC得出△ABC面積的最大值．解答：解：由題意得AB=AC，如圖所示，以B為原點，BD為x軸建立平面直角坐標系，設A（x，y），y＞0，∵AB=AC，BD=l，∴D（l，0），由AD=kAC=kAB得，AD2=k2AB2，∴（x﹣l）2+y2=k2（x2+y2），整理得：y2=，當x=﹣=時，y2=取到最大值是：，∴y的最大值是，∵BD=l，∴（S△ABD）max==，∵AD=kAC，∴（S△ABC）max=（S△ABD）max=，所以△ABC的面積最大值為，故選：C．點評：本題考查坐標法解決平面幾何問題，兩點間的距離公式，及二次函數的性質，建立適當的坐標系是解本題的關鍵．10.下列函數中，既是偶函數又在上單調遞增的函數是(

)A. B. C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關于的方程有三個不同的實根，則實數的取值范圍是

。參考答案：12.（5分）已知函數f（x）=lnx+2x，若f（x2﹣4）＜2，則實數x的取值范圍．參考答案：（﹣，﹣2）∪（2，）【考點】：函數單調性的性質．【專題】：函數的性質及應用．【分析】：解法一：不等式即ln（x2﹣4）+＜2，令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，由函數h（t）的單調性可得x2﹣4＜1，從而求得x的范圍．解法二：根據函數f（x）=lnx+2x在定義域（0，+∞）上式增函數，f（1）=2，由不等式可得x2﹣4＜1，從而求得x的范圍．解：解法一：∵函數f（x）=lnx+2x，∴f（x2﹣4）=ln（x2﹣4）+，∴不等式即ln（x2﹣4）+＜2．令t=x2﹣4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，顯然函數h（t）在（0，+∞）上是增函數，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2﹣4＜1，即x2＜5．由解得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案為：（﹣，﹣2）∪（2，）．解法二：由于函數f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根據函數f（x）=lnx+2x在定義域（0，+∞）上式增函數，∴由f（x2﹣4）＜2可得x2﹣4＜1，求得﹣＜x＜﹣2，或2＜x＜，故答案為：（﹣，﹣2）∪（2，）．【點評】：本題主要考查函數的單調性的應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．13.的展開式中的系數是

（用數字作答）．參考答案：14.在等式的值為______________.參考答案：略15.如圖，圓O的割線PAB交圓O于A、B兩點，割線PCD經過圓心O．已知PA=AB=2，PO=8．則BD的長為

．參考答案：

【知識點】切割線定理N1解析：連接BO,設圓的半徑為，由切割線定理可得，解得，在中根據余弦定理，所以，所以再次利用余弦定理有,所以,故答案為?！舅悸伏c撥】連接BO,設圓的半徑為，先由切割線定理解得，再利用余弦定理求出，則，再次利用余弦定理可得結果。16.若函數,則不等式的解集為____________參考答案：(2,3)17.過雙曲線x2－=1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點，若實數λ使得|AB|=λ的直線l恰有3條，則λ=

．參考答案：4解：右支內最短的焦點弦==4．又2a=2，故與左、右兩支相交的焦點弦長≥2a=2，這樣的弦由對稱性有兩條．故λ=4時設AB的傾斜角為θ，則右支內的焦點弦λ==≥4，當θ=90°時，λ=4．與左支相交時，θ=±arccos時，λ===4．故λ=4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2014世界園藝博覽會在青島舉行，某展銷商在此期間銷售一種商品，根據市場調查，當每套商品售價為x元時，銷售量可達到萬套，供貨商把該產品的供貨價格分為來那個部分，其中固定價格為每套30元，浮動價格與銷量（單位：萬套）成反比，比例系數為，假設不計其它成本，即每套產品銷售利潤=售價-供貨價格（1）若售價為50元時，展銷商的總利潤為180元，求售價100元時的銷售總利潤；（2）若，求銷售這套商品總利潤的函數，并求的最大值．參考答案：略19.選修4——4；坐標系與參數方程在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線,過點P(-2,-4)的直線為參數)與曲線C相交于點M,N兩點

(Ⅰ)求曲線C和直線的普通方程;(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數列,求實數a的值參考答案：略20.在直角坐標系xOy中，直線C1的參數方程為（t為參數），以該直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系下，圓C2的方程為ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直線C1的普通方程和圓C2的圓心的極坐標；（Ⅱ）設直線C1和圓C2的交點為A，B，求弦AB的長．參考答案：【考點】參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把參數方程化為直角坐標方程，求出圓心的直角坐標，再把它化為極坐標．（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直線x﹣y+1=0的距離d，再利用弦長公式求得弦長．【解答】解：（Ⅰ）由C1的參數方程消去參數t得普通方程為x﹣y+1=0，圓C2的直角坐標方程（x+1）2+=4，所以圓心的直角坐標為（﹣1，），所以圓心的一個極坐標為（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直線x﹣y+1=0的距離d==，所以AB=2=．【點評】本題主要考查把參數方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于基礎題．21.（本題滿分18分）如圖，S(1，1)是拋物線為上的一點，弦SC、SD分別交軸于A、B兩點，且SA=SB。（1）求證：直線CD的斜率為定值；（2）延長DC交軸于點E，若，求的值。參考答案：（1）將點（1，1）代入，得

拋物線方程為

設，與拋物線方程聯立得：

由題意有，

（2）設

同