平面向量學案

平面向量學案平面向量學案/NUMPAGES35第35頁共35頁平面向量學案平面向量學案第一課時課程目標學習脈絡(luò)1.了解向量的實際背景，以位移、力等物理背景抽象出向量．2．理解向量、相等向量、共線向量、零向量的概念及向量的表示.1．向量的概念(1)向量：數(shù)學中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)數(shù)量：把那些只有大小，沒有方向的量，稱為數(shù)量．(3)有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段，其方向是由起點指向終點．以A為起點、B為終點的有向線段記作(如圖所示)，線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作||.書寫有向線段時，起點寫在終點的前面，上面標上箭頭．(4)有向線段的三個要素：起點、方向、長度．知道了有向線段的起點、方向、長度，它的終點就唯一確定了．思考1兩個向量可以比較大小嗎？提示：不能．因為向量既有大小，又有方向．2．向量的表示法(1)幾何表示：用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的長度(或稱模)，如向量的長度記作||.(2)字母表示：通常在印刷時，用黑體小寫字母a，b，c，…表示向量．書寫時，可寫成帶箭頭的小寫字母，，，….還可以用表示向量的有向線段的起點和終點的字母表示，如以A為起點，以B為終點的向量記為.特別提醒(1)向量的書寫要規(guī)范，如向量a不能寫成a；(2)向量的起點、終點要搞清，如與的起點與終點正好相反．3．有關(guān)概念思考2單位向量都相等嗎？提示：不一定，單位向量的模相等，都等于1，但方向不一定相同．思考3表示相等向量的有向線段一定重合嗎？提示：不一定，也可以平行，或在一條直線上．思考4共線向量與相等向量有什么關(guān)系？提示：相等向量一定共線，而共線向量不一定相等．特別提醒(1)零向量表示為0，而不是數(shù)字0；零向量的方向是任意的；規(guī)定零向量與任一向量是共線向量．(2)注意向量平行，向量所在直線不一定平行，還有可能是同一條直線．第二課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義．2．熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會作已知兩向量的和向量．3．掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會用它們進行計算.1．向量加法的定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．兩個向量的和仍然是一個向量．2．向量加法的三角形法則如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作＝a，＝b，則向量叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝.這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．3．向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點的對角線就是a與b的和．這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．思考1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：(1)兩個法則的使用條件不同．三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和．(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的．如圖所示，＝＋(平行四邊形法則)．又∵＝，∴＝＋(三角形法則)．(3)在使用三角形法則時，應(yīng)注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時，應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量的起點相同．思考2向量加法的三角形法則能否推廣用來求多個向量的和？提示：能．向量加法的多邊形法則：n個向量經(jīng)過平移，順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合，組成一組向量折線，這n個向量的和等于從折線起點到終點的向量．這個法則叫做向量加法的多邊形法則．多邊形法則的實質(zhì)是三角形法則的連續(xù)應(yīng)用．4．向量加法的運算律交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考3零向量與其他向量的加法運算是怎樣規(guī)定的？提示：對于零向量與任一向量a，規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.思考4||a|－|b||，|a＋b|，|a|＋|b|之間的大小關(guān)系是怎樣的？提示：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.當a與b同向或a與b中至少有一個為零向量時，|a＋b|＝|a|＋|b|；當a與b反向或a與b中至少有一個為零向量時，||a|－|b||＝|a＋b|.第三課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解相反向量的意義；知道向量減法的定義．2．掌握向量減法的運算及幾何意義，能作出兩個向量的差向量.1．相反向量定義如果兩個向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個向量是相反向量性質(zhì)①對于相反向量，有a＋(－a)＝0②若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0③零向量的相反向量仍是零向量特別提醒(1)相反向量要從向量的“長度”與“方向”兩個方面去理解；(2)相反向量必為平行向量；平行向量不一定是相反向量．2．向量的減法定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量作法在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，則向量a－b＝.如圖所示幾何意義如果把兩個向量a，b的起點放在一起，則a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量思考1若＝a，＝b，則，如何用a，b表示？提示：＝－＝b－a，＝－＝a－b.思考2若a與b是兩個不共線的向量，則|a＋b|和|a－b|的幾何意義是什么？提示：如圖所示，設(shè)＝a，＝b，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則，有＝a＋b，＝a－b.∵四邊形OACB是平行四邊形，∴|a＋b|＝||，|a－b|＝||分別是以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長．思考3向量加法與減法的幾何表示的區(qū)別？提示：向量的減法是加法的逆運算，求a＋b時，是將b的起點放在向量a的終點，然后連接向量a的起點與向量b的終點所得的向量；求a－b時，是把這兩個向量的起點放在一起，它們的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量．第四課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義．2．掌握向量數(shù)乘的運算律，并能用已知向量表示未知向量．3．掌握向量共線定理，會判定或證明兩個向量共線.1．向量的數(shù)乘定義一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa長度|λa|＝|λ||a|方向λ>0λa的方向與a的方向相同λ＝0λa＝0λ<0λa的方向與a的方向相反思考1向量數(shù)乘與原向量有什么樣的關(guān)系？提示：向量數(shù)乘與原向量是共線向量．思考2向量數(shù)乘λa的幾何意義是什么？提示：(1)當|λ|>1時，有|λa|>|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸長了|λ|倍．(2)當0<|λ|<1時，有|λa|<|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上縮短了|λ|倍．思考3向量的大小與方向如何？提示：向量的大小為1，方向與a的方向相同，所以該向量是向量a方向上的單位向量．2．向量數(shù)乘的運算律向量的數(shù)乘運算滿足下列運算律：設(shè)λ，μ為實數(shù)，則(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.特別提醒向量的數(shù)乘運算、加減運算類似于多項式的運算，運算過程類似于多項式的“合并同類項”．3．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.思考4共線向量定理中為何要限制a≠0?提示：共線向量定理中，若不限制a≠0，則當a＝b＝0時，λ的值不唯一，定理不成立．并且當b≠0，a＝0時，λ的值不存在．特別提醒(1)如果非零向量a與b不共線，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.(2)共線向量定理可以分為兩個定理：判定定理：如果存在一個實數(shù)λ滿足b＝λa(λ∈R)，那么a∥b.性質(zhì)定理：如果a∥b，a≠0，那么存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.4．向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.第五課時課程目標學習脈絡(luò)1.了解平面基底的含義，并能判斷基底．2．理解并掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面內(nèi)的任一向量．3．掌握兩個向量夾角的定義以及兩個向量垂直的定義.平面向量基本定理思考1設(shè)e1，e2是平面向量的一組基底，則e1，e2中可能有零向量嗎？平面向量的基底唯一嗎？提示：平面向量基本定理的前提條件是e1，e2不共線，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共線，這與定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它們不共線即可，且基底不同時，實數(shù)λ1，λ2的值也不相同．思考2向量的夾角與兩條直線的夾角有何區(qū)別？提示：向量的夾角α的范圍為0°≤α≤180°，兩條直線的夾角β的范圍是0°≤β≤90°.第六課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解平面向量的坐標的概念；2．會寫出給定向量的坐標，會作出已知坐標表示的向量.1．平面向量的正交分解把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐標表示(1)基底：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．(2)坐標：對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序?qū)崝?shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標，y叫做向量a在y軸上的坐標．(3)坐標表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐標表示．(4)特殊向量的坐標：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．思考1由向量的坐標定義知，當且僅當兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)滿足什么條件時相等？提示：兩向量相等當且僅當它們的坐標相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.3．向量與坐標的關(guān)系設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(x，y)就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標(x，y)也就是向量的坐標．因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的．思考2點的坐標與向量坐標的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：(1)區(qū)別：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號．②意義不同，點A(x，y)的坐標(x，y)表示點A在平面直角坐標系中的位置，a＝(x，y)的坐標(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(x，y)或向量(x，y)．(2)聯(lián)系：當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同．第七課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標運算法則，能熟練進行向量的坐標運算．2．能借助向量的坐標，用已知向量表示其他向量.平面向量的坐標運算設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，則有下表：文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標λa＝(λx1，λy1)向量坐標公式一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)思考如何區(qū)別a－b的坐標運算與的坐標運算？提示：a－b的坐標是對應(yīng)的坐標相減，的坐標為終點坐標減去始點坐標．第八課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解用坐標表示的平面向量共線的條件．2．能用向量的坐標表示判定向量是否共線．證明三點共線.平面向量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當且僅當x1y2－x2y1＝0時，向量a，b共線．思考1如果兩個非零向量共線，你能通過它們的坐標判斷它們同向還是反向嗎？提示：當兩個向量的對應(yīng)坐標同號或同為零時，同向；當兩個向量的對應(yīng)坐標異號或同為零時，反向．例如：向量(1,2)與(－1，－2)反向；向量(1,0)與(3,0)同向；向量(－1,2)與(－3,6)同向；向量(－1,0)與(3,0)反向等．思考2已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則向量a和向量b共線條件的表示方法有哪些？提示：在討論向量共線時，規(guī)定零向量可以與任一向量共線，當b≠0時，a和b共線條件的表示方法有以下三種形式：(1)當b≠0時，a＝λb.這是幾何運算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點、程序化的特征．(3)當x2y2≠0時，＝，即兩個向量的對應(yīng)坐標成比例．這種形式是較容易記憶的向量共線的坐標表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤．第九課時課程目標學習脈絡(luò)1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．2．掌握向量a與b的數(shù)量積公式及其投影的定義．3．掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律．4．會求向量的數(shù)量積、長度、夾角，會用兩個向量的數(shù)量積解決向量的垂直問題.1．平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，其中θ是a與b的夾角記法記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積思考1向量的數(shù)量積的運算結(jié)果是向量還是實數(shù)？如果是向量，如何確定大小和方向？如果是實數(shù)，如何確定它的符號？提示：向量的數(shù)量積是實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦之積．當a，b為非零向量時，由a·b＝|a||b|cosθ，a·b的符號由a與b的夾角θ的余弦值來確定．當0°≤θ<90°時，a·b>0；當90°<θ≤180°時，a·b<0，當a與b至少有一個為零向量或θ＝90°時，a·b＝0.思考2根據(jù)投影的定義，如何利用兩向量的數(shù)量積求向量a在向量b上的投影？提示：根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，向量a在向量b上的投影為|a|cosθ，又a·b＝|a||b|cosθ，所以cosθ＝，所以向量a在向量b上的投影為|a|cosθ＝|a|×＝.2．運算律交換律a·b＝b·a結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c思考3平面向量數(shù)量積運算適合乘法結(jié)合律嗎？提示：數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律，不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，這是因為(a·b)c表示一個與c共線的向量，而a(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．3．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b為兩個非零向量，a與b的夾角為θ.垂直a⊥b?a·b＝0共線同向a·b＝|a||b|a·a＝a2＝|a|2，|a|＝反向a·b＝－|a||b|絕對值|a·b|≤|a||b|符號a·b>0θ∈a·b＝0θ＝a·b<0θ∈夾角公式cosθ＝思考4當兩向量的數(shù)量積為零時，這兩個向量垂直嗎？提示：不一定垂直．當兩向量都不為零時，若數(shù)量積為零，則兩向量垂直．第十課時課程目標學習脈絡(luò)1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，會用向量的坐標形式求數(shù)量積、向量的模及兩個向量的夾角．2．會用兩個向量的數(shù)量積判斷它們的垂直關(guān)系.平面向量數(shù)量積、模、垂直、夾角的坐標表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則有下表：坐標表示數(shù)量積a·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝或|a|2＝x＋y設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則||＝垂直a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0夾角cosθ＝＝思考1與非零向量a同向的單位向量的坐標如何表示？提示：由于|a|＝≠0，且單位向量a0＝，所以a0＝＝(x，y)＝，此為與非零向量a＝(x，y)同向的單位向量的坐標．思考2對任意的向量a與b，向量夾角的坐標公式及垂直的坐標公式都成立嗎？提示：不一定．當a＝(0,0)時，|a|＝0，此時，cosθ＝無意義，但夾角為0°；同時，a·b＝x1x2＋y1y2＝0，但向量a與b不垂直，而是a∥b.故向量夾角的坐標公式及垂直的坐標公式都成立的前提條件是a≠0且b≠0.第十一課時課程目標學習脈絡(luò)1.會用向量方法解決平面幾何中的平行、垂直、長度問題．2．掌握和體會用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.1．由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題．2．用向量方法解決平面幾何問題的三步曲：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第