營銷研究8培訓(xùn)資料課件

第八章相關(guān)性分析第一節(jié)相關(guān)系數(shù)第二節(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)第三節(jié)樣本分布與總體分布的一致性檢驗(yàn)第一頁，共四十三頁。5/18/20231營銷研究8相關(guān)性分析營銷研究中經(jīng)常討論兩個(gè)變量之間的相關(guān)性問題。根據(jù)它們的相關(guān)性結(jié)論，可以制定相應(yīng)的對(duì)策。如：研究某地區(qū)市民對(duì)戒煙令的態(tài)度。抽樣調(diào)查434名市民，詢問他們的抽煙狀況和對(duì)戒煙令的看法。結(jié)果如下 對(duì)戒煙令的態(tài)度 總計(jì) 抽煙狀況 認(rèn)可 不認(rèn)可 無所謂 從未吸過 237 3 10 250 以前吸過 106 4 7 117 現(xiàn)在還吸 24 32 11 67 總計(jì) 367 39 28 434 對(duì)吸煙的人，可能還需要其他措施。第二頁，共四十三頁。5/18/20232營銷研究8第一節(jié)相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)是反映兩個(gè)變量之間的相關(guān)性及相關(guān)程度的一個(gè)系數(shù)。有代表性的相關(guān)系數(shù)主要有：兩個(gè)類別變量的相關(guān)系數(shù)兩個(gè)量值變量的相關(guān)系數(shù)兩個(gè)順序變量的相關(guān)系數(shù)類別變量和量值變量的相關(guān)系數(shù)第三頁，共四十三頁。5/18/20233營銷研究8兩個(gè)量值變量的相關(guān)系數(shù)在一次抽樣調(diào)查中會(huì)得到兩組量值數(shù)據(jù)，如調(diào)查消費(fèi)者的年收入和每年用于旅游的支出。并在分析中要分析這兩組量值數(shù)據(jù)的相關(guān)性，如旅游支出是否與年收入有關(guān)。我們把這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性也叫兩個(gè)量值變量的相關(guān)性。設(shè)一個(gè)變量為x，另一個(gè)變量為y，如年收入為x，年旅游支出為y，對(duì)n個(gè)樣本（消費(fèi)者）的調(diào)查，得到一組兩變量的數(shù)據(jù)（x1，y1）、（x2，y2）、……（xn，yn）。通過這一組數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算變量x，變量y的相關(guān)系數(shù)。公式如下：r=(xi–x)(yi–y)(xi–x)2(yi–y)2CORREL函數(shù)第四頁，共四十三頁。5/18/20234營銷研究8舉例隨機(jī)抽樣調(diào)查了15名消費(fèi)者，得到他們的年收入和年旅游花費(fèi)的數(shù)據(jù)如下：年收入x年旅游花費(fèi)y編號(hào)123456789101112131415單位：萬元5.42.31.60.80.92.80.73.41.82.710.34.23.50.91.80.10.050.8000.0200.40.050.10.40.20.0800x=2.87y=0.15(xi–x)(yi–y)=2.63(xi–x)2=85.07

(yi–y)2=0.71r=(xi–x)(yi–y)(xi–x)2(yi–y)2=2.6385.070.71=0.34第五頁，共四十三頁。5/18/20235營銷研究8相關(guān)系數(shù)的幾何解釋xi-x反映了在x軸上xi至x的距離，yi-y則反映了在y軸上yi至y的距離，（xi-x，yi-y）則反映的是在兩維平面上，（xi，yi）至（x，y）的相對(duì)位置。不妨設(shè)xi=xi-x，yi=yi-y，則（xi，yi）是到原點(diǎn)的相對(duì)位置。xiyi的符號(hào)“+”、“-”，反映了（xi，yi）在平面坐標(biāo)中的哪個(gè)象限。比如，xiyi的符號(hào)為正表示（xi，yi）在第一或第三象限。如果xiyi為正，則表示（xi，yi）的大部分在第一或第三象限，反映了x和y的一致變化。因此，xiyi可作為x和y傾向于一致變化的一個(gè)度量。如果（xi，yi）散亂地分布在坐標(biāo)的四個(gè)象限內(nèi)，則不具有沿第一和第三象限或第二和第四象限一致變化，即不具有相關(guān)性，而且由于xiyi中的xiyi相互抵消而趨于零。第六頁，共四十三頁。5/18/20236營銷研究8相關(guān)系數(shù)的一些結(jié)論|r|1如果對(duì)變量做線性變換，則變換后的變量之間的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值不變相關(guān)系數(shù)只度量了兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度，r=0表示線性不相關(guān)，|r|越大表示線性相關(guān)程度也越大。r=0表示兩個(gè)變量線性不相關(guān)，但不表示它們一定不相關(guān)。兩個(gè)變量之間相關(guān)并不能說明它們有因果關(guān)系第七頁，共四十三頁。5/18/20237營銷研究8結(jié)論的證明1、證明|r|1：記ai=xi–x，bi=yi–y|aibi|2=ai2

bi2+2aibiajbjai2

bi2+(ai2

bj2+aj2

bi2)

=(ai2)(bi2)ijij|aibi|2(ai2)(bi2)1|aibi|(ai2)(bi2)1|r|1第八頁，共四十三頁。5/18/20238營銷研究8結(jié)論的證明2、證明|ruv|=|rxy|，設(shè)ui=axi+bvi=cyi+d則ui-u=axi+b-(ax+b)=a(xi-x)vi-v=cyi+d-(cy+d)=c(yi-y)|ruv|=(ui-u)(vi-v)(ui-u)2(vi-v)2=ab(xi-x)(yi-y)

a2b2(xi-x)2(yi-y)2=|rxy|第九頁，共四十三頁。5/18/20239營銷研究8結(jié)論的證明3、設(shè)有一組數(shù)據(jù)是(1，1)、(1，-1)、(-1，1)、(-1，-1)，則它們的相關(guān)系數(shù)是零，即它們不是線性相關(guān)的。但它們是某種相關(guān)，滿足，x2+y2=24、設(shè)有一組數(shù)據(jù)是調(diào)查小學(xué)生考試的成績和他們的身高獲得的數(shù)據(jù)，結(jié)果得到的相關(guān)系數(shù)是接近于1，但成績和身高顯然不具有因果關(guān)系。第十頁，共四十三頁。5/18/202310營銷研究8兩個(gè)類別變量的相關(guān)系數(shù)對(duì)于兩個(gè)類別變量的交叉統(tǒng)計(jì)可得到一張關(guān)于這兩個(gè)變量的交叉頻數(shù)列表，通過交叉列表可以計(jì)算這兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)。例，對(duì)1990年《亞運(yùn)會(huì)》的調(diào)查資料統(tǒng)計(jì)，得到如下關(guān)于北京市被調(diào)查者的教育和性別之間的交叉列表：性別變量x和教育程度變量y的交叉列表性別頻數(shù)教育男女總計(jì)總計(jì)未回答358大專及以上197150347初中185178363高中或中專208211419小學(xué)及以下4142836345861220第十一頁，共四十三頁。5/18/202311營銷研究8—相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)又稱Guttman預(yù)測系數(shù)，能夠測量兩個(gè)類別變量間的相關(guān)系數(shù)。如果變量x與y是對(duì)稱的，即無所謂誰是自變量，誰是因變量，則它們的相關(guān)系數(shù)如下：=mx+

my-（Mx+

My）

2n-（Mx+

My）如果變量x與y是不對(duì)稱的，假設(shè)x是自變量，y是因變量，則有：=my-Myn-My第十二頁，共四十三頁。5/18/202312營銷研究8參數(shù)說明Mx=x變量中的最大頻數(shù)My=y變量中的最大頻數(shù)my=x變量取固定類別值時(shí)，y變量中的最大頻數(shù)mx=y變量取固定類別值時(shí)，x變量中的最大頻數(shù)n=樣本量第十三頁，共四十三頁。5/18/202313營銷研究8舉例亞運(yùn)會(huì)北京市民的調(diào)查，計(jì)算教育與性別的相關(guān)系數(shù)，數(shù)據(jù)如前面的表。性別頻數(shù)教育男女總計(jì)總計(jì)未回答358大專及以上197150347初中185178363高中或中專208211419小學(xué)及以下4142836345861220My=419Mx=634my(男)

=208my(女)

=211mx(未回答)=5mx(大專及以上)=197mx(高中或中專)=211

mx(初中)=185mx(小學(xué)及以下)=42第十四頁，共四十三頁。5/18/202314營銷研究8舉例解：解：My=419Mx=634my(男)

=208my(女)

=211mx(未回答)=5mx(大專及以上)=197mx(高中或中專)=211

mx(初中)=185mx(小學(xué)及以下)=42，如果把x與y看成是對(duì)稱的，則有=mx+

my-（Mx+

My）

2n-（Mx+

My）=640+419-(419+634)21220-(419+634)0.004如果把與y看成是不對(duì)稱的，x是自變量則有=my-Myn-My=419-4191220-419=0第十五頁，共四十三頁。5/18/202315營銷研究8—相關(guān)系數(shù)這一相關(guān)系數(shù)主要測量不對(duì)稱的兩個(gè)類別變量x與y的相關(guān)程度。如果x是自變量，y是因變量，則它們的相關(guān)系數(shù)是y=f(x)2fx–

nfy2nnfy2–

其中，f(x)=交叉匯總表中固定x變量的y變量頻數(shù)（共有s行t列）fx=交叉匯總表中x變量的頻數(shù)（共有t個(gè)）fy=交叉匯總表中y變量的頻數(shù)（共有s個(gè)）第十六頁，共四十三頁。5/18/202316營銷研究8舉例同上例，求y系數(shù)解：y=f(x)2fx–nfy2nnfy2–

=fx=32+1972+2082+1852+412634+52+1502+2112+1782+422586=357.59=nfy2f(x)282+3472+4192+3632+8321220=356.30357.59–356.301220–356.300.0015注：—相關(guān)系數(shù)應(yīng)用了所有交叉匯總的頻數(shù)，測量效果比—相關(guān)系數(shù)好第十七頁，共四十三頁。5/18/202317營銷研究8兩個(gè)順序變量的相關(guān)系數(shù)Spearman等級(jí)（秩）相關(guān)系數(shù)：它適合于測量兩個(gè)對(duì)稱的順序變量的相關(guān)系數(shù)。在計(jì)算相關(guān)系數(shù)之前需要先將對(duì)x、y的測量值換算成順序排列值秩1、2、3…、s。當(dāng)然，如果x、y已經(jīng)用秩表示時(shí)，則可直接計(jì)算。計(jì)算公式如下：10、如果不存在等值項(xiàng)時(shí)，相關(guān)系數(shù)為：R=1–6D2n(n2–1)20、如果較多的存在等值項(xiàng)時(shí)，相關(guān)系數(shù)為：R=n(n2–1)–6D2–—(cx+cy)12n(n2–1)–cxn(n2–1)–cy第十八頁，共四十三頁。5/18/202318營銷研究8參數(shù)說明其中：D=x的秩與對(duì)應(yīng)y的秩之差（滿足D=0）

cx=（di3

–di），它是對(duì)x的所有等值組求和，即求和i從1到所有等值組數(shù)t，di表示第i個(gè)等值組的重復(fù)數(shù)cy=（ej3

–ej），它是對(duì)y的所有等值組求和，ej表示第j個(gè)等值組的重復(fù)數(shù)n=樣本量比如：x的秩是1、2.5、2.5、4、5、6.25、6.25、6.25、6.25、10，則cx=（di3

–di）=（23–2）+（43–4）第十九頁，共四十三頁。5/18/202319營銷研究8舉例某地舉行選美大賽，有10位佳麗參賽，評(píng)委對(duì)她們的容貌和才智進(jìn)行打分。數(shù)據(jù)如下：參賽者12345678910總計(jì)n=10容貌x99957960935040863554

才智y20109080308870409558

x秩10965832714y秩21973864105

D88-3-25-5-43-9-1D=0

D26464942525169811D2=298

問參賽者的容貌打分與才智打分是否相關(guān)？先將打分值換算成兩個(gè)變量的秩，由于x和y的秩中不存在等值項(xiàng)，故用公式10

R=1–6D2n(n2–1)=1–629810(100–1)=–0.806分析結(jié)論：x和y反向相關(guān)，容貌較差的傾向于有較高的才智第二十頁，共四十三頁。5/18/202320營銷研究8舉例隨機(jī)調(diào)查電視觀眾對(duì)15個(gè)電視劇進(jìn)行評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)它們的“娛樂性”x和“藝術(shù)性”y，下面是樣本總體對(duì)“娛樂性”x和“藝術(shù)性”y排序后的秩參賽者123456789101112131415總計(jì)n=10

x秩321785461415129101113y秩1234.54.56789.59.51112131415

D20-22.53.5-1-3-24.55.51-3-3-3-2D=0

D24046.2512.2519420.2530.2519994D2=123求娛樂性”x和“藝術(shù)性”y的相關(guān)系數(shù)由于y變量存在兩個(gè)等值組4.5、4.5，9.5、9.5，故采用公式20解：n=15D2=123cx=0cy=(23-2)+(23-2)=12R=n(n2–1)–6D2–—(cx+cy)12n(n2–1)–cxn(n2–1)–cy0.78第二十一頁，共四十三頁。5/18/202321營銷研究8類別變量與數(shù)值變量的相關(guān)系數(shù)相關(guān)比例E2也稱為eta平方系數(shù)，主要針對(duì)自變量為類別變量，因變量為數(shù)值變量的相關(guān)性測定。計(jì)算公式為：E2=(Y-Y)2-(Y-Yi)2(Y-Y)2其中,Y=自變量x=xi時(shí),因變量Y的平均值Y=全樣本的Y的平均值,一般在實(shí)際計(jì)算時(shí),還可以將以上公式變成更簡潔的形式:E2=niYi2-nY2Y2-nY2或E=E2其中,ni是自變量的樣本數(shù),n是總的樣本數(shù)。第二十二頁，共四十三頁。5/18/202322營銷研究8舉例隨機(jī)調(diào)查三種不同的家庭背景的20名學(xué)生的英語成績，試求家庭背景與英語成績的關(guān)系。數(shù)據(jù)如下：知識(shí)分子家庭工人家庭農(nóng)民家庭7885819084867058516362597178848174758081n1=6n2=7n3=7Y1=84Y2=62Y3=79第二十三頁，共四十三頁。5/18/202323營銷研究8舉例的解niYi2=6×842＋7×622＋7×792=112931Y=6×84＋7×62＋7×796＋7＋7=74.5nY2=20(74.5)2=111154.05Y2=782+852+…+802+812=113385E2=112931-111154.05113385-111154.05≈0.796E=√E2=0.892第二十四頁，共四十三頁。5/18/202324營銷研究8第二節(jié)獨(dú)立性檢驗(yàn)類別變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)不同總體分布相同性的檢驗(yàn)第二十五頁，共四十三頁。5/18/202325營銷研究8類別變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)對(duì)于樣本中的兩個(gè)類別變量交叉分析后，發(fā)現(xiàn)有些規(guī)律性，據(jù)此能否推斷總體的這兩個(gè)類別變量是相關(guān)的呢？設(shè)n個(gè)樣本的兩個(gè)類別變量x、y的交叉匯總的結(jié)果如下：yx頻數(shù)類別1類別j類別t總計(jì)類別1類別i類別s總計(jì)nc11………c1j………c1tci1………cij………citcs1………csj………cstc1*ci*cs*c*1………c*j………c*t其中，cij表示x中類i，y中類j的交叉匯總的頻數(shù)（觀察值），ci*表示x中類i的頻數(shù)，c*j表示y中類j的頻數(shù)。第二十六頁，共四十三頁。5/18/202326營銷研究8類別變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法首先確定變量x和變量y的概率分布和，如果變量x和y相互獨(dú)立的話，那么由概率論知，兩變量（x、y）的（i、j）期望頻數(shù)Eij

=n=ci*c*j。因?yàn)?，如果事件x的類別i和事件y的類別j獨(dú)立的話，則有事件x的類別i和事件y的類別j同時(shí)發(fā)生的概率ci*nnc*jci*nc*j

n1

ncijn=ci*nc*j

n即,P(事件x的類別i和事件y的類別j同時(shí)發(fā)生)=P(事件x的類別i)P(事件y的類別j),所以cij=n=ci*c*j。因此，由期望頻數(shù)Eij

和cij相差很小,則推斷事件x的類別i和事件y的類別j幾乎獨(dú)立。ci*nc*j

n1

n第二十七頁，共四十三頁。5/18/202327營銷研究8類別變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法（續(xù)）由此可見，如果所有cij和Eij差異之和都很小，即這種差異只是樣本引起的，那么，變量x和變量y的獨(dú)立性是可以接受的。由統(tǒng)計(jì)學(xué)理論知：2=(cij-Eij)2Eij滿足自由度為(s-1)(t-1)的2—分布，即2值大于一個(gè)比較大的值的概率是很小的。我們可以用2—分布來檢驗(yàn)變量x和變量y的獨(dú)立性第二十八頁，共四十三頁。5/18/202328營銷研究8類別變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)步驟

原假設(shè)H0：變量x和y獨(dú)立研究假設(shè)H1：變量x和y不獨(dú)立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：2=(cij-Eij)2Eij查顯著性水平，自由度df=(s-1)(t-1)的2—分布值2，比較2和2，若2>2，原假設(shè)H0不能接受，反之，接受原假設(shè)H0。第二十九頁，共四十三頁。5/18/202329營銷研究8舉例例、研究某地區(qū)市民對(duì)戒煙令的態(tài)度。抽樣調(diào)查434名市民，詢問他們的抽煙狀況和對(duì)戒煙令的看法。結(jié)果如下原假設(shè)H0：抽煙狀況與對(duì)戒煙令的態(tài)度獨(dú)立研究假設(shè)H1：抽煙狀況與對(duì)戒煙令的態(tài)度相關(guān)顯著性水平＝0.05，2值等于166.8，查自由度df=(t-1)(s-1)＝4，＝0.05的20.05等于9.488。2>20.05，故拒絕原假設(shè)H0。 對(duì)戒煙令的態(tài)度 總計(jì) 抽煙狀況 認(rèn)可 不認(rèn)可 無所謂 從未吸過 237 3 10 250 以前吸過 106 4 7 117 現(xiàn)在還吸 24 32 11 67 總計(jì) 367 39 28 434 第三十頁，共四十三頁。5/18/202330營銷研究8不同總體分布相同性的檢驗(yàn)假設(shè)有從若干個(gè)總體中各自隨機(jī)抽取的樣本組{x1…xi…xm}，{y1…yj…yn}，{z1…zk…zr}，它們對(duì)于某類別變量及類別分類有各自的頻數(shù)分布。我們要討論的是這些總體對(duì)于這個(gè)類別變量的頻數(shù)分布是否相同。討論的方法也是2檢驗(yàn)。設(shè)它們的分布結(jié)果如下表：總體變量頻數(shù)X

YZ總計(jì)類別1類別i類別s總計(jì)m+n+rc1xc1yc1zcixciycizcsxcsycszc1*ci*cs*c*xc*yc*z第三十一頁，共四十三頁。5/18/202331營銷研究8不同總體分布相同性檢驗(yàn)方法如果這些不同總體分布相同的話，則以上表中的分布接近如下的期望分布：總體變量頻數(shù)X

YZ總計(jì)類別1類別i類別s總計(jì)m+n+rE1xE1yE1zEixEiyEizEsxEsyEszc1*ci*cs*c*xc*yc*z其中：Eix=

m+n+rc*xci*Eiy=

m+n+rc*yci*Eiz=

m+n+rc*zci*第三十二頁，共四十三頁。5/18/202332營銷研究8不同總體分布相同性檢驗(yàn)步驟由統(tǒng)計(jì)學(xué)理論知，不同總體分布相同的話，2=(cix-Eix)2Eix+(ciy-Eiy)2Eiy+(ciz-Eiz)2Eiz滿足自由度df=(s-1)(3-1)的2—分布。這里的“3”是總體個(gè)數(shù)。檢驗(yàn)方法如下：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：查顯著性水平，自由度df=(s-1)(3-1)的2—分布值2，比較2和2，若2>2，原假設(shè)H0不能接受，反之，接受原假設(shè)H0。原假設(shè)H0：總體X、Y、Z分布相同研究假設(shè)H1：總體X、Y、Z分布不相同2=(cix-Eix)2Eix+(ciy-Eiy)2Eiy+(ciz-Eiz)2Eiz第三十三頁，共四十三頁。5/18/202333營銷研究8舉例比較英、加、美、三國20~24歲婦女體重等級(jí)的分布狀況。體重等級(jí)分類為瘦小、正常、超重、過度肥胖，體重標(biāo)準(zhǔn)是體重（公斤）除以身高（米）的平方。小于20公斤/米2為瘦小，20公斤~25公斤/米2為正常，25公斤~30公斤/米2為超重，30公斤以上/米2為肥胖。假設(shè)分別隨機(jī)抽取英國、加拿大、美國20~25歲的婦女人數(shù)為547、873、和624，并得以下數(shù)據(jù)：體重分類英國加拿大美國總計(jì)總計(jì)5478736242044瘦小126297156579正常3064983491153超重886175224肥胖27174488第三十四頁，共四十三頁。5/18/202334營銷研究8舉例解原假設(shè)H0：英、加、美三國20~24婦女體重分布相同研究假設(shè)H1：英、加、美三國20~24婦女體重分布不相同查顯著性水平=0.05，期望分布如下表：體重分類英國加拿大美國總計(jì)總計(jì)5478736242044瘦小154.9247.3176.8579正常308.6492.5351.91153超重59.995.768.4224肥胖23.637.526.9882=67.1，自由度為(4-1)(3-1)=6，20.05=12.5916，故英、加、美三國20~24婦女體重分布不相同第三十五頁，共四十三頁。5/18/202335營銷研究8第三節(jié)樣本分布與總體分布一致的檢驗(yàn)對(duì)于類別變量，如果已知總體的分布G，從總體中抽取的樣本分布g，在研究中需要推斷這兩個(gè)分布是否一致。假設(shè)一個(gè)類別變量y有k個(gè)類別，已知總體針對(duì)這一類別變量的分布G：P{i=j}，j=1、2……k，P{i=j}是指總體中具有第j類別特征的個(gè)體所占的百分比。樣本針對(duì)這一類別變量的分布g：p{i=j}，j=1、2……k，p{i=j}是指樣本中具有第j類別特征的樣本個(gè)體所占的百分比?，F(xiàn)在需要分析G=g是否成立？由于確切的比較它們的相等比較困難，為此，我們通過假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行分析，即對(duì)于假設(shè)G=g是否可接受。這種分析還可以確定樣本是否從總體隨機(jī)抽取，即樣本是否有代表性。第三十六頁，共四十三頁。5/18/202336營銷研究82—分布檢驗(yàn)假設(shè)G=g，我們可以通過以下的統(tǒng)計(jì)量分布來檢驗(yàn)。已知總體百分比分布，樣本按照總體百分比分布可得到樣本的理想頻數(shù)分布。記樣本的原頻數(shù)分布為ci，i=1、2、……k，其中ci表示在類別i時(shí)的樣本頻數(shù)，記樣本的理想頻數(shù)分布為Ei，i=1、2、……k，其中Ei表示在類別i時(shí)的樣本理想頻數(shù)。可以證明，如果G=g，則：2=(ci-Ei)2Ei滿足自由度df=k-1的2分布因此，檢驗(yàn)假設(shè)G=g，可以用2—分布進(jìn)行檢驗(yàn)。第三十七頁，共四十三頁。5/18/202337營銷研究8檢驗(yàn)假設(shè)G=g的步驟10、原假設(shè)H0：G=g