漸近法有力矩分配法

關于漸近法有力矩分配法第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月圖9-1它表示桿端對轉(zhuǎn)動的抵抗能力，在數(shù)值上等于使桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時需要施加的力矩。如圖9-1(a)所示單跨梁，A端為鉸結，B端為固定端，當A端(又稱近端)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時，需要施加的力矩為4i

，即轉(zhuǎn)動剛度,若把A端也改為固定端如圖9-1(d)所示，當A支座發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時，引起A端的桿端彎矩仍為4i第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可以看出，轉(zhuǎn)動剛度SAB的數(shù)值不但與桿件的線剛度i有關，而且與B端(又稱遠端)的支承情況有關。圖9-1給出了遠端為不同支承時轉(zhuǎn)動剛度SAB的值，遠端的桿端彎矩也標在相應的圖上。2．傳遞系數(shù)C

由圖9-1知，當近端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角jA=1時，遠端也產(chǎn)生桿端彎矩MBA，遠端桿端彎矩MBA與近端桿端彎矩MAB之比稱為傳遞系數(shù)，用C表示，即。對于等截面桿件，傳遞系數(shù)C與遠端的支承情況有關，具體數(shù)值如下：遠端固定C=1/2

遠端鉸結C=0

遠端定向C=-1第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月遠端彎矩，也稱為傳遞彎矩，用MC表示

3．分配系數(shù)

圖9-2所示剛架，A為剛結點，B、C、D端分別為固定、定向及鉸結。設在A結點作用一集中力偶M，剛架產(chǎn)生圖中虛線所示變形，匯交于A結點的各桿端產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角均為jA，各桿桿端彎矩由轉(zhuǎn)動剛度定義可知(a)取結點A為隔離體，見圖9-2(b)，由平衡方程可得第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

M-MAB-MAC-MAD=0M=MAB+MAC+MAD=(SAB+SAC+SAD)=M/(SAB+SAC+SAD)=M/

(c)式中表示匯交于A結點各桿端轉(zhuǎn)動剛度的總和。將(b)式代入(a)式(b)第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月式中mAB、mAC、mAD稱為分配系數(shù),就相當于把結點力矩M按各桿轉(zhuǎn)動剛度的大小比例分配給各桿的近端,所得的近端彎矩稱為分配彎矩，用Mm表示。其中匯交于A結點各桿端分配系數(shù)之和為1,即。遠端桿端彎矩MBA=MAB/2、MCA=-MAC、MDA=0，是由分配彎矩乘傳遞系數(shù)而得,即為傳遞彎矩。

4．力矩分配法的基本原理以圖9-3(a)為例進行說明:

（1）設想在B結點加上一個剛臂阻止B結點轉(zhuǎn)動如圖9-3(b)所示。此時只有AB跨受荷載作用產(chǎn)生變形,相應的桿端彎矩MFAB、MFAB即為固端彎矩、,附加剛臂的反力矩可取B結點為隔離體而得：第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月ΣMB=0MB是匯交于B結點各桿端固端彎矩代數(shù)和,它是未被平衡的各桿固端彎矩的差值,故稱為B結點上的不平衡力矩,以順時針方向為正。圖9-3第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）原連續(xù)梁B結點并無附加剛臂,取消剛臂的作用讓B結點轉(zhuǎn)動,就相當于在B結點加上一個反向的不平衡力矩如圖9-3(c)所示。這時匯交于B結點的各桿端產(chǎn)生的彎矩,,即前面所述的分配彎矩。在遠端產(chǎn)生的桿端彎矩即傳遞彎矩MC，它是由各近端的分配彎矩乘以傳遞系數(shù)得到的。（3）將圖9-3(b)、(c)兩種情況疊加,就得到圖9-3(a)所示連續(xù)梁的受力及變形。如桿端彎矩以上就是力矩分配法的基本思路,概括來說:先在B結點加上附加剛臂阻止B結點轉(zhuǎn)動,把連續(xù)梁看作兩個單跨粱,求出各桿的固端彎矩MF,此時剛臂承受不平衡力矩MB(各桿固端彎矩的代數(shù)和),然后去掉第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月附加剛臂,即相當于在B結點作用一個反向的不平衡力矩(-MB)，求出各桿端的分配彎矩及傳遞彎矩MC，疊加各桿端彎矩即得原連續(xù)梁各桿端的最后彎矩。連續(xù)梁的M、FS圖及支座反力則不難求出。用力矩分配法作題時,不必繪圖9-3(b)、(c)所示圖,而是按一定的格式進行計算,即可十分清晰地說明整個計算過程,舉例如下。例9-1用力矩分配法計算圖9-4(a)所示連續(xù)梁的M圖。EI=常數(shù)。第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月圖9-4第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

解:(1)計算分配系數(shù)

m，設i=EI/24，則

iAB=EI/8=3i

iBC=EI/6=4i

將分配系數(shù)寫在B結點下方的方框內(nèi)。

(2)計算各桿端的固端彎矩MF(查表8-1)。

第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月寫在各桿端下方MF一行。

(3)B結點的不平衡力矩為：MB=64-90=-26kN·m，將其反號進行分配,得各桿端的分配彎矩。

寫在B結點下方一行,并畫一橫線表示B結點已放松獲得平衡。

(4)各桿遠端的傳遞彎矩MC的計算。寫在對應的桿端下方MC一行,并用箭頭表示彎矩的傳遞方向。第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)最后桿端彎矩的計算。將其寫在各桿端下方M一行,并用雙橫線表示計算的最后結果。由于在計算分配彎矩時,已使結點保持平衡,在最后M圖校核中,利用ΣMB=0只能校核分配過程有無錯誤,而對分配系數(shù)、固端彎矩MF計算是否有誤則必須考慮變形條件的校核。最后彎矩圖見圖9-4(b)所示。第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月為了計算更加簡單起見,分配彎矩Mμ,及傳遞彎矩MC的具體算式可不必另寫,而直接在圖9-4表格上進行即可.例9-2計算圖9-5(a)所示剛架的M圖。解:(1)計算分配系數(shù)m。設i=EI/4,iAB=EI/4=i,iAC=EI/4=i,iAD=2EI/4=2i。(2)計算固端彎矩M第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月圖9-5第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)分配、傳遞均在圖9-5(b)上進行。

(4)繪M圖，如圖9-5(c)所示。A結點滿足

ΣMA=55.55+11.67-67.22=0

§9-3用力矩分配計算連續(xù)梁和無側移剛架上節(jié)以只有一個結點轉(zhuǎn)角說明了力矩分配法的基本原理。對于有多個結點轉(zhuǎn)角但無結點線位移(如兩跨以上連續(xù)梁、無側移剛架),只需依次對各結點使用上節(jié)方法便可求解。下面用圖9-6(a)所示三跨連續(xù)梁來說明用逐次漸近的方法計算桿端彎矩的過程。第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月首先將B、C兩結點同時固定,計算分配系數(shù)：由于各跨及EI均為常數(shù),故線剛度均為,則。分配系數(shù)為:B結點：mBA=4i/(4i+4i)=1/2,m

BC=4i/(4i+4i)=1/2C結點：mCB=4i/(4i+3i)=4/7,mCD=3i/(4i+3i)=3/7再計算各桿的固端彎矩MF：第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月將以上數(shù)據(jù)填到圖9-6相應欄中,此時B、C結點均有不平衡力矩,為消除這兩個不平衡力矩,位移法中是令B、C同時產(chǎn)生和原結構相同的轉(zhuǎn)角,即同時放松B、C結點讓它們一次轉(zhuǎn)到實際的平衡位置,在計算中就是意味著解聯(lián)立方程,而在力矩分配法中,為了避免解聯(lián)立方程,只能將各結點輪流放松,用逐次漸近的方法使B、C結點達到平衡位置。第一步放松C結點。C結點的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，將其反號分配：第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月圖9-6第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月將它們填入圖中對應位置,C結點暫時獲得平衡,在分配彎矩下面畫一橫線表示平衡(C結點雖然轉(zhuǎn)動了一個角度,但還未到最后位置),將C結點暫時再固定。分配彎矩應向各自的遠端進行傳遞,傳遞彎矩為：填入圖中相應位置。再看B結點，它的不平衡力矩應為原固端彎矩再加上由結點C傳遞過來的傳遞彎矩之和：MB=80-60+8=+28kN·m。放松B結點，即將上述不平衡力矩反號進行分配。并同時向遠端傳遞第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月將上述各數(shù)據(jù)填入圖中相應位置，B結點此時亦暫告平衡，仍在分配彎矩數(shù)值下面畫一橫線。將B結點暫時固定(B結點此時也未轉(zhuǎn)到最后位置)。C、B兩結點各放松一次稱為第一輪計算。第二步再放松C結點。C結點由于傳遞彎矩=-7kN·m又產(chǎn)生了不平衡力矩，放松C結點，即在C結點加上一個反向的不平衡力矩進行分配、傳遞，暫時再將C結點固定。此時B結點由于也產(chǎn)生了不平衡力矩，再放松B結點進行分配、傳遞。

…………第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如此反復將各結點輪流進行放松、固定，不斷進行分配、傳遞，直到傳遞彎矩的數(shù)值小到按計算精度要求可以不計時，即可停止計算(最后應停止在分配彎矩這一步，而不再向遠端傳遞)。最后彎矩圖見圖9-6(b)所示。由于分配系數(shù)m及傳遞系數(shù)C均不大于1，故在上述計算中，隨計算輪次的增加，數(shù)值愈來愈小。為使計算收斂的更快，一般首先從不平衡力矩(絕對值)數(shù)值最大的結點開始分配、傳遞。當結點多于2個時，可同時放松不相鄰的各結點，也同樣可加快收斂的速度。第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月圖9-7第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例9-3

用力矩分配法計算圖9-7(a)所示連續(xù)梁的M圖。解：本題的特點是DE為懸臂部分；B結點有一集中力偶m=6kN·m。如何處理分述如下：右端懸臂部分DE內(nèi)力為靜定，可由靜力平衡條件求出，若將其切去以截面的彎矩和剪力作為外力施加于結點D上，則D結點便可作為鉸支端進行處理，如圖9-7(b)所示。(1)計算分配系數(shù)m

：設，則，

B結點：第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月C結點：(2)固端彎矩。

(3)進行分配、傳遞。結點B有集中力偶m作用，在計算B結點的不平衡力矩時，除了固端彎矩、及傳遞彎矩外，還應加上結點荷載——集中力偶m(m是作用在結點上的荷載，其方向應以逆時針方向為正)，即第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

MB=+12-36-13.82-6=-43.82kN·m將上述不平衡力矩反號進行分配。在圖9-7中用括號將m值寫在B結點下方，加括號是防止在計算最后彎矩時，把這個結點荷載m加到某根桿的桿端彎矩中。分配、傳遞的過程為CBCBCBCB。

(4)最后M圖，見圖9-7(c)所示。例9-4

用力矩分配法作圖9-8(a)所示剛架M圖。EI=常數(shù)。圖9-8第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

解：用力矩分配法計算剛架的桿端彎矩時，對于簡單的剛架，可直接在計算簡圖上進行，如例9-2。但當結構桿件比較多時，采用表格的形式比較方便。表格的格式有多種，現(xiàn)推薦下面的格式供讀者參考。

(1)計算分配系數(shù)。

B結點：同理，mBD=1/3,mBC=1/3C結點：同理，mCB=1/2

(2)固端彎矩。第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

(3)分配傳遞過程CBCBC，見表9-1。

(4)最后M圖，如圖9-8(b)所示。第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月表9-1桿端彎矩的計算本章介紹的力矩分配法只適應于無結點結線位移且各結點均為剛結點的結構。第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月§

9-4無剪力分配法1．適用范圍無剪力分配法適合計算某些特定條件下的有側移剛架，即剛架是由兩類桿件組成：（1）無側移桿，兩桿端無相對線位移，（2）剪力靜定桿。2．計算步驟（1）固定結點。只加剛臂阻止結點的轉(zhuǎn)動，而不加鏈桿阻止結點的移動，如圖9-9b所示。對剪力靜定桿來說，相當于一端固定、一端滑動的梁，計算固端彎矩（9-6）第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月結點B的不平衡力矩暫時由剛臂承受。（2）放松結點。為了消除剛臂上的不平衡力矩，現(xiàn)在