同濟高數(shù)傅里葉級數(shù)

同濟高數(shù)傅里葉級數(shù)演示文稿目前一頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點同濟高數(shù)傅里葉級數(shù)目前二頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡單的周期運動:(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運動:令得函數(shù)項級數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù).目前三頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點定理1.

組成三角級數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交

,上的積分等于0.即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在目前四頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在目前五頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級數(shù)可逐項積分,則有證:

由定理條件,①②對①在逐項積分,得目前六頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項積分可得目前七頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級數(shù)

.稱為函數(shù)

簡介目前八頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點定理3(收斂定理,展開定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;2)在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂,且有

x

為間斷點其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點注意:函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多.簡介目前九頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點例1.設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),

它在上的表達式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級數(shù).目前十頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點目前十一頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點1)

根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于2)傅氏級數(shù)的部分和逼近說明:f(x)的情況見右圖.目前十二頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點例2.設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),上的表達式為將f(x)展成傅里葉級數(shù).解:

它在目前十三頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點說明:

當(dāng)時,級數(shù)收斂于目前十四頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點周期延拓傅里葉展開上的傅里葉級數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級數(shù)展開法其它目前十五頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點例3.

將函數(shù)則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉級數(shù).2為周期的函數(shù)F(x),目前十六頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點當(dāng)x=0時,f(0)=0,得說明:利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和.目前十七頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點設(shè)已知又目前十八頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)定理4.

對周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目前十九頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點例4.

設(shè)的表達式為f(x)x,將f(x)展成傅里葉級數(shù).f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計周期為2的奇函數(shù),因此目前二十頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級數(shù):級數(shù)的部分和逼近f(x)的情況見右圖.n＝2n＝3n＝4n＝5目前二十一頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點例5.將周期函數(shù)展成傅里葉級數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此

為便于計算,將周期取為2目前二十二頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點目前二十三頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點2.定義在[0,]上的函數(shù)展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級數(shù)奇延拓偶延拓正弦級數(shù)f(x)在[0,]上展成目前二十四頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點例6.

將函數(shù)分別展成正弦級數(shù)與余弦級數(shù).解:

先求正弦級數(shù).去掉端點,將f(x)作奇周期延拓,目前二十五頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點注意:在端點x=0,,級數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得f(x)=x+1的值不同.目前二十六頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點再求余弦級數(shù).將則有作偶周期延拓,目前二十七頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點說明:

令

x=0

可得即目前二十八頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點,則級數(shù)收斂于目前二十九頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

奇函數(shù)正弦級數(shù)

偶函數(shù)余弦級數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開法

作奇周期延拓,展開為正弦級數(shù)

作偶周期延拓,展開為余弦級數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級數(shù)就不同.思考與練習(xí)目前三十頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點

,處收斂于2.則它的傅里葉級數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個周期內(nèi)的表達式為目前三十一頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點3.

設(shè)又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級數(shù)展開式的和函數(shù),在f(x)的定義域內(nèi)時目前三十二頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點4.

寫出函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù).答案:定理3目前三十三頁\總數(shù)三十六頁\編于二十三點P3131(1),(3);2

(1),(2);

5;6;7

(2)第八節(jié)作業(yè)

目前三十四頁\總數(shù)三十