測(cè)量誤差及其處理

關(guān)于測(cè)量誤差及其處理第1頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述一、測(cè)量誤差的概念人們對(duì)客觀事物或現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)總會(huì)存在不同程度的誤差。這種誤差在對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè)和量測(cè)的過(guò)程中反映出來(lái)，稱為測(cè)量誤差。二、觀測(cè)與觀測(cè)值的分類1．同精度觀測(cè)和不同精度觀測(cè)在相同的觀測(cè)條件下，即用同一精度等級(jí)的儀器、設(shè)備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術(shù)水平的人所進(jìn)行的觀測(cè)稱為同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為同精度觀測(cè)值或等精度觀測(cè)值。反之，則稱為不同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值稱為不同（不等）精度觀測(cè)值。

第2頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述二、觀測(cè)與觀測(cè)值的分類2．直接觀測(cè)和間接觀測(cè)為確定某未知量而直接進(jìn)行的觀測(cè)，即被觀測(cè)量就是所求未知量本身，稱為直接觀測(cè)，觀測(cè)值稱為直接觀測(cè)值。通過(guò)被觀測(cè)量與未知量的函數(shù)關(guān)系來(lái)確定未知量的觀測(cè)稱為間接觀測(cè)，觀測(cè)值稱為間接觀測(cè)值。3．獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)各觀測(cè)量之間無(wú)任何依存關(guān)系，是相互獨(dú)立的觀測(cè)，稱為獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值稱為獨(dú)立觀測(cè)值。若各觀測(cè)量之間存在一定的幾何或物理?xiàng)l件的約束，則稱為非獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值稱為非獨(dú)立觀測(cè)值。(三角形三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)則為非獨(dú)立觀測(cè))第3頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述三、測(cè)量誤差及其來(lái)源1．測(cè)量誤差的定義真值：客觀存在的值“X”（通常不知道）真誤差：真值與觀測(cè)值之差，即：真誤差=真值-觀測(cè)值

2．測(cè)量誤差的反映測(cè)量誤差是通過(guò)“多余觀測(cè)”產(chǎn)生的差異反映出來(lái)的。測(cè)量中不可避免產(chǎn)生誤差，如測(cè)量某段距離，往返測(cè)量若干次，這些重復(fù)測(cè)量值之間存在差異。這次多余觀測(cè)導(dǎo)致的差異事實(shí)上就是測(cè)量誤差。3．測(cè)量誤差的來(lái)源（1）測(cè)量?jī)x器：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）觀測(cè)者：判斷力和分辨率的限制、經(jīng)驗(yàn)等。（3）外界環(huán)境條件：溫度變化、風(fēng)、大氣折光等。

第4頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述四、測(cè)量誤差的種類按測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測(cè)量誤差分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。1．系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列觀測(cè)中，數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差可以消除或減弱。(計(jì)算改正、觀測(cè)方法、儀器檢校)例：誤差處理方法

鋼尺尺長(zhǎng)誤差ld

計(jì)算改正

鋼尺溫度誤差lt

計(jì)算改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差I(lǐng)

操作時(shí)抵消(前后視等距)

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

操作時(shí)抵消(盤(pán)左盤(pán)右取平均)

…………第5頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述四、測(cè)量誤差的種類2．偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒(méi)有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無(wú)法精確估計(jì)的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無(wú)常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。偶然誤差舉例：儀器對(duì)中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤(pán)讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測(cè)。3.粗差由于觀測(cè)者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯(cuò)誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。第6頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、誤差處理原則7粗差

—

細(xì)心觀測(cè)，用多余觀測(cè)和幾何條來(lái)件來(lái)發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測(cè)值剔除。系統(tǒng)誤差

—

找出發(fā)生規(guī)律，用觀測(cè)方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—

用多余觀測(cè)減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來(lái)限制。

§5-1概述四、測(cè)量誤差的種類第7頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述四、測(cè)量誤差的種類

幾個(gè)概念:準(zhǔn)確度：(測(cè)量成果與真值的差異，取決于系統(tǒng)誤差的大?。┚埽┒龋?觀測(cè)值之間的離散程度，取決于偶然誤差的大小）

最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；

測(cè)量平差：（求解最或是值并評(píng)定精度）。第8頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)例如，在相同條件下對(duì)某一個(gè)平面三角形的三個(gè)內(nèi)角重復(fù)觀測(cè)了358次，由于觀測(cè)值含有誤差，故每次觀測(cè)所得的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次觀測(cè)的真誤差i，然后對(duì)三角形閉合差i進(jìn)行分析。分析結(jié)果表明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測(cè)次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。第9頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述誤差區(qū)間(‘’)負(fù)誤差正誤差個(gè)數(shù)相對(duì)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)相對(duì)個(gè)數(shù)0.0～0.2450.126460.1280.2～0.4400.112410.1150.4～0.6330.092330.0920.6～0.8230.064210.0590.8～1.0170.047160.0451.0～1.2130.036130.0361.2～1.460.01750.0141.4～1.640.01120.0061.6以上00.00000.000總和1810.5051770.495第10頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差的四個(gè)特性：（1）有界性：在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限度，即偶然誤差是有界的；（2）單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大；（3）對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；（4）補(bǔ)償性：在相同條件下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零，即第11頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對(duì)稱于y軸。各條形頂邊中點(diǎn)連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律。第12頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)用頻率直方圖表示的偶然誤差統(tǒng)計(jì)：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d無(wú)限縮小(d→0)時(shí)，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態(tài)分布的特性。第13頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

正態(tài)分布曲線以及標(biāo)準(zhǔn)差和方差14在統(tǒng)計(jì)理論上如果觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多(n→∞)，而誤差區(qū)間dΔ又無(wú)限縮小，則頻率直方圖成為一條光滑的曲線，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為偶然誤差的“正態(tài)分布曲線”,其數(shù)學(xué)方程式為：式中參數(shù)σ稱為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方σ

2

稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算式：第14頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-1概述五、偶然誤差的特性及其概率密度函數(shù)偶然誤差處理方式第15頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-2衡量精度的指標(biāo)

一、精度精確度是準(zhǔn)確度與精密度的總稱。對(duì)基本排除系統(tǒng)誤差，而以偶然誤差為主的一組觀測(cè)值，用精密度來(lái)評(píng)價(jià)該組觀測(cè)值質(zhì)量的優(yōu)劣。精密度簡(jiǎn)稱精度。二、中誤差用標(biāo)準(zhǔn)差衡量測(cè)量觀測(cè)成果的精度，在理論上是嚴(yán)格和合理的。但在實(shí)際測(cè)量工作中，不可能對(duì)某一量進(jìn)行無(wú)窮多次觀測(cè)。因此，定義：根據(jù)有限次觀測(cè)的偶然誤差，用標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算式求得的稱為“中誤差”。第16頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-2衡量精度的指標(biāo)

二、中誤差某觀測(cè)值真值X已知；（設(shè)在相同觀測(cè)條件下，對(duì)任一個(gè)未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為、、，n個(gè)觀測(cè)值的真誤差、、。為了避免正負(fù)誤差相抵消和明顯地反映觀測(cè)值中較大誤差的影響，通常是以各個(gè)真誤差的平方和的平均值再開(kāi)方作為評(píng)定該組每一觀測(cè)值的精度的標(biāo)準(zhǔn)，即m稱為中誤差，m小--精度高；m大--精度低。n－觀測(cè)值個(gè)數(shù)

真誤差第17頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-2衡量精度的指標(biāo)二、中誤差例:設(shè)有1、2兩個(gè)小組，對(duì)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行了9次觀測(cè)，分別求得其真誤差為：1組：2組：試比較這兩組觀測(cè)值的中誤差。解：說(shuō)明1組的觀測(cè)精度比2組高。第18頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月m1較小,誤差分布比較集中，觀測(cè)值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測(cè)值精度較低。兩組觀測(cè)值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

5.2m2=

6.219不同中誤差的正態(tài)分布曲線§5-2衡量精度的指標(biāo)第19頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差根據(jù)誤差分布的密度函數(shù)，誤差出現(xiàn)在微分區(qū)間d內(nèi)的概率為：誤差出現(xiàn)在K倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率為：將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7第20頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-2衡量精度的指標(biāo)三、容許誤差將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現(xiàn)在一倍、二倍、三倍中誤差區(qū)間內(nèi)的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7測(cè)量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m︱第21頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-2衡量精度的指標(biāo)四、相對(duì)誤差(相對(duì)中誤差)

—中誤差絕對(duì)值與觀測(cè)量之比。用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。分?jǐn)?shù)值較小相對(duì)精度較高；分?jǐn)?shù)值較大相對(duì)精度較低。例：用鋼尺丈量?jī)啥尉嚯x分別得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。計(jì)算S1、S2的相對(duì)誤差。解：

K2<K1，所以距離S2精度較高。第22頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-3算術(shù)平均值及其中誤差（P82）一、算術(shù)平均值設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某未知量進(jìn)行了n次觀測(cè)，得n個(gè)觀測(cè)值1,2,···,n,則該量的算術(shù)平均值為x：第23頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-3算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值證明算術(shù)平均值為該量的最或是值：設(shè)該量的真值為X，則各觀測(cè)值的真誤差為：當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限多時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是該量的真值；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，觀測(cè)值的算術(shù)平均值最接近真值。所以，算術(shù)平均值是最或是值。第24頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-3算術(shù)平均值及其中誤差二、觀測(cè)值改正數(shù)未知量的最或是值x與觀測(cè)值li之差稱為觀測(cè)值改正數(shù)vi，即第25頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差第26頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-3算術(shù)平均值及其中誤差三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差第27頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§5-3算術(shù)平均值及其中誤差四、算術(shù)平均值中誤差算術(shù)