同濟(jì)高數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)

同濟(jì)高數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)同濟(jì)高數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)目前二頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).目前三頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)定理1.

組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交

,上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在目前四頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在目前五頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分,則有證:

由定理?xiàng)l件,①②對(duì)①在逐項(xiàng)積分,得目前六頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得目前七頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)①稱為的傅里葉系數(shù);由公式②確定的①②以的傅里的傅里葉級(jí)數(shù)

.稱為函數(shù)

簡(jiǎn)介目前八頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)定理3(收斂定理,展開(kāi)定理)設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),并滿足狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn),則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,且有

x

為間斷點(diǎn)其中(證明略

)為f(x)

的傅里葉系數(shù)

.

x

為連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.簡(jiǎn)介目前九頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)例1.設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),

它在上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).目前十頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)目前十一頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)1)

根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說(shuō)明:f(x)的情況見(jiàn)右圖.目前十二頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)例2.設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),上的表達(dá)式為將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).解:

它在目前十三頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)說(shuō)明:

當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于目前十四頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)周期延拓傅里葉展開(kāi)上的傅里葉級(jí)數(shù)定義在[–,]上的函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)法其它目前十五頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)例3.

將函數(shù)則解:

將f(x)延拓成以展成傅里葉級(jí)數(shù).2為周期的函數(shù)F(x),目前十六頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,得說(shuō)明:利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.目前十七頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)設(shè)已知又目前十八頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4.

對(duì)周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為目前十九頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)例4.

設(shè)的表達(dá)式為f(x)x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計(jì)周期為2的奇函數(shù),因此目前二十頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和逼近f(x)的情況見(jiàn)右圖.n＝2n＝3n＝4n＝5目前二十一頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)例5.將周期函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù),其中E為正常數(shù).解:是周期為2的周期偶函數(shù),因此

為便于計(jì)算,將周期取為2目前二十二頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)目前二十三頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)2.定義在[0,]上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)周期延拓F(x)f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓正弦級(jí)數(shù)f(x)在[0,]上展成目前二十四頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)例6.

將函數(shù)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解:

先求正弦級(jí)數(shù).去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,目前二十五頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)注意:在端點(diǎn)x=0,,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得f(x)=x+1的值不同.目前二十六頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)再求余弦級(jí)數(shù).將則有作偶周期延拓,目前二十七頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)說(shuō)明:

令

x=0

可得即目前二十八頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于目前二十九頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)2.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)

偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法

作奇周期延拓,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)1.

在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.思考與練習(xí)目前三十頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)

,處收斂于2.則它的傅里葉級(jí)數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為目前三十一頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)3.

設(shè)又設(shè)求當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式.解:

由題設(shè)可知應(yīng)對(duì)作奇延拓:由周期性:為周期的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù),在f(x)的定義域內(nèi)時(shí)目前三十二頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)4.

寫出函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù).答案:定理3目前三十三頁(yè)\總數(shù)三十六頁(yè)\編于二十三點(diǎn)P3131(1),(3);2

(1),(2);

5;6;7

(2)第八節(jié)作業(yè)

目前三十四頁(yè)\總數(shù)三十