山西省忻州市原平子干鄉(xiāng)聯(lián)校高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

山西省忻州市原平子干鄉(xiāng)聯(lián)校高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.球O與棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的各個(gè)面都相切，點(diǎn)M為棱DD1的中點(diǎn)，則平面ACM截球O所得截面的面積為（）A． B．π C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】求出圓心到截面距離，利用d2+r2=1求出截面半徑，即可求出截面的面積．【解答】解：設(shè)圓心到截面距離為d，截面半徑為r，由VO﹣ACM=VM﹣AOC，即，∴，又d2+r2=1，∴，所以截面的面積為．故選D．2.下列推斷錯(cuò)誤的是()A.命題“若則”的逆否命題為“若則”B.命題p：存在，使得，則非p：任意x∈R，都有C.若p且q為假命題，則p，q均為假命題D.“”是“”的充分不必要條件參考答案：C3.已知，滿足不等式組當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠?，由得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)解得，即，代入得。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠諳DE，由得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)解得，即，代入得。所以目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是，即，選D.，4.△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，則b+c的值為（）A．12 B．8 C．8 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；解三角形．【分析】將sinA+cosA=兩邊平方，可解得sin2A=﹣，結(jié)合范圍0＜A＜π，可得：cosA=﹣，由正弦定理化簡(jiǎn)3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，根據(jù)余弦定理可得49=b2+c2+bc②，由①②聯(lián)立可解得b，c的值，從而得解．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴兩邊平方，可得：1+sin2A=，解得：sin2A=﹣，∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，∴解得：A=或（由sinA+cosA=舍去），可得：cosA=﹣，∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，∴由a=7，根據(jù)余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，∴49=b2+c2+bc②，∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．5.已知復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．

第三象限

D．第四象限參考答案：A6.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個(gè)命題：①f（f（x））=1；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③任意一個(gè)非零有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)任意x∈R恒成立；④存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．【解答】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（x）=0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，∴對(duì)任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T也是無(wú)理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．7.已知，且，則tanα=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】通過(guò)誘導(dǎo)公式求出sinα的值，進(jìn)而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案選B8.如圖是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，M、N分別是最大、最小值點(diǎn)，且，則的值為（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C9.已知命題p：?a0∈R，曲線為雙曲線；命題q：x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．給出下列結(jié)論：①命題“p且q”是真命題；②命題“p且q”是假命題；③命題“p或q”是真命題；④命題“p或q”是假命題．其中正確的是 ()．A．②③

B．①③

C．②④

D．以上都不對(duì)參考答案：B略10.函數(shù)y=（ex﹣e﹣x）?sinx的圖象大致是（）A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：通過(guò)函數(shù)的奇偶性，排除部分選項(xiàng)，然后利用0＜x＜π時(shí)的函數(shù)值，判斷即可．解答：解：函數(shù)f（﹣x）=（e﹣x﹣ex）（﹣sinx）=（ex﹣e﹣x）sinx=f（x），∴函數(shù)f（x）=（ex+e﹣x）sinx是偶函數(shù)，排除B、C；當(dāng)0＜x＜π時(shí)，f（x）＞0，排除D．∴A滿足題意．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的圖象的判斷，一般通過(guò)函數(shù)的定義域、值域．單調(diào)性，奇偶性，變化趨勢(shì)等知識(shí)解答．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線與垂直，則的值是

.參考答案：1或412.已知點(diǎn)，若分別以為弦作兩外切的圓和圓，且兩圓半徑相等，則圓的半徑為______________.參考答案：略13.（3分）（2008?天津）若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為．參考答案：12π考點(diǎn)：球的體積和表面積．專題：計(jì)算題．分析：有球的體積，就可以利用公式得到半徑，再求解其面積即可．解答：由得，所以S=4πR2=12π．點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生對(duì)公式的利用，是基礎(chǔ)題．14.下列命題中不正確的是

（填序號(hào)）①?zèng)]有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線，②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面，③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行，④一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個(gè)平面。參考答案：15.復(fù)數(shù)z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣1）i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a的值是

．參考答案：0或2．【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】由題意可得：a2﹣2a=0，解出即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣1）i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則a2﹣2a=0，解得a=0或2．故答案為：0或2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.數(shù)列滿足，且，是數(shù)列的前n項(xiàng)和。則=______參考答案：略17.若存在x使不等式>成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A．

B． C．

D．參考答案：C三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，．(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：x>0時(shí)，

………3分（1）當(dāng)x>0時(shí)，有，；所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得所求實(shí)數(shù)的取值范圍為

…6分（2）當(dāng)時(shí)，令，由題意，在上恒成立

……8分令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以在上單調(diào)遞增，因此，

在上單調(diào)遞增，．……10分所以．所求實(shí)數(shù)的取值范圍為

………12分19.（本小題共12分）某工廠的固定成本為3萬(wàn)元，該工廠沒(méi)生產(chǎn)100臺(tái)某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元，設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品（百臺(tái)），其總成本為萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），并且銷售收入滿足 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求： （1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在什么范圍？ （2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？參考答案：依題意得，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為，則所以…………2分要使工廠有盈利，則有，因?yàn)?，或………?分或或則或，…………6分即…………7分所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺(tái)小于1050臺(tái)的范圍內(nèi)…………8分當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，有最大值4.5…………10分而當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大…………12分20.（本題13分）在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，已知.（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值.參考答案：（1）.（2）.（1）由，得，

即.解得因?yàn)?所以.（2）由，得：，又，所以.由余弦定理得，所以.從而由正弦定理得.21.（本小題滿分13分）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)，甲組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示.

甲組

乙組

6X

8

7

4

1

9

0

0

3

（Ⅰ）如果甲組同學(xué)與乙組同學(xué)的平均成績(jī)一樣，求X及甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差；（Ⅱ）如果X=7，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名，求這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之和大于180的概率.（注：方差其中）參考答案：解：（I）乙組同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)椋捉M同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?0，

所以…………………2分

甲組同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為……………

6分(II)設(shè)甲組成績(jī)?yōu)?6,87,91,94的同學(xué)分別為乙組成績(jī)?yōu)?7,90,90,93的同學(xué)分別為則所有的事件構(gòu)成的基本事件空間為：

共16個(gè)基本事件.設(shè)事件“這兩名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)之和大于180”，則事件包含的基本事件的空間為{共7個(gè)基本事件，………….13分22.（13分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱銀卡）．某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客．在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡．（Ⅰ）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（Ⅱ）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能事件的概率．【分析】（Ⅰ）由題意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡．記出事件，表示出事件的概率，根據(jù)互斥事件的概率公式，得到結(jié)論．（Ⅱ）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其對(duì)應(yīng)的概率，能得到ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡．設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)3人