數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（研究整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)及其相關(guān)問(wèn)題的學(xué)科）

研究整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)及其相關(guān)問(wèn)題的學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（研究整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)及其相關(guān)問(wèn)題的學(xué)科）01簡(jiǎn)介現(xiàn)狀研究學(xué)派歷史及發(fā)展三次數(shù)學(xué)危機(jī)目錄03050204基本信息數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（FoundationofMathematics），是研究整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)及其相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)專(zhuān)門(mén)學(xué)科，即研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，回答“數(shù)學(xué)是什么？”，“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么？”，“數(shù)學(xué)是否和諧？”等等一些數(shù)學(xué)上的根本問(wèn)題的學(xué)科。對(duì)于直覺(jué)主義、邏輯主義和形式主義的異同，可以追溯到近代哲學(xué)家康德對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。康德認(rèn)為算術(shù)來(lái)自先驗(yàn)主體對(duì)時(shí)間純形式的直觀，幾何則是對(duì)空間純形式的直觀。這實(shí)質(zhì)上是一種由主觀而客觀的思路?？档碌乃枷牒髞?lái)又在胡塞爾那里得到繼承和發(fā)展。胡塞爾就是從考慮“數(shù)在哪里”的問(wèn)題提出現(xiàn)象學(xué)還原方法的。簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（FoundationofMathematics）是研究整個(gè)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)及其相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)專(zhuān)門(mén)學(xué)科，即研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，回答“數(shù)學(xué)是什么？”，“數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是什么？”，“數(shù)學(xué)是否和諧？”等等一些數(shù)學(xué)上的根本問(wèn)題的學(xué)科。對(duì)于直覺(jué)主義、邏輯主義和形式主義的異同，可以追溯到近代哲學(xué)家康德對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考?？档抡J(rèn)為算術(shù)來(lái)自先驗(yàn)主體對(duì)時(shí)間純形式的直觀，幾何則是對(duì)空間純形式的直觀。這實(shí)質(zhì)上是一種由主觀而客觀的思路?？档碌乃枷牒髞?lái)又在胡塞爾那里得到繼承和發(fā)展。胡塞爾就是從考慮“數(shù)在哪里”的問(wèn)題提出現(xiàn)象學(xué)還原方法的。歷史及發(fā)展歷史及發(fā)展對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的**和研究，可追溯至古代。但在較長(zhǎng)的歷史階段中，只限于對(duì)單科數(shù)學(xué)分支基礎(chǔ)的討論.至于作為整個(gè)數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的探索，尤其是“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”作為一門(mén)專(zhuān)門(mén)學(xué)科的形成和誕生，乃是20世紀(jì)初的事.當(dāng)時(shí)也是由于多種因素和研究活動(dòng)的匯合，尤其是在作為整個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)之理論基礎(chǔ)的集合論中出現(xiàn)悖論之后，才把數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的研究推向高潮，并進(jìn)一步促進(jìn)了數(shù)學(xué)哲學(xué)的發(fā)展，直至最終成為20世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中深入的研究活動(dòng)之一。歐幾里得《幾何原本》中譯版關(guān)于幾何基礎(chǔ)的研究.歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》一直被公認(rèn)為是最早用嚴(yán)格的邏輯結(jié)構(gòu)建立學(xué)科體系的典范.但其不足之處也一直為歷代學(xué)者所關(guān)心。直到19世紀(jì)末，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(Hilbert，D.)才第一次給出了一個(gè)完備的歐幾里得幾何公理系統(tǒng)，這就是希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》一書(shū)的核心內(nèi)容.關(guān)于歐幾里得幾何基礎(chǔ)研究的另一個(gè)重要線索，來(lái)自關(guān)于第五公設(shè)問(wèn)題的探討，長(zhǎng)達(dá)兩千年之久對(duì)第五公設(shè)的所有試證全告失敗，由此導(dǎo)致非歐幾何的建立和引起人們對(duì)于幾何公理系統(tǒng)相容性問(wèn)題的注意.后來(lái)知道：只要假定實(shí)數(shù)系統(tǒng)是相容的，那么歐幾里得幾何公理系統(tǒng)和羅巴切夫斯基幾何公理系統(tǒng)都是相容的。而實(shí)數(shù)系統(tǒng)究竟相容與否，最終還是要?dú)w結(jié)到作為整個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的集合論系統(tǒng)相容與否。微積分基礎(chǔ)奠基人之一，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在其他方面，也有類(lèi)似的涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的問(wèn)題.公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的古希臘數(shù)學(xué)家希帕索斯(Hippasus，(M))發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可通約，由于當(dāng)時(shí)人們對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念還一無(wú)所知，因而上述發(fā)現(xiàn)致使人們驚奇不安，數(shù)學(xué)史上稱(chēng)為第一次數(shù)學(xué)危機(jī).數(shù)學(xué)史上又把18世紀(jì)微積分誕生以后在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生的混亂局面稱(chēng)為第二次數(shù)學(xué)危機(jī).現(xiàn)狀現(xiàn)狀數(shù)學(xué)上，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一詞有時(shí)候用于數(shù)學(xué)的特定領(lǐng)域，例如數(shù)理邏輯，公理化集合論，證明論，模型論，和遞歸論。但是尋求數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)也是數(shù)學(xué)哲學(xué)的中心問(wèn)題:在什么終極基礎(chǔ)上命題可以稱(chēng)為真?占統(tǒng)治地位的數(shù)學(xué)范式是基于公理化集合論和形式邏輯的。事實(shí)上，所有的數(shù)學(xué)定理都可以用集合論的定理表述。數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性在這個(gè)觀點(diǎn)下，不過(guò)就是該命題可以從集合論公理使用形式邏輯推導(dǎo)出來(lái)。這個(gè)形式化的方法不能解釋一些問(wèn)題：為什么我們選擇我們所用的而不是其他的公理，為什么我們使用我們所用的邏輯規(guī)則而不是其他的，為什么"真"數(shù)學(xué)命題(例如，算數(shù)的皮亞諾公理)在物理世界中似乎是真的。這被EugeneWigner在1960年叫做“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中無(wú)理由的有效性”(Theunreasonableeffectivenessofmathematicsinthenaturalsciences)。上述的形式化真實(shí)性也可能完全沒(méi)有意義：完全可能所有命題，包括自相矛盾的命題，都可以從集合論公理導(dǎo)出。而且，作為歌德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ淼囊粋€(gè)結(jié)果，我們永遠(yuǎn)不可能知道事情是不是就是這樣。在數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)主義(有時(shí)也叫柏拉圖主義)中，獨(dú)立于人類(lèi)的數(shù)學(xué)對(duì)象的世界的存在性被作為一個(gè)基本假設(shè);這些對(duì)象的真實(shí)性由人類(lèi)發(fā)現(xiàn)。在這種觀點(diǎn)下，自然定律和數(shù)學(xué)定律有同樣的地位，而"有效性"不再"無(wú)理由"。不僅是我們的公理，而且是數(shù)學(xué)對(duì)象的真實(shí)世界構(gòu)成了基礎(chǔ)。那么，明顯的問(wèn)題在于，我們?nèi)绾谓佑|這個(gè)世界？一些數(shù)學(xué)哲學(xué)的現(xiàn)代理論不承認(rèn)基礎(chǔ)在其原始意義上的存在性。三次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次危機(jī)第二次危機(jī)第三次危機(jī)危機(jī)的影響三次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次危機(jī)第一次是公元前5世紀(jì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)不可共度線段：正方形的一邊與其對(duì)角線不可公度，即發(fā)現(xiàn)不是有理數(shù)。這次危機(jī)導(dǎo)致無(wú)理數(shù)及幾何公理系統(tǒng)的建立——?dú)W幾里得幾何原本誕生。盡管原本還不是嚴(yán)格的公理系統(tǒng)，但它充分表明直觀、經(jīng)驗(yàn)不可全信，幾千年來(lái)對(duì)幾何學(xué)的研究，特別是后來(lái)對(duì)非歐幾何的研究促使幾何學(xué)走向嚴(yán)格的公理化。嚴(yán)格公理化的幾何就是幾何基礎(chǔ)也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一部分。第二次危機(jī)17世紀(jì)后半期I.牛頓和G.W.萊布尼茲創(chuàng)立了微積分學(xué)，但他們對(duì)無(wú)窮小的解釋很難令人滿意，英國(guó)主教G.貝克萊抨擊當(dāng)時(shí)的微積分，指出它在邏輯上有明顯的問(wèn)題，這便是第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。這次危機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們意識(shí)到不為微積分建立牢固的基礎(chǔ)，只進(jìn)行運(yùn)算是不行的。19世紀(jì)A.L柯西、K.魏爾斯特拉斯等創(chuàng)立了極限論，以極限為基礎(chǔ)建立微積分學(xué)。A.魯賓孫于1960年創(chuàng)立了非標(biāo)準(zhǔn)分析，把實(shí)數(shù)域擴(kuò)充到包含無(wú)窮小和無(wú)窮大的超實(shí)數(shù)域，圓滿解決了“無(wú)窮小的矛盾”問(wèn)題。與此同時(shí)，傳統(tǒng)邏輯發(fā)展為數(shù)理邏輯。數(shù)理邏輯是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要內(nèi)容。第三次危機(jī)數(shù)學(xué)上的第三次危機(jī)一般認(rèn)為始于1902年B.A.W.羅素發(fā)現(xiàn)的悖論，后人稱(chēng)這個(gè)悖論為羅素悖論：以S表示所有不以自身為元素的集合的全體。按照集合論的概括原則（構(gòu)成集合的原則），S應(yīng)該是一個(gè)集合。問(wèn)S是否是S的一個(gè)元素？如果S∈S，則按照S的定義應(yīng)有SS；如果SS，則按S的定義又應(yīng)有S∈S。無(wú)論哪種情況都導(dǎo)致矛盾。羅素悖論動(dòng)搖了集合論，也動(dòng)搖了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。因?yàn)榱_素悖論只涉及最基本的集合論概念：集合，元素，屬于和概括原則，它的構(gòu)成十分清楚明白。這個(gè)悖論的出現(xiàn)說(shuō)明以往的樸素集合論中包含矛盾，因而以集合論為基礎(chǔ)的整個(gè)數(shù)學(xué)就不能沒(méi)有矛盾。這個(gè)悖論也同時(shí)說(shuō)明數(shù)學(xué)中采用的邏輯也不是沒(méi)有問(wèn)題的。數(shù)學(xué)上的第三次危機(jī)使數(shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界都感到問(wèn)題的嚴(yán)重性。羅素悖論表明不能無(wú)條件承認(rèn)概括原則，然而概括原則的改變將使集合論大為改觀，因此對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的影響是巨大的。集合論中包含矛盾這個(gè)事實(shí)，實(shí)際上稍早以前就已發(fā)現(xiàn)。樸素集合論的創(chuàng)始人G.康托爾，1895年就發(fā)現(xiàn)了“最大序數(shù)悖論”(所有序數(shù)的集合有更大序數(shù))；1899年他又發(fā)現(xiàn)“最大基數(shù)悖論”（所有集合的集合有最大基數(shù)，但由這個(gè)集合的一切子集構(gòu)成的集合有更大的基數(shù)）。對(duì)于這兩個(gè)悖論當(dāng)時(shí)人們也感到吃驚，但認(rèn)為這是集合論中的一些技術(shù)性問(wèn)題，只要作一些技術(shù)改進(jìn)就可消除，因此沒(méi)有引起人們的極大**

。危機(jī)的影響三次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生是數(shù)學(xué)深入發(fā)展的結(jié)果，許多數(shù)學(xué)家為消除危機(jī)作了不懈的努力。這些努力促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，特別是促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。其中第三次危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的影響更大。人們公認(rèn)集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，任何一門(mén)數(shù)學(xué)都離不開(kāi)它。非歐幾何學(xué)的和諧性歸結(jié)為歐幾里得幾何學(xué)的和諧性；歐幾里得幾何學(xué)的和諧性又歸結(jié)為實(shí)數(shù)系統(tǒng)的和諧性；而實(shí)數(shù)系統(tǒng)的和諧最終歸結(jié)為集合論的和諧性。但集合論是有矛盾的。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)開(kāi)始時(shí)，很多數(shù)學(xué)家對(duì)集合論的改造持旁觀態(tài)度，認(rèn)為可由邏輯學(xué)家去討論。后來(lái)發(fā)現(xiàn)這樣行不通，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)論證中每人必須采用某一派的觀點(diǎn)，無(wú)法回避。研究學(xué)派邏輯主義形式主義直覺(jué)主義研究學(xué)派邏輯主義懷特海以羅素和A.N懷特海為代表。他們認(rèn)為所有數(shù)學(xué)概念都?xì)w結(jié)為自然數(shù)算術(shù)的概念，而算術(shù)概念可借助邏輯由定義給出。他們?cè)噲D建立一個(gè)包括所有數(shù)學(xué)的邏輯公理系統(tǒng)，并由此推出全部數(shù)學(xué)。邏輯主義認(rèn)為數(shù)學(xué)是邏輯的延伸，在羅素的公理系統(tǒng)中不得不引用了非邏輯的選擇公理和無(wú)窮公理。如果沒(méi)有這兩條公理就無(wú)法推導(dǎo)出全部算術(shù)，更不用說(shuō)全部數(shù)學(xué)。當(dāng)然，羅素的公理系統(tǒng)充分發(fā)展了數(shù)理邏輯的公理體系，并且在此基礎(chǔ)上展示了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究起了極大的推動(dòng)作用，貢獻(xiàn)是很大的。直覺(jué)主義布勞威爾又稱(chēng)構(gòu)造主義。它的代表人物是L.E.J.布勞威爾。直覺(jué)主義者認(rèn)為數(shù)學(xué)產(chǎn)生于直覺(jué)，論證只能用構(gòu)造方法，他們認(rèn)為自然數(shù)是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。當(dāng)證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題正確時(shí)，必須給出它的構(gòu)造方法，否則就是毫無(wú)意義的，直覺(jué)主義認(rèn)為古典邏輯是從有窮集合及其子集抽象出來(lái)的，把它應(yīng)用于無(wú)窮數(shù)學(xué)就必然引起矛盾。他們反對(duì)在無(wú)窮集合中使用排中律。他們不承認(rèn)實(shí)無(wú)窮體，認(rèn)為無(wú)窮是潛在的，只不過(guò)是無(wú)限增長(zhǎng)的可能性。可構(gòu)造性對(duì)數(shù)理邏輯及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展有重要作用。但直覺(jué)主義使數(shù)學(xué)變得非常繁瑣復(fù)雜。失去了數(shù)學(xué)的美，因而不被大多數(shù)數(shù)學(xué)家接受。形式主義希爾伯特以D.希爾伯特為代表，可以說(shuō)是希爾伯特的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)觀點(diǎn)。希爾伯特主張捍衛(wèi)排中律，他認(rèn)為要避免數(shù)學(xué)中的悖論，只要使數(shù)學(xué)形式化和證明標(biāo)準(zhǔn)化。為了使形式化后的數(shù)學(xué)系統(tǒng)不包含矛盾，他創(chuàng)立了證明論(元數(shù)學(xué))。他試圖用有窮方法證明各個(gè)數(shù)學(xué)分支的和諧性。1931年K.哥德?tīng)栕C明了不完全性定理，表明希爾伯特方案不能成功。后來(lái)許多人對(duì)希爾伯特方案加以改進(jìn)。W.K.J.基靈利用超限歸納法證明了算術(shù)的無(wú)矛盾性。在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中，魯賓孫，P.J.科恩自稱(chēng)為形式主義者（希爾伯特本人不認(rèn)為自己是形式主義者），他們認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的不過(guò)是一些毫無(wú)內(nèi)容的符號(hào)系統(tǒng)，“無(wú)窮集”，“無(wú)窮整體”等在客觀上是不存在的。希爾伯特的設(shè)想雖然沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，但卻創(chuàng)立了證明論，又促進(jìn)了遞歸論的發(fā)展，因此