2023年勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

第課時(shí)第十八章勾股定理一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其重要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）運(yùn)用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思緒是①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表達(dá)方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證3：勾股數(shù)①可以構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等③用含字母的代數(shù)式表達(dá)組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）規(guī)律方法指導(dǎo)

1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系互相轉(zhuǎn)化證明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的重要錯(cuò)誤。二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考察勾股定理例１.在中，．⑴已知，．求的長(zhǎng)⑵已知，，求的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理解：⑴⑵題型二：運(yùn)用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度例題1假如梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求此外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接運(yùn)用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12.例題2如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.解析：同例題1同樣，先將實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題意可知△ACD中,∠ACD=90°,在Rt△ACD中，只知道CD=1.5，這是典型的運(yùn)用勾股定理“知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題環(huán)節(jié)如下（僅供參考）：解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2設(shè)水深A(yù)C=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.題型四：運(yùn)用勾股定理求線段長(zhǎng)度——例題4如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。具體解題過(guò)程如下：解：根據(jù)題意得Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE設(shè)CE=xcm，則DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42∴64－16x+x2=2+16∴x=3(cm),即CE=3cm注：本題接下來(lái)還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積第課時(shí)第十八章勾股定理一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是鑒定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)擬定三角形的也許形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1）一方面擬定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則△ABC為銳角三角形）。（定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）2：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是鑒定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。3：互逆命題的概念假如一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。假如把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。4.勾股定理的逆定理：假如三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出鑒定一個(gè)三角形是否是直角三角形的鑒定方法．5.應(yīng)用勾股定理的逆定理鑒定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程重要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解．我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。假如把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）二、經(jīng)典例題精講題型一：勾股定理和逆定理并用——例題3如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題會(huì)意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒(méi)有任何條件，我們也可以開(kāi)創(chuàng)條件，由可以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在Rt△AFD、Rt△BEF和Rt△CDE中，分別運(yùn)用勾股定理求出DF,EF和DE的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再運(yùn)用勾股定理逆定理去判斷△DEF是否是直角三角形。具體解題環(huán)節(jié)如下：解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=25a2在△DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2∴△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°.注：本題運(yùn)用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型二：運(yùn)用勾股定理逆定理判斷垂直——例題5如圖5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？如何去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來(lái)方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來(lái)驗(yàn)證。如圖4，矩形ABCD表達(dá)桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個(gè)長(zhǎng)度？)，連結(jié)MN，測(cè)量MN的長(zhǎng)度。①假如MN=15,則AM2+AN2=MN2,所以AD邊與AB邊垂直；②假如MN=a≠15,則92+122=81+144=225,a2≠225,即92+122≠a2，所以∠A不是直角。運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題——例題6有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？解析：一方面要弄清楚人走過(guò)去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)當(dāng)是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)表達(dá)控制燈，BM表達(dá)人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開(kāi)。題型三：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：例1、如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長(zhǎng)。變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的邊長(zhǎng).分析：運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換，將△BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型四：關(guān)于翻折問(wèn)題如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置，BC=4,求BC’的長(zhǎng).題型五：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周邊100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；假如受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？題型六：關(guān)于最短性問(wèn)題例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊沿的B處有一只害蟲(chóng)，便決定捕獲這只害蟲(chóng)，為了不引起害蟲(chóng)的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲(chóng)進(jìn)行忽然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請(qǐng)問(wèn)壁虎至少要爬行多少路程才干捕到害蟲(chóng)?（π取3.14，結(jié)果保存1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？第課時(shí)勾股定理練習(xí)填空題：1.在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，則c=________；（2）b=8，c=17，則S△ABC=________。2.若一個(gè)三角形的三邊之比為5∶12∶13，則這個(gè)三角形是________（按角分類）。3.直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______。4．傳說(shuō),古埃及人曾用＂拉繩”的方法畫(huà)直角,現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子,請(qǐng)你運(yùn)用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為_(kāi)______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.5.命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為_(kāi)__________________,它是____命題.(填“真”或“假”)6．觀測(cè)下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出接下來(lái)的式子：____________________________。AB第8題圖7．運(yùn)用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱為弦圖(最早由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的)．從圖中可以看到：大正方形面積＝小正方形面積＋四個(gè)直角三角形面積．因而c2＝＋,化簡(jiǎn)后即為c2＝AB第8題圖ababc一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是_____________。選擇題：9．觀測(cè)下列幾組數(shù)據(jù):(1)8,15,17;(2)7,12,15;(3)12,15,20;(4)7,24,25.其中能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的有()組A.1B.2C.3D.4AA1006410．三個(gè)正方形的面積如圖，正方形A的面積為（）A.6B.４C.64D.811.已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5和12，則第三邊為（）Ａ．１３Ｂ．Ｃ．１３或Ｄ．不能擬定12.下列命題①假如a、b、c為一組勾股數(shù)，那么4a、4b、4c仍是勾股數(shù)；②假如直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；③假如一個(gè)三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中對(duì)的的是（）A、①② B、①③ C、①④ D、②④13.三角形的三邊長(zhǎng)為（a+b）2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是()A.等邊三角形;B.鈍角三角形;C.直角三角形;D.銳角三角形.14.如圖一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里15.已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為10，一腰上的高為6，則以底邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為（