2022-2023學(xué)年湖南省婁底市婁星區(qū)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省婁底市婁星區(qū)第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線y=a與函數(shù)y=x3﹣3x的圖象有相異三個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】先求出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，結(jié)合函數(shù)y=x3﹣3x的圖象與y=a的圖象，觀察即可求出滿足條件的a．【解答】解：y=x3﹣3x=x（x2﹣3）=0解得方程有三個(gè)根分別為，0，y'=3x2﹣3=0解得，x=1或﹣1f（1）=﹣2，f（﹣1）=2畫出函數(shù)y=x3﹣3x的圖象與y=a觀察圖象可得a∈（﹣2，2）故選A．2.“”是“”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C3.設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，則a=（）A．0 B．1 C．11 D．12參考答案：D【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】由二項(xiàng)式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展開式中的項(xiàng)含有因數(shù)52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，結(jié)合已知a的范圍可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因數(shù)52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13則可得a+1=13∴a=12故選D4.已知樣本x1，x2，…xm的平均數(shù)為，樣本y1，y2，…yn的平均數(shù)，若樣本x1，x2，…xm，y1，y2，…yn的平均數(shù)=α+（1﹣α），其中0＜α≤，則m，n的大小關(guān)系為（）A．m＜n B．m＞n C．m≤n D．m≥n參考答案：C【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】易知x1+x2+…+xm=m，y1+y2+…+yn=n，從而可得=+，從而解得．【解答】解：由題意知，x1+x2+…+xm=m，y1+y2+…+yn=n，故==+，故0＜≤，故m≤n，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)的求法及應(yīng)用．5.點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，則PA與BD所成的角的度數(shù)為()A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：C6.函數(shù)y=x3+x﹣2在點(diǎn)P0處的切線平行于直線y=4x﹣4，則P0點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（﹣1，﹣4） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（1，4）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于4得出x=±1，分別求出函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)在直線上，不成立，得出選項(xiàng)．【解答】解：f（x）=x3+x﹣2，∴f'（x）=3x2+1，令3x2+1=4，∴x=±1，∴f（1）=0在直線y=4x﹣4上，舍去，f（﹣1）=﹣4．故選B．7.已知點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是原點(diǎn)，若是的角平分線上一點(diǎn)，且,則的取值范圍是（

）A．[0,3] B． C． D．[0,4]參考答案：B8.已知函數(shù)在處取得極大值10，則的值為（

）A．

B．

C.-2或

D．－2參考答案：B由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極大值，則，即，解得或，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，時(shí)取得極小值，不符合題意（舍去）所以，故選B．

9.已知A，B是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且|AB|=，單位圓的圓心是O，則·=

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C10.按如下程序框圖，若輸出結(jié)果為，則判斷框內(nèi)應(yīng)補(bǔ)充的條件為（

）(A)

？

(B)

？

(C)

？

(D)

？參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列{an}中，，，則公差d=__________．參考答案：2【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而．【詳解】因?yàn)椋?，所以，填．【點(diǎn)睛】一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.12.若an＞0，a1=2，且an+an﹣1=+2（n≥2），則++…+=

．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】an+an﹣1=+2（n≥2），取分母化為：﹣=n．利用“累加求和”可得，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【解答】解：∵an+an﹣1=+2（n≥2），∴=n+2（an﹣an﹣1），化為：﹣=n．∴=[﹣]+[﹣+…++=n+（n﹣1）+…+2+1=．∴==2．∴++…+=2+…+=2=．故答案為：．13.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于，且，則橢圓的離心率是_______________.參考答案：略14.在拋物線y2=﹣4x上求一點(diǎn)P，使其到焦點(diǎn)F的距離與到A（﹣2，1）的距離之和最小，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是．參考答案：（﹣，1）【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)為F（﹣1，0）、準(zhǔn)線為x=1．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，根據(jù)拋物線的定義得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|，利用平面幾何知識(shí)得當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，這個(gè)距離之和達(dá)到最小值，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，利用拋物線方程求出P的橫坐標(biāo)，從而可得答案．【解答】解：由拋物線方程為y2=﹣4x，可得2p=4，=1，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（﹣1，0），準(zhǔn)線方程為x=1．設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，連結(jié)PQ，則根據(jù)拋物線的定義得|PF|=|PQ|，由平面幾何知識(shí)，可知當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PQ|+|PA|達(dá)到最小值，此時(shí)|PF|+|PA|也達(dá)到最小值．∴|PF|+|PA|取最小值，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1，將P（x，1）代入拋物線方程，得12=﹣4x，解得x=﹣，∴使P到A、F距離之和最小的點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣，1）．故答案為：（﹣，1）15.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），則a的值是．參考答案：2【考點(diǎn)】微積分基本定理．【分析】根據(jù)題意找出2x+的原函數(shù)，然后根據(jù)積分運(yùn)算法則，兩邊進(jìn)行計(jì)算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案為：2；16.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于

．參考答案：8略17.雙曲線x2﹣=1的漸近線方程是

．參考答案：y=±2x

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】漸近線方程是=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【解答】解：∵雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為=1，其漸近線方程是=0，整理得y=±2x．故答案為y=±2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．（1）若函數(shù)h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．專題：常規(guī)題型；計(jì)算題；分類討論．分析：（1）先求出函數(shù)h′（x），欲使h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′（x）＜0在（0，+∞）上有解，然后利用分離法可得a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函數(shù)在（0，+∞）上的最小值即可．（2）先令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0），函數(shù)f（x）=ax與g（x）=lnx﹣1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最小值，比較最小值與0的大小即可得到F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解答：解：（1）h（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），h′（x）=﹣ax﹣2．若使h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′（x）=﹣ax﹣2＜0在（0，+∞）上有解．而當(dāng)x＞0時(shí)，﹣ax﹣2＜0?ax＞﹣2?a＞﹣問題轉(zhuǎn)化為a＞在（0，+∞）上有解，故a大于函數(shù)在（0，+∞）上的最小值．又=﹣1，在（0，+∞）上的最小值為﹣1，所以a＞﹣1．（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=ax﹣lnx+1（a＞0）函數(shù)f（x）=ax與g（x）=lnx﹣1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)F（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．F′（x）=a﹣（x＞0）令F（x）=a﹣=0解得x=．隨著x的變化，F(xiàn)（x），F(xiàn)（x）的變化情況如表：（7分）①當(dāng)F（）=2+lna＞0，即a=e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）恒大于0，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)．（8分）②當(dāng)F（）=2+lna=0，即a=e﹣2時(shí)，由上表，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．③F（）=2+lna＜0，即0＜a＜e﹣2時(shí)，顯然1＜F（1）=a+1＞0，所以F（1）F（）＜0?，又F（x）在（0，）內(nèi)單調(diào)遞減，所以F（x）在（0，）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x＞時(shí)，F(xiàn)（x）=ln由指數(shù)函數(shù)y=（ea）x（ea＞1）與冪函數(shù)y=x增長(zhǎng)速度的快慢，知存在x0＞使得從而F（x0）=ln因而F（）?F（x0＜0）又F（x）在（，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）在[，+∞）上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，所以F（x）在（，+∞）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．因此，0＜a＜e﹣2時(shí)，F(xiàn)（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，a＞e﹣2，f（x）與g（x）的圖象無(wú)交點(diǎn)；當(dāng)a=e﹣2時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；0＜a＜e﹣2時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化和劃歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19.（本小題滿分12分）平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝（3，2），b＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；（2）若（a+kc）∥(2b-a)，求實(shí)數(shù)k；參考答案：（1）因?yàn)閍=mb+nc,所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n）,所以………………6分（2）因?yàn)椋╝+kc）∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2（3+4k）+5（2+k）＝0，即k=-.………………12分20.十九大提出，加快水污染防治，建設(shè)美麗中國(guó)根據(jù)環(huán)保部門對(duì)某河流的每年污水排放量X(單位：噸)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布表：

污水量[230,250)[250,270)[270,290)[290,310)[310,330)[330,350)

頻率

0.3

0.44

0.15

0.1

0.005

0.005

將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨(dú)立．（Ⅰ）求在未來(lái)3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）該河流的污水排放對(duì)沿河的經(jīng)濟(jì)影響如下：當(dāng)時(shí)，沒有影響；當(dāng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為10萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為60萬(wàn)元為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對(duì)方案：方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)3.8萬(wàn)元；方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)2萬(wàn)元；方案三：不采取措施．試比較上述三種方案，哪種方案好，并請(qǐng)說明理由．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）采取方案二最好，理由詳見解析.【分析】（Ⅰ）先求污水排放量的概率0.25，然后再求未來(lái)3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）分別求解三種方案的經(jīng)濟(jì)損失的平均費(fèi)用，根據(jù)費(fèi)用多少作出決策.【詳解】解：（Ⅰ）由題得，設(shè)在未來(lái)3年里，河流的污水排放量的年數(shù)為Y，則設(shè)事件“在未來(lái)3年里，至多有一年污水排放量”為事件A，則．在未來(lái)3年里，至多1年污水排放量的概率為．（Ⅱ）方案二好，理由如下：由題得，．用，，分別表示方案一、方案二、方案三的經(jīng)濟(jì)損失,則萬(wàn)元．的分布列為：

2

62

P

．的分布列為：

0

10

60

P

．三種方案中方案二的平均損失最小，采取方案二最好．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和期望，數(shù)學(xué)期望是生活生產(chǎn)中進(jìn)行決策的主要指標(biāo)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21.已知函數(shù).（Ⅰ）若在處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若，直線都不是曲線的切線，求的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區(qū)間［0，1］上的最大值。參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)椤?分令，所以隨的變化情況如下表：+0-0+↑極大值↓極小值↑

---------------------4分所以

------------------------------------------5分（由得出，或，在有單調(diào)性驗(yàn)證也可以（標(biāo)準(zhǔn)略））（Ⅱ）因?yàn)?/p>

------------------------------------------6分因?yàn)?，直線都不是曲線的切線，所以無(wú)實(shí)數(shù)解--------------------------------------7分只要的最小值大于，所以

--------------------------------------8分（Ⅲ）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，對(duì)成立.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值-----------------------------------9分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以當(dāng)時(shí)，取得最大值

------------------------------10分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，單調(diào)遞減所以當(dāng)，取得最大值

--------------------------------------11分當(dāng)時(shí)，在時(shí)，單調(diào)遞減,在時(shí)，，單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，在取得最大值當(dāng)時(shí)，在